Comme application, considérons l’équation binôme

?J2 LIVKE TROISIÈME.

Toute racine commune à deux éefualions de celle forme, x" = i et — \ , satisfait à l'équation x* = i , 6 étant le plus grand commun dùiseur de m ri de n.

Soil en effet n > m. Si m divise n, la proposilion esl évidente. Dans le cas contraire, .soit n = mq-hr: des deux équations x*'"’= i , a-" = i , on déduit évidemment x^ = i . De celte équation, combinée avec x™ = i , on déduira de même x‘ = i , î étant le reste de la division de m par r, etc

En particulier, si $ = i , les deux équations n'auront d’autre racine cuniinune (|uc l'unité.

HO. Soit maintenant a une racine de la congruence .r" = i : furmuDS la suite de ses puis.sanccs, i, a, a’,..., a',...; soit a^ la première d'entre elles i|ui se réduise à l'nnitc : tous les termes de la suite qui précédent a^ seront différents. Cair si l'on avait a'=a', r et f étant < p, on en déduirait «'“'= \ , r — s étant < p, ce qui esl contraire à l’hypotbèso. II est clair que tous les termes de la suite se reproduiront périodiquement à partir de a^.

l'e.rposani p divise n ; car a, satisfaisant aux deux équations a" = i et a^=i , satisfait à la suivante a'* = i , 5 étant le plus grand commun diviseur de n et de p. Mais, par hypothèse, aucune puissance de a inferieure à la p""' ne se réduit à l’unité : donc 0 = p,

.Si p = n, a sera une racine primitive de l'équation proposée.

ill. Pnoni.f;.«F-. — Trouver le nombre des racines primitives de l'équation x" = I .

I" Soit n=^p', p étant premier. Les racines non primitives satisfont à l'équation x'’*”'=i et sont en nombre p’‘~' . Les autres racines, en nombre />’ (i — sont primitives.

a” Soit n—p‘q^..., p, q,... étant premiers et différents. Soient respectivement .\, B,... des racines quelconques des équations x'’’= i, x*'= i .... : on aura (AB...)*= .A*B''...= i . Donc AB... esl une racine de l'équation

proposée. Récipro(|uemcnt, en faisant varier .\,B on obtiendra

produits tous «lilférenl.s, qui seront les diverses racines de la proposée. Lar si l'on avait ,\B...= .VB'... sans avoir ,\ = .V, B = B',..., et qu’on eût par exemple .VJ.V, il viendrait

.IV-'r Eli-'..., Joii f )»’•■= I,

DES IIIHATIONNELLES. #J3

eu qui ne peut élre : car on a (AA'“'/*=i; AA'“' serait ainsi racine coniniune aux deux équations 4:'’*= i, ee qui est absurde, car elles

n'ont d'autre racine conitnune que l'unité (409).

Cela posé, si A, B,... sont des racines primitives des équations correspondantes, AB... sera une racine primitive de la [)roposée: sans quoi elle satisferait à l'une des équations

ce t|ui est impossible; car on a, par exemple.