AD

expression < ' • ~ n'étant pas divisible par />*, ordre de la première puissance lie A qui se réduit à l'unité.

■\u contraire, si l’une des quantités A, B A par exemple, n’était |ias

racine primitive, il est clair que (AB...)^ se réduirait à i , cl ,\B... ne .serait pas racine primitive.

Les équations = I , x* = i , . . . ayant respectivement /A^i—

racines primitives, la proposée en aura

Soit a l’une de ces racines primitives : les autres seront éviiTemmcnt les puissances d’ordre premier à n de ccllc-là.

412. Supprimons par la division tous ceux des facteurs de l’équation

x"— I =o qui lui sont communs avec les équations x'" — i = o, x'’ — i = o,...: nous obtiendrons une équation F(x) = o ayant pour racines les racines primitives de la proposée. Les équations considérées ayant pour premier coefficient l’unité, la division n'introduira pas de fractions, et F(x) aura ses coefficients entiers : de plus, le premier de scs coefficients sera égal à i.

Tiiéohème. — L'équation F(xJ = o est irréductible.

Cette importante proposition, prouvée d’abord par Gauss dans le cas où n est premier, a été établie généralement par M. Kronccker. Parmi les démonstrations qui ont suivi la sienne, nous cbnisirons celle de .M. Dedekind.

UVRE TROISItME.

il.'J. I.i-M.Mi:. — Si l'(x} a un diviseur rationnel /[xj dont le /iremter rorfjicienl soit égal à i , tous les autres coefficients de f{x) seront entiers.

Car supposons (|iril en soit autrement; posons

9(a-)sera un polynôme dont les coefficients seront rationnels, le premier étant é};al à i. Supposons les coefficients fractionnaires réduits à leur plus simple expression, tant dans f}{x) que dans f{x). Soit p un des facteurs premiei*s qui entrent en dénominateur dans les coefficients de y^x); et soit M.tS un terme de ç(a?) tel, que p y entre en dénominateur à une plus liante puissance que dans les précédents, et à une puissance non moindre que dans les suivants. Soit N.i-' un terme choisi de la même manière dans

P entre en dénominateur au moins dans le premier terme de cette

expression,. Parmi les termes en que contient le produit f{x)

développé se trouvera le terme MNor'^'', qui contiendra p en dénominateur à une puissance au moins égale à a, et supérieure à celle à la(|uelle il .sc trouve dans les autres termes du même degré. Donc en réduisant ensemble les termes de ce degré, p restera en dénominateur au moins à la seconde puissance : multipliant par p, ce nombre resterait encore au moins une fois au dénominateur de cé tcrme-là: résultat absurde, les coefficients de F x) =/(jr) ip(x) étant entiers.

ilV. Procédons maintenant à la démonstration du théorème. Supposons F(x) décomposé en facteurs irréductibles; soit

f[x)=,{x — a)tx—h)...-=x'-i -i- . . .

un de CCS facteurs, choisi parmi ceux dont le degré est minimum. Nous allons établir que yifx) admet toutes les racines de F{x), lesquelles ne sont antres que les puissances d’ordre premier à n de la racine a.

i" Si f,[x) admet pour racines a!' ol a', il admettra pour racine n". Car l'équalion f (x') = o, ayant une racine commune a avec l’équation irréductible f,(x) = o, admettra toutes les racines de cette dernière, et en particulier a’: donc /, (a") = o: donc fi(x) admet la racine a'''. Il suffit donc de prouver que /i(x) admet celles des racines de F(.r) qui sont de la forme n”, n étant premier.

a” ()i- It! pulyiiôinc

DES 1RRATI0NNELI.es.

ic;

= M,:r- N, jr‘'>

a scs cocfficienis cvideininent enliers, et de la forme .M' 4- r.^R., N’1 +- n X-,...; ;'R., -X.,... élaiit des fondions symélriques des racines de et, par

suite, des enliers. Mais le tliéorèmc de Fermât donne M'-. M,, N'=~ .\

(mod z). Donc M^hs .M,, N,,..., et enfin D’ailleurs les

racines de /* x) étant des puissances de n, b d'ordre premier à «, sont

des racines de F(x): donc /b(x) divise F(.r): enfin il sera irréductible: car s’il avait des diviseurs rationnels, leur degré serait < X, ce (|u‘on suppose impossible.

