CHAPITRE II

API’LICATIONS AI.<;ÉBRlüUr;S.

Ji I. — KQL'.VTIONS ARKr.lEANKS.

Oes cquations ahèliennes en gênerai.

100. r.ons'ulcron.<i avec .\bel les équations irréductililcs dont deux raeines, x, et sont lices par une relation rationnelle <le la l’orme

I.c groupe d'une semblable o<]uation étant transitif contient une substitution S qui remplace x, par x,. Soit (x,Xj...x„) le cycle de S qui contient ces deux racines : la fonction nulle Xj— f (x,) n'étant pas altérée en valeur numérique par S ni par ses puissances (356). on aura

to X. — 7(x,) = X. — q>(x,) = . . . = T, — Ÿ'X.) = O.

Supposons, pour plus de généralité, que l'équation proposée ait d'autres

racines que x,, Soit x', l’une d’elles : le groupe de l'équation

contient une substitution T qui remplace x, par x'^. Soient x, , x',,.;., x'. les racines par lesquelles elle remplace .r,, x,,..., x,. La substitution T opérée sur les identités (i) ne les trouble pas (356); on aura donc

Les nouvelles racines .x , , x’,,.... x), sont essentiellement distinctes des

racines x,, x, x„; car, si x, était égal à x,, par exemple, x’, =çi(x),)

le serait à x, = f(xj); mais l'équation, étant irréductible, n'a pas de racines égales: donc x', serait identique à x,, contre l’iiypotbèse.

S’il existe une racine x' qui ne fasse partie d’aucun des deux systèmes

X,, Xj x„; x', , X, x),, on aura de même un troisième système de

racines .r', x’,,..., x’, distinctes des précédentes, et liées entre elles par

DES IRRATIONNELLES

ixT

lies relnlions analogues aux relations (i); et Ton continuera ainsi jusqu’à ce qu’ou ait épuisé le nombre des racines, qui se trouvoroni ainsi groupées /> à n en m systèmes.

401. Soit maintenant U une substitution quelconque du groupe de l'e-

qualion donnée, laquelle remplace, par exemple, par a-j*’ : elle remplacera a:-!', par ar',Ü„ x,’),,..., xiîl,. Car, soit s la racine qu’elle

l’ait succéder à xfëj : U n’altérant pas la l’onction nulle on

aura : — ^(xi'’) = o, d’oii : = etc.

Il résulte évidemment de là que toutes les substitutions du groupe cberrhé résultent de la combinaison de substitutions A permutant tout d’une pièce les/n systèmes de racines, en remplaçant les unes par les autres les racines qui ont le même indice, avec les puissances des substitutions circulaires

Donc Véqiialion firo/ioiée sera non primitive; et en résolvant une équation (le degré m, on la déœmposera en m équations partielles, de degré n. déterminant respectivement les m systèmes de racines x,, x,,..., x„; x’, . .1’,,.... .r|,:... (359). I.cs groupes de ces équations partielles ne contiendront plus respectivement que des puissances de I', des puissances île I”, etc,

402. Nous nous trouvons ainsi amenés à étudier les équations dont lu groupe est forme par les puissances d’une seule substitution circulaire. .M. Kronecker a proposé de les nommer équations abéliennes : mais il nous parait convenable d’étendre cette désignation à une classe d’équations plus générale, également considérée par Abel, et qui se traite d’après les mêmes principes. Nous appellerons donc équations abéliennes toutes celles dont le groupe ne contient que des substitutions écbangcables entre elles.

403. Si une équation abclieune n’est pas irréductible, les facteurs irré-

ductibles dont elle est le produit seront eux-mémes abéliens. (àir soient F, F’,... ces facteurs irréductibles; x, x,,...;x', x', leurs racines, l'.baque substitution du groupe de la proposée sera de la forme .A.A'...; .\, .V,... étant respectivement des substitutions qui permutent entre elles les racines x, x,,..., les racines x’, x etc. .Mais, pour que deux sub-

stitutions de cette forme. A, A',..., A,.V,... soient échangeables entre elles, il faut évidemment que .4, soit échangeable à .\j. .V, à .V',. etc. Donc le.s

UVRK TROISIEME

siilisliluiiuius A,, Al,... sont toutes écliangcahles entre elles; et l'éiiii.Tlion l■■ = o, dont le groupe est formé île ccs substitutions {'), est abélienne.

Il nous sullira donc d'étudier les équations abéliennes irréductibles.

i04. Tuéiirkme. — Lfs racines d'une équation ahélienne irréductible s'expriment toutes par des fonctions rationnelles f (x), i^(x),... d’une seule d’entre elles : et les svmlwles d’opération ç, 'i,... seront échangeables. Réciproquement, toute équation irréductible dont les raeines jouissent de cette propriété est abélienne.

