Considérons au contraire l’équation du quatrième degré

JT* 4- pi^ 4- qz' 4- rr -n =- O.

Soient x, , x,, x,. x, ses racines; H le groupe d'ordre 8 dérivé des substitutions (x,Xj), (x,x,), (x, x,)(XjX,). Une fonction f, des racines de la proposée, invariable par les substitutions de II, dépend d'une équation du troisième degré (366). Celle-ci résolue, le groupe G de la proposée se réduit au groupe 1 formé par celles de ses substitutions qui sont communes au groupe H et à ses transformés par les diverses substitutions de G. On vérifie aisément que ces substitutions communes sont les quatre qui dérivent de (x, x,)(x,x,), (x,x,) (x,x,). .Mais ces substitutions sont permutables au groupe partiel H', d'ordre 2, formé par les puissances de (x, x,) (x, x,). Donc une fonction des racines invariable par les substitutions de H' dépend actuellement d’une équation du second degré. Celle-ci résolue, le groupe de la proposée se réiluit à II'. Celte équation se décompose alors en deux équations du second degré, avant respectivement pour racines x,, x, et x,.

476 UVRE TRUISIÈME.

X, (357). Il suffira d’ailleurs de résoudre l’une d'elles pour réduire le groupe de la proposée à la seule substitution i .

Parmi les diverses fonctions qu'on peut prendre pour ç,, la plus coiuuiode est la fonction (x, + x, — x, — x,)’, adoptée par Lagrange. On calcule aisément les coefficients de l'équation du troisième degré

dont elle dépend.

Soient u,, u,, Uj ses racines, on aura

X, -I- X, — X,— X,— Vl>„ X, — X, -t- X,— x,=

On a d'ailleurs

X, = î (— /< -4- Va, v'ôl -t- Viô)

va, yai= (x, -t- x,— X,— x,)(x, — x,-t- x, — x,)(x,— x,— x,-(- x.)

d'où

= — p' + ^pq — Sr,

Les autres racines s’obtiennent en changeant les signes des deux radicaux indépendants v'ui> vn>.

388. Pour appliquer les résultats qui précèdent, il est nécessaire, une équation étant donnée, de savoir déterminer son groupe.

La marciie à suivre pour traiter cette question sera celle-ci : i“ ou formeia les divers groupes de substitutions possibles G, G',... entre les racines X,,..., x„ de l'équation; a" soit G l’un de ces groupes, choisi à volonté : on .s’assurera s’il contient ou non le groupe de l’équation eu formant une fonction des racines, invariable par les substitutions de G et variable par toute autre substitution, calculant par la méthode des fonctions symétriques l'équation qui a pour racines les diverses valeurs de ç>, et cherchant si cette éijuation a, oui ou non, une racine rationnelle. Parmi les groupes de la suite G, G',... qui contiennent ainsi le groupe de l’équation, le plus petit sera ce groupe lui-même.

Cette méthode, théoriquement satisfaisante, serait impraticable, s’il fal-

DES IRRATIONNELIÆS. i77

lait l'appliquer à une équatiun numérique donnée au hasard. .Mais les équations que l'on rencontre dans l’analyse ont toujours des propriétés spéciales qui permettent de déterminer leur groupe avec plus de facilité souvent que leurs coellicients eux-méincs. Nous en donnerons divers exemples dans les chapitres suivants.

■ § II. — GruI PF l>K MONOÜROtlIF.

389. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que des équations à cuellieients numériques. Mais il est clair que les raisonnements employés seraient applicables lors même que les coellicients des équations proposées renfermeraient eertains paramètres indéterminés : et le groupe de l'équation pourrait varier, suivant <j^u'on lui adjoindrait ou non ecs paramètres.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il n’y ait qu’un seul paramètre k: et soit G le groupe de l’équation proposée après l’adjonction de k. Toute fonction çp des racines et de k invariable par les substitutions de G sera une fonction rationnelle de if. à coellicients rationnels. Si donc on fait varier k d’une manière quelconque, la fonction reprendra la même valeur toutes les fois que k prendra lui-même la même valeur : ou pour employer le langage reçu, 9 sera une fonction monodrome de k.

Mais pour qu’une fonction rationnelle f des racines et de k soit une fonction monodrome de k, il n’est pas nécessaire qu’elle soit invariable par toutes les substitutions de G. Considérons par exemple l’équation

u’ — iA‘.

Scs deux racines sont des fonctions monodrumes de k, et cependant elles ne sont pas rationnelles, si l'on n’a pas adjoint à l’équation l’irrationnelle numérique y' a.

390. THéuRÉMK. — Soit F(a’, = o une équation dont les coefficients contiennent un paramétre indéterminé k. On peut déterminer entre tes racines de cette équation un groupe de substitutions 11 tel, que toute fonction rationnelle des racines et de k monodrome par rapport à k soit irwan'able par les substitutio/u de H (indépendamment de toute râleur /rarticuliére donnée à k), et réciproquement.

En effet, supposons qu'après avoir donné à k une valeur initiale rétdle ou imaginaire, mais déterminée, on le fasse varier suivant une lui quel-

i7« I.IVRK TROISIËMK.

conque, l.cs racines i-,, j-j,... de l'équalioii |)ro|iüséc varieront continuellement avec k, et si à la iin (le rnpération, k a re[iris sa valeur initiale k^, les valeurs tinales de x,, Xj,... satisferont à réqualion K(x, if,)=ro : elles .se eonfondeni donr, à l’ordre près, avec leurs valeurs initiales. Donc si eliacune d’elles ne reprend pas sa valeur initiale, elles seront simplement permutées les unes dans les autres, et le résultat de l’opération sera représenté par une certaine substitution S effeetuée sur ces racines.

Si l'on modiGc de toutes les manières possibles la loi de variation de k,

on obtiendra diverses substitutions S, S formant évidemment un

groupe H : car, si en faisant varier X- d'une certaine façon on obtient la substitution S, [mis en le faisant varier d'une autre façon, la substitution S,, on obtiendra la subslitutinn SS, en lui fai.sant subir successivement ces deux nioiles de variation.

liela posé, soient 9 une fonction des racines et lie k, monodrouic par rapport à k\ 9', 9",... les diverses valeurs que prend nette fonction par les substitutions de U : en faisant varier k convenablement, on peut opérer entre les racines les substitutions de H, i-t par suite tran.sformer 9 en une (fuelconque des ijuantités 9', 9"...., la valeur de k n’étant pas cbangée. Mais 9. étant monodronie, n’a par liypotbcse qu’une seule valeur pour ebaque valeur de k : donc on aura, quel que soit k,

Réciproquement, si ces égalités sont constamment satisfaites, il est clair que. de quelque manière ([ii’on fasse varier k, 9 reprendra sa valeur initiale en même temps que lui. Donc 9 est une fonction monodrome.

I.e groupe H peut être appelé le groupe de monodromie de l’équation proposée. Il est néces.sairemcnt contenu, comme on l’a vu plus haut, dans le groupe algébrique fî obtenu en adjoignant k à l'équation.

:i!H . On peut compléter cette proposition en remarquant que toutes tes substitutions de (• sont permutables à H. Kn effet, soit 9 une fonction des racines de l'équation propo.sée, invariable par les substitutions de H, et variable par toute autre substitution : c’est une fonction monodrome de k, telle que /(/■). Remplaçons tous les cuellicienis de f{k) par des indéterminées. puis substituons cette expression dans l’équation irréductible dont 9 est racine, et exprimons que le résultat de celte substitution est nul pour toute valeur de k. On obliondra un certain nombre d’équations de condition algébriques auxquelles les cocflicients inconnus de la fonction f(k] doivent

UES IRRATIUNNELLES.

satisfaire, (ies coeflicieuts sont ilone les racines J'équations algeliriques à voeflicicnts numériques.

(iela posé, adjoignons à l'équation proposée toutes les racines de ees équations numéri(|ues. La fonction f devient r.ationnclleincnt exprimable ; le groupe de la proposée ne contient donc plus aucune substitution étrangère à H. Mais d’autre part il contient le groupe de monodromie, lequel ne peut évidemment être altéré par l'adjonction de quantités simplement numériques : donc il se réduit précisément à H. Donc on réduit le groupe de la proposée de G à II par l'adjonction de toutes les racines de certaines équations : donc les substitutions de G sont permutables à II (.')7G).

S III. — Tiikoukmks nivRHS.

3U2. TiiKOKÈue. — Soit G' un groupe quetcoiu/ue contenu dans un autre groupe G; ses facteurs de corn/tosition diviseront ceux de G.

Soient en efl’et O l'ordre de G ; /, m,... ses facteurs de composition: (i. II, I,... une suite de groupes ayant respectivement pour ordre O, j,

tels, que cbacun d'eux soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions. Soient, d'autre part. G', H', I',... les groupes respectivement formés par celles des substitutions de G' qui appartiennent à G, à H, à I, etc;

Ü', -pt leurs ordres respectifs. Cbacun de ces groupes sera évidem-

ment contenu dans le précédent, et, de plus, permutable à ses substitutions. Car, soient, par exemple, g' et A' deux substitutions quelconques appartenant aux groupes G' et H' : A' appartient à II, auquel les substitutions de G, et notamment g', sont permutables. Donc g'~‘ A' ^ appartient à II; mais elle appartient aussi à G' : donc clic appartient è II'; donc g est permutable à ce dernier groupe.

Soient ~ l’ordre d’un groupe G', aussi général que possible parmi ceux

qui contiennent IT, et .sont contenus dans G' et permutables à scs substitii- ()<

tions; j-y l’ordre d’un groupe G'j, aussi général que possible parmi ceux qui contiennent H' et sont contenus dans G', et permutables à ses substitutions, etc. Soient de même ^ l’ordre d'un groupe If, aussi général que po.ssible parmi ceux qui contiennent I’, et sont contenus dans II' et pcrimi-

ixil LIVRE TRUiSIËME.

tables à ses substitutions, etc. Les groupes G', G',, G',,..., H , H, I',... formant ainsi jiar conslruclion une suite telle, que chaeun tl’eux soit aussi général que possible parmi eciix qui sont eontenus dans le précédent et

pmnutables à ses substitutions, et ayant respeetiveincnt pour ordre O', yi

IL,..., 1]., ^ |e.s facteurs de eomposition de G' seront X,,

). /, f I ft, rm '

X, yy — ' i’- J” ’ — Ils diviseront donc pespeclivemenl/',/n'

.Nous achèverons la démonstration en prouvant que /', rn',... divisent respectivement l, m

Soient h,,h„... les substitutions de II; A',, A',,... celles de H’; celles

de G' seront de la forme g, h\ ; g^, g^ g\ étant des substitutions de G'

i]ui ne satisfassent à aueiinc relation de la forme g, = g,. AJ. (39). Cela po.sé, les substitutions de G', appartenant à G, sont permutables a H. Le groupe K, ilérivé de la combinaison de G' et H, aura donc toutes ses substitutions de la forme g^ A', A,. Mais AJ K,, appartenant à H, est de la forme Aj : les substitutions de K .seront donc de la forme A}. Réciproquement, les f'L substitutions de celte forme obtenues en faisant varier a et o' appartiennent à K, et sont distinctes : car si l’on avait g'. hi=g',.fiÿ, sans avoir a = a', d’oii d = d', la sulrstitution g.^'g, appartiendrait à H et à G', et

par suite à H' : désignons-la par AJ; il viendrait g\ ■=g',.h\., ce qui est impossible.

Donc l'ordre de K est égal à /' j- mais ce groupe est contenu dans G,

dont l'ordre est O; donc son ordre divise ce dernier nombre : donc l' divise /. De même m' divise m, etc. '

393. Tiiii«nÉ»iE. — Soient G un groupe quekontfue; H et G' deiu: groupes contenus dans G; II' le groupe formé par les substitutions communes aujdeu.v précédents-, O, P, O', P' les ordres respectifs de ces quatre groupes; d,

d', e, f les valeurs des entiers pi -pi —f pt d le plus grand commun diviseur de d et de e ; d' sem ou plus égal à d, et divisible par y

Soient en elTet A,, A,,... les substitutions de II; AJ, AJ,... celles de H': celles de G' seront de la forme g. AJ \ g,,..., g,,, étant des substitutions convenablement choisies. En outre, le groupe G contiendra au moins les subsli-

liRS IKRATIONNEIXES.

3Kl

lulions g\ Aÿ, qui sonl toutes distinctes '302), et en noinhre Prf'. On aura donc Prf'“0, d’où d'^d.

D'autre part, on a évidemment ed' = d/: donc 'i divise d’.

3lti. Tiiéohkmf. — Soit ïL ime êtiualion decom/msa/de en /acteurs rationnets X. Y,...: tout facteur de composition d'une des ei/uations /tartiellcs X, V.... sera un facteur de corn/iosition de E: et réciproquement, tout facteur de composition de fil sera facteur de com/M>sition d'une ou plusieurs de ces équations partielles.

En cITet, on résoudra l'équation K en résolvant successivement les équations partielles X, Y ce qui pourra se faire pour chacune d'elles à l'aide

d'une suite d'équations simples.

Soient les racines de l’équation X, lesquelles appartiennent

éj'alement à E: / son premier facteur tie composition : il existe une é(|uation simple D, d'ordre /, dont la résolution fera eonnaitre des fonctions de x,.Xt,.., (|ui auparavant n’étaient pas rationnelles. Cette résolution ahais.sera ilonc l’ordre de X et celui de E en les divisant l’un et l’autre par / .372). Quant à chacune des autres équations partielles, telle que Y. son ordre ne sera pas réduit par cette résolution, ou il sera divisé par /, auquel cas Y aura / pour facteur de composition.

Si donc on résout l’équation X par l'adjonction des racines d'une suite il’équations simple.s, on trouvera successivement que chacun des facteurs de composition de X est un facteur de coinposition de E. Quant aux autres équations partielles Y,..., leurs groupes pourront perdre par ces adjoiielions quelques-uns de leurs facteurs de composition, mais conserveront tous ceux qui ne leur sont pas eummuns avec le groupe de .X. Résolvant maintenant l'équation Y’ par l'adjonction des racines d'une suite d’équations simples, on verra de même que tous les facteurs de composition <|ui restent dans le groupe de l’équation Y sont des facti'urs de compositiou de E: et que les équations partielles restantes Z,... conserveront après cette nouvelle adjonction tous ceux de leurs facteurs de composition <|ui ne leur sont pas communs avec .X ou On continuera ainsi jus(|u’h ce qu’mi ait résolu toutes les équations .X, Y,... Mais alors l'équation E sera elle-même résolue, et le théorème sera démontré.

395. TiiKOHK.Mr. — Soient C une équation irréductible et primitice de dcgié n\ E réquation de degré n — i obtenue par l'adjonction d'une de ses ra-

ÜHi LIVRE TRÛlSIKHE.

ciliés, a: X, Y,... les diviseurs rationnels de rettc dernière équation, siqiposec irréductible. Tout facteur de corrqmsition de Tune des équations partielles X.

divisera l'un au moins des facteurs de com/iosition de chacune des autres équations partielles.

.Supposons, pour fixpr les idées, qu’il y ail deux équations parlielles, .\, V, et que Y ail un faneur de composition, m, qui ne divise aucun des farleurs de eomposition de X ; nous allons prouver que l'équaiion C, supposée irrédiiclible, n'esi pas primitive.

Soit eu effet 0 le (groupe de l'équation Iv : abais.sons-le autant que possible par la résolution succes.sive d'équalions simples, dont l’ordre ne soit pas divisible par m; et supposons quo ecs adjonrlious réduisent surressivemenl le groupe de l'équation R à 11,..., à K. L'équation partielle X élant complètement résolue par ces opérations, et l'équaiion Y ne l’élant pas, le groupe final K contiendra des substitulioiis dilfércntes de l'unité; mais les racines a:,,... de X, qui sont actuellement connues, ne seront déplacées par aucune de ces substitutions (362).

La suite des facteurs de composition de K peut être déterminée, soit d'une seule manière, soit de plusieurs manières différentes; mais, dans tous les cas, le premier de ces facteurs sera divisible par m ; car, sans cela, le groupe pourrait être abais.sé, contrairement à l'Iiypolbèse, par la résolution d'une c(|uation simple dont l’ordre ne serait pas divisible par m. Kéciproquement, K contient tous les groupes conlenns dans U et jouissant de celte propriété. Cair soit G' un groupe quelconque contenu dans G et non dans K. Supposons, pour tixer les idées, que parmi les groupes de la suite G, H,..-, K, le groupe H soit le premier qui no contienne pas G' : soit II' le groupe formé

par les substitutions coininunes à II et à G'; soient enlin O, j, ()', y les ordres respectifs de G, II, G', H’. Les premiers facteurs de composition de G'. >,,, auront pour produit /', qui divise l (392) : ils ne sont donc pas divisibles par m.

396. Soient maintenant a, a celles des racines de R rj^ue k-s

substitutions de K laissent immobiles. Celte suite contenant, outre la racine a que l’on s'est adjointe, les racines de l'équation ,\, con-

tient plusieurs racines; mais il est clair qu’elle ne les contient pas toutes.

Cela posé, soient ç le groupe île £; S une de ses substitutions, qui remplace a par une des racines a, n,,..., telle que a, : elle remplacera toutes ces racines les unes par les antres. En effet, S transforme le groupe G.

DES IRRATIONNEIXES. 2SH

fonné «les sulistitutionS «le ç qui ne di-pl'aecnl pas «J. en un groupe analogue G,, formé «le eclles de ses substitutions «jui ne déplacent pas a,, Ceux des groupes partiels contenus dans G, qui jouissent de la propriété d’avoir leur premier facteur de composition nécessairement divisible par m seront évidemment les transformés de ceux des groupes partiels contenus dans t’i qui jouissent de celle propriété. Ils seront donc tous contenus dans un seul d’enire eux. qui sera le li-ansformé de K, el aura seul le meme ordre que ce «lernier groupe. Mais G, conlieni K lui-même; ce sera donc là ce groupe d’ordre maximum qui conlieni tous les autres et qui est le transformé de K. Donc la subslitulion S transforme K en lui-meme ; donc elle permute

exclusivement entre elles les racines a, a a,,-, que les substitutions

de K ne déplacent pas.

Toute substitution de § qui remplace l’une par l’autre deux des racines

a, a flji., permute ces racines exclusivement entre elles. Car soit T une

substitution de Ç qui remplace, par exemple, a, paroj; ST, remplaçant a par a„ permutera exclusivement entre elles les racines a, a,,.. , a^-, : il en est de meme pour S, et par suite pour T.

Soient a' une autre racine (|iielconque; U une substitution de <? qui remplace a par a' : les racines a', à, que U fait succéder à a, a

.a,,,., stTonl, d’après ce qui précède, («ssenliellemcnt différcnles de a, a

D’ailleurs toute substitution de q' qui remplace une des racines a, «,... . <ï^..i par une des racines a, a',,..., a’,, remplacera chacune des racines «I, a , par quelqu’une des racines a’, à o’,,. Car soit V

une substitution de q <|ui remplace, par exemple, a par a', : VU“' remplace a par a, : elle remplacera donc les racines «J. a les unes par

les autres; et ü les remplaçant par a', à V= VU“'. U les remplacera également, à l’ordre près, par «7', à a',,.

Si les racines écrites ei-dessus n’épuisent pas le nombre n des racines de C, soient a" ‘une autre racine, W une substitution de f,' qui remplace a par a" : les racines a", a,,..., a', que W fait succéder à a, a,,..., sont, d’après ce qui précède, essentiellement différentes de a. a,,..., et de a',

Si n > .Ta, on continuera de même; et l’on voit ainsi que n est un multiple de fl, et que les racines de la proposée peuvent être groupées en ^

systèmes. D'ailleurs chaque substitution de remplace les racines de chaque .système par celles d’un même système. Car soit R une substitution de Ç, qui remplace, par exemple, a" par a’,; et soient a',, a,.... «f les racines qu’elle

i!<» UVRE TROISItMK.

l'ail succéder à a, a, a',. La substitution WR appartient à f/, ct rem^

place. a, a^, par a',, a â. Mais à, appartient au système à,,

a\ «I,.,. Donc a â sont les autres racines de ce syslènie.

Donc l’équation C n’est pas primitive, ce qu'il fallait démontrer.

307. CoBOti..viHK I. — L'èquation C etani irréducliblr et primitive, tout nombre premier qui divise l'ordre de E divisera l'ordre de chacune des égualions partielles X, Y,....

Car soit p un semblable diviseur. Divisant l’ordre de E, il divise un de ses facteurs de composition; mais ce facteur de composition appartient à rime au moins des équations partielles .X, Y,... (304). Donc il divise tui au moins des facteurs de composition de chacune de.s autres équations : donc il divise l’ordre de chacune d’elles.

(àiROLLsinr. II. — Si l'une des équations partielles X. Y... . a tous ses facteurs de composition premiers, il en est de même des autres.

308. TnéonésiK. — Si une équation E, irréductible et de degré n. a son ordre divisible par un nombre premier p, supérieur à ^ n, son groupe G sera n — /'-+-! fois transitif.

Supposons en effet que G soit n — q -v- \ fois transitif, q étant > p. Son ordre sera égal à n (n — !)...(// + i) G, iJ étant l’ordre du groupe partiel formé par celles de scs substitutions qui lai.ssent immobiles n — q racines

données a, a lequel est simplement trans'itif par rapport aux q racines

restantes. Mais n[n — i)...[q -h i) n'est pas divisible par p, n étant < ip et q > p. D'autre part, fi ne peut être divisible par p. En cITet, considérons l'équation C de degré q à laquelle se réduit la proposée par l'adjonction des racines a, a,,..,; elle a évidemment pour groupe (,'• Si clic n’csl pas |)rimilive, soit p. le nombre des systèmes entre lesquels se réjmrti.ssent scs racines : le groupe Ç est contenu dans le groupe F obtenu en combinant tous les déplacements possibles des systèmes avec tous les déplacements po.ssibles des racines dans chacun d’eux. L’ordre de ce dernier groupe, évidemment égal il I .a... yt ^1 .3... ^j*‘sera donc un multiple de ii; mais il n’est p.is divisible par p, (|ui est supérieur à et, par suite, h p et à ® - Si, au

contraire, l’équation t est primitive, son ordre est égal à ^rl), () étant l’ordre de l’équation E', de degré q — i, qu’on obtient en adjoignant une nouvelle racine b. Mais (f étant sim|)lcment transitif, le groupe de E', formé parcelles

DKS IRRATIONNELLES. IK.

lies sulislituiiuns ilt- (/ (|ui laissenl h immobile, sera iiilnmsitir : réi|iiatiuii K' se tfécompose donc en plusieurs facteurs rationnels X, Y,... L'une au

moins de ces équations partielles sera d'un degré d inférieur à et par

suite à p\ son ordre, divisant \ .2...d, ne sera pas divisible par p. .Mais il est divisible par tout nombre premier (]ui divise O (307) : donc U, et, par suite, ü = q() n'est pas divisible par p.

309. Thloiikmk. — Soient ( une équation irrédurtilde et primitn-e de degré n\ E l'équation de degré n — i qui s'en déduit par l'adjonction d’une de ses racines, a\ tf et G tes groupes de ces équations. Unmpons les substitutions de G en classes, en réunissant ensemble celles qui sont semblables entre elles ; chaque racine de G sera déplacée par l'une au moins des substitutions de chacune de ces classes.

Supposons en elTet qu'il existe une classe C dont toutes les «iibstilulions

laissent immobiles certaines racines a a^,. Soit S une substitution

de G qui remplaw a par l'une des racines a, a^,, telle ([Ue elle

remplacera toutes ces racines les unes par les autres. En effet, S transforme le groupe G, formé des substitutions qui ne déplacent pas a, en un groupe analogue G, formé des substitutions qui ne déplacent pas a;; et la clas.se G aura pour transformée la classe formée par celles des substitutions de G, qui sont semblables aux substitutions de C; mais les substitutions de G, ne <lépla(;ant pas a,, sont contenues dans G, : donc la classe G est sa propre transformée : donc S remplace les unes par les autres les lettres a, a,,..,, a^,, que les substitutions de C ne déplacent pas.

On conclut de là (]uc n’est pas primitive '39tj;.

UVRE TROISlfcMK.

2jIi'