Cela posé, on aura /î,(x) =/)(x). Car s'il en était autrement, F et par suite x“ — i, serait divisible par le produit de ces deux facteurs. Soit

j'-i =/(j-)/.(x)9(x)=/|(x)?(x) (mnil. tt); on en déduit en différentianl

/M— ' = 2/',(x)/, x)9 .r)4-/;(x)ç-' a) (mod. t:).

Les deux congruences x" — i r- o cl nsc"~‘ — o auraient donc en eummun toutes les racines de la congruence f,{x)-—o : résultat évidemment al>surde, car la première n’est pas satisfaite par la valeur .rr^-o, qui .seule satisfait à la seconde. Donc /,{x] se confond avec /„{x', et admet la racine a’’-. I

il5. Cbcrciions maintenant la forme des substitutions du groupe C de l’équation F{x) = o.

i“ Soit d’abord n=p', p étant premier impair. Soient .r, une des racines de F(.r), g une racine primitive de la congruence

gc*-r*“'sii (mod. P*).

Les racines de F(x) seront données par la suite

dont les /»’— />*"' premiers termes sont distincts, et s’expriment ebaeun par une même puissance du précédent. Cela posé, la substitution de ti ipii remplace x„ par x, remplacera en général x, par r,*, (VOI):elle sera

ilMi UVUE TBOlSltME.

donc circulaire : en outre, ses puissances constilueiunl a elles seules le jîiniipc G ( VOl).

2" Soit n= 2*. Si v^2. la congruence

(mod. 2')

a%ant encore une racine primitive, nn raisonnera comme tout à l’iieurc. Si V > a, cette congruence n'a plus de racines primitives : mais on peut déterminer (li) un cniiur a tel, que la moindre valeur de t qui satisfasse à la congruence a'~-i (mod. a*) soit a’"’, puis un entier h qui ne soit pas une puissance de rr, et dont le carré soit congru à i (inod. a”). Les deux suites

rt, fl’, . . ., a’’“’ sa"; hn, bn',. . ■ , ha'™’ (inod. v)

reproduiront tous les nombres inférieurs et premiers à a'*.

Cela posé, soit R = (o,o) une des racines de F(jc); cl désignons en général par (r, r) celle des racines de celte équalion qui est égale à l.e groupe de l'équatiuii sera formé des subslitutions de la forme

Soit en effet S une substitution du groupe, (]ui remplace («>,o) par («, j5). Soient (r, j) une racine quelconque, (p, t) celle qu’elle lui fait succéder. La substitution S opérée sur l'identité fr, r) = ;o, oj*'"' donnera

(o, t) =: (a, |î)*'"' = (r-) a,»-t-3),' d'oii s = r 4 a, t = i -s

K(a:) n’ayant pas de racines égales.

3® Soit enfin n = p, g,... étant premiers et différents. Désignon.s

respectivement par y,, y,

par 5,. î,,.

... etc., les racines des équations

Suient

yr — 1

»Vr) 1. 1 I.

-•ko l. ..

les substitutions des groupes de ces équations.

Nous avons vu que les racines de F(a-) sont les divers produits de la forme yvïj... (3H)- Posons en général (r,î,...) =r v,r,.... Les substitutions

DES IRRATIONNELLES

du (;roiipc flierclié seront les suivantes :

En effet, soit K une fonction des x invariable par ces substitutions; considérons-la d’abord comme fonction desj, les s,... étant traités comme des coefficients indéterminés : K étant invariable par les substitutions

9(r),»,... I, ou I .n .no) 1

sera une fonction rationnelle des coefficients de /{y) et des quantités Ca, ï, On voit de meme que K peut s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients de /{y), de ceux de /,{z) et des indéterinin€*es suivantes (représentées par des points dans l’écriture); et enfin que K est rationnel. Donc le groupe eberebé est exclusivement formé des substitutions (3) qui n'altcrent pas K.