Soit S une substitution du groupe G d’une équation abélienne irréductible ; clic déplacera toutes les racines, ou sc réduira à l’unité. Car supposon.s qu’elle laisse immobile une racine x. Soient v une autre racine quelconque; une substitution de G qui remplace x par v: 2“*S2 laissera >• immobile. Mais 2*' S2 = S : donc S laisse toutes les racines immobiles, et, par suite, sc réduit à l'unité.

Donc le groupe de l’équation proposée se réduit par l’adjonction de x à la seule substitution i : donc ses racines x, y, s,... sont toutes des fonctions rationnelles de x.

.Soient par exemple j = ^(x), î = i{i(x) ; G, étant transitif, conlicnt une .substitution T qui remplace x par y, et une substitution U qui le remplace par Z. Soient i la racine que T fait succéder à a; h celle que U fait succéder h r. l.a substitution T, opérée sur la fonction nulle 3 — ’jifx) n’altcrc pas sa \aleur (3.56). .Mais elle la cbange en / — 'l(jy). Donc t est égal à ou '{>rffx)j. De même, la substitution Ll. opérée sur la fonction nulle y — p(x), n’altcrc pas sa valeur. Donc u est égal à 9(3) ou f[‘^(x)j. Mai.s TU et LIT remplacent respectivement x par u et par /; ces deux substitutions étant identiques, par hypollicse. on aura « = /.

Réciproquement, soient x, y, 3,... les racines d’une équation quelconque, jouissant de la propriété indi<|uée au théorème; T et U deux substitutions de sob groupe, qui remplacent respectivement x par v = f(x) et 3 = >j<(x) : T n’altérant pas la fonction nulle 3 — ’|(x). remplacera 3 par une racine t égale à ou <|<lf (x)J : U remplacera de même y par

= /. Les deux substitutions Tl' et l'T remplaceront toutes deux x

(•) En l'IIcl, |iour qu’une fonction dex, r soit rationnelle, il faut et il sutBl qu’elle soit

invariable |'ar les substitutions A, A’,,..., A, A',..., — ou. co qui revient au même, (wr les aubstituliom. A,, A„. . . .

DES IBRATinN-NEIXES. 2mi

par une même racine t. La racine or élant d’ailleurs (|iieleotu|UC. ces deux suhsliliitions sont identiques.

lO.'i. Tiikorkmi-:. — l.a résolution d'une é(/ualion abélienne irréductible dr degré n = (p, t/,... étant premiers) se ramène à celle d' équations analogues de degrés ff, (f

Soit, pour fixer les Idées, n=p/'<f\ et soit G le groupe de l'équation propo.séc : son ordre est égal à n (358). Donc l'une quelconque de ses substitutions a pour ordre un diviseur de n, tel que et rc,sullcra de la combinaison de celles do ses puissances (|ui ont respcclivemenl jtour ordre />*, q^. Donc on obtiendra toutes le.s substitutions de G en combinant en- .semble celles de ses substitutions P,, P,,...: Q,, Q,,... qui ont respectivement pour ordre une puissance île p, et une pui.ssance de q. Ces substitutions étant écbangeables entre elles, toute substitution dérivée de leur combinaison pourra évidemment se mettre sous la forme 9 étant dérivée de P,, P, et :^de Q,, Qj

Les substitutions ‘f ont toutes pour ordre une puissance de p. Car .«oit » P,Pj... Ttine d’entre elles : on aura

(P. ?..../■= PÇ'Pf...= i;

donc l’ordre de P, Pj... divise p". De même les substitutions ^ ont pour ordres des diviscur.s. de

Deux substitutions ‘P,?.,, de la forme ‘fî. sont distinctes, à moins qu’on n’ait î, =<Pj, 5,, = 5^,. (iir, en les supposant égales, on aura • égalité dont le premier membre a pour ordre un diviseur de /J* et le second un diviseur de tf. Ils ne peuvent donc être égaux sans se réduire à l'unité : donc =‘Pj, = ?.i-

Le nombre n des substitutions est donc le produit du nombre K des substitutions <P par le nombre des substitutions Mais les substitutions ‘ï ayant toutes pour ordre une puissance de p, et formant un groupe, par construction, l’ordre n de ce groupe sera une puissance île p; de même,

est une puissance de q. Càda posé, l’égalité r^y -=n=[f<^ entraînera les suivantes: 7t=p^, =

Soit maintenant q une fonction des racines de l’équation proposée, invariable par les cf substitutions de la forme ^ et variable par toute autre substitution. Elle dépend d’une équation irréductible de degré pP (366). Cette équation est abélienne. Car soient S, S, deux substitutions iiitelconques de G : ces substitutions, cfl’ectuécs sur les p" valeurs distinctes de

la loiiftion ç, équivalunl rc.spcclivcmcnt à des sulislilulions 1, 1, opérées entre ccs valeur.s; et les substitutions SS,, S, S équivaudront évideinnient aux substitutions Mais SS, = S, S, par liypotlièse : donc 12, = i, 2.

Les substitutions 2, 2 qui forment le groupe de l’équation auxiliaire

dont dépend ç, sont donc échangeables entre elles, et cette équation est abéliennc.

Soit de mémo ij/ une fonction des racines, invariable par les substitulions <P et variable par toute autre substitution. Elle dépendra d’une équation ubélicnne irréductible de degré y*.

Les racines de la proposée s’exprimeront rationnellement en fonction de 9, I : car l’adjonction de ces deux fonctions réduit le groupe de l’équation à la substitution 1, qui seule les laisse toutes deux invariables ; 3ti2,.

iOli. TiiKOiiè.uK. — La rc'mlution d'une équation abéliennc irréductible de degré p“ se ramène à celle d'équations abélicnnes sticcessiees, dont les grou/ns ne contiennent que des substitutions d'ordre p {la substitution 1 exceptée).

Soit G le groupe d’une scmblal)lc équation. Ses substitutions ont toutes pour ordre une puissance de/i; soit />* l’ordre de celles de ces substitutions dont l’ordre est maximum. Celles des substitutions de G dont l’ordre ne dépasse pas p'-' forment un groupe II. Car soient T, T, deux de ccs substitutions, un aura

(Tï,/ '=:Tr‘ i;

■ donc IT, jouit de la même propriété que T et T,. Soit />’ l’ordre du groupe H.

Soit maintenant 9 une fonction des racines de l’équation, invariable pâlies substitutions do H, et variable par toute autre substitution. Elle dépend d’une équation irréductible de degré />'’■*. On voit, comme au numéro précédent. que cette équation sera abéliennc. Üe plus, toutes ses substitutions ont pour ordre />. Car soient S une substitution quelconque de G. 2 la substitution correspondante du groupe de l’équation en 9 : la substitution Se aura évidemment pour correspondante 2'’; mais l'ordre de S** divise p‘~' ; donc sa correspondante se réduit à l’unité : donc 2<’=i.

La fonction 9 étant supposée déterminée, son adjonction réduira le groupe de la proposée à H. Soit de même II, le groupe formé par celles des substitutions de II «lont l’ordre ne dépasse pas p'~^. Une fonction 9,, invariable par les substitutions de II,, dépendra d’une équation abéliennc telle, que les substitutions de son groupe soient d'ordre p: son ailjonetion réduira le groupe de la proposée à II,, etc....

DES IHRATIONSF.LLES. ÜH

U17. Tiit.uRtUE. — La résolution d une équation alwlienne irréductible, de degré //*, et ne contenant dans son groupe que des substitutions d’ordre p {ta substitution i exceptée), se ramène à celle de n équations abéliennes irréductibles de degré p.

Soient K le groupe de l’équation proposée, A l'une de scs substitutions :

K eonliendra les p substitutions t , A A'’"'. Soit U une autre substitution

de F : ce groupe eonliendra les p’’ substitutions de la forme A* lesquelles sont toutes distinctes : car si l'on avait A’ 1$!*= A*" R'*', sans avoir d’oii «- a' (mod p), on en déduirait 1)^*?'= A*'“®, d’où B = A'®’"®''’, r étant une racine de la congruence (jî — jS'}r — i. Donc B serait une puissance de A, contre l'Iiypotbèsc faite.

Supposons « > a, et soit C une substitution de (î, différente des précédentes : F contiendra les p^ substitutions de la forme .\®B^C^, lesquelles ■sont ilistinctes : car si l’on avait A® B^D = A®' Bi^'D', sans avoir 7 - 7'. d’où (3“^', ai- a', C serait de la forme A®B^, contre l’hypothèse faite.

(«ntinuant ainsi, on voit que les substitutions de F sont île la forme .\®B!*(7..., A, B, C,... étant n substitutions dont aucune ne dérive des précédentes.

Soient maintenant çi, i}i, des fonctions des racines, respectivement invariables par les substitutions B^C''..., par les substitutions .\®C^.... par les substitutions A’ Bf*..., etc. Chacune d’elles dépend d’une équation ahéliennc de degré p, et les racines de la proposée s’exprimeront rationnellement en fonction de 9, 4>,

408. Soit R l’une des racines de l’équation propo.séc: désignons par le

symbole [xyz...) celle des racines que la substitution A-'B' C'... fait succéder à R. La substitution A-'B’'C'... A’B^O'... fera succédera R la racine que A® Bi’O... fait succéder à (xy i...). .Mais cette substitution, étant égale à remplaceR par (x-t- «, r-t- (3, i s-y,...). Donc.\®B'‘r.f...

remplace (xy- Z...) pur cette dernière racine. On aura donc

A*ll>0. .= |x,y,s,... X -f- a. y H- 3, Z I Équatioru binômes.