D’ailleurs il contient toutes ces substitutions. Car les substitutions (a) étant respectivement en nombre />“ - les substitutions

dérivées des substitutions (3) seront en nombre n seule-

ment ; et le groupe cherché, étant transitif, contient au moins ce nombre de substitutions.

§ II. — Équations i>e Galois.

416. Soit F(x) = o une équation irréductible de degré premier p, et ilont toutes les racines s’expriment rationnellement en fonction de deux d’entre elles et x,. Cherchons quel sera son groupe G.

L'ordre de G ne peut dépasser p{p — i). En effet, il est égal au produit du nombre des systèmes de positions distinctes que ses substitutions donnent à x, et X, par l’ordre du groupe partiel H formé par celles de scs substitutions qui ne les déplacent pas (4^). Le premier de ces deux nombres est au plus égal à p{p — i) : et le second se réduit à l'unité, l’adjonclioii de x„ et de x, devant réduire le groupe de l’équation à la seule substitution I.

D’autre part, G étant transitif (357), son ordre est divisible par/<: donc G contient au moins une substitution d'ordre p. Cette substitution A, égale à (XoX,.,. X,... Xp,), pourra être représentée par le symbole | s s -t- i |,

Le groupe G ne contient aucune substitution d’ordre p, sauf A et ses puis-'

ÜW UVKE TOOlSlfeSIE.

sances. Car, s’il en contenait une autre B, il contiendrait les substitutions A*B^, lesquelles sont toutes distinctes : car si A* B| était égal à A*'B^ , sans qu’on eût /5' = d'où «' = a, B serait une puissance de A, contre l’Iiypotlièse ( i07). Mais G contient au plus p{p~i) substitutions ; donc il ne peut contenir de substitution telle que B.

l-a transformée de A pnrmne substitution quelconque S du groupe G est semblable à A ut fait partie de G : c’est donc une puissance de A. Soit donc S = [ 3 ^(s) I : on aura une relation telle que S"* AS= A“, d’où la con-

dition

Ç.(j l)= Ÿ(-)+ ou O ( s)=: fli •+ 3t.

Donc G ne contient que les substitutions de la forme

I J nï -+- a j.

Il peut d'ailleurs les contenir toutes. &r supposons que le groupe de l’équation F(ar) = O ne contienne que des substitutions de cette forme : chacune d’elles, sauf l’unité, déplace l’une au moins des deux racines x,, x, . Donc l’adjonction de ces tieux racines réduit le groupe de la proposée à la seule ’ substitution i; donc les autres racines sont fonctions rationnelles de ces ilcux-là.

11 7. La résolution de l'équation proposée F(x) = o îe ramène à la résolution successice de deux équations abéliennes, de degrés p — i et p. Car soit ^ , une fonction des racines invariable par les seules substitutions | i z-hcr. \. Vdjoignons f, à l’équation proposée ; son groupe se réduira aux substitutions ci-dessus : elle devient donc abélienne.

D’ailleurs f, dépend d’une équation abélienne de degré p — * ■ Car suit ce que devient 9, par la substitution | : ps | : dépendent

d’une équation de degré p — i. En outre, pour qu’une fonction de ces quantités soit rationnelle, il faut et il suffit qu’elle soit invariable par chaque substitution de la forme | : az a \, laquelle équivaut au changement de 9p en Le groupe de l’équation en 9, est donc formé des substitutions de |a foruic*| p ap |, lesquelles sont évidemment échangeables entre elles.

118. Comme exemple du type d’équations que nous venons de discuter, on peut citer la suivante :

lorsque la racine p'*"‘ de .\ est irrationnelle.

DES IRRATIONNELLES

Soit X, l’une (les racines de celle équation : les autres seront x.=yx„ x,—yx„..., vêtant une racine /j""* de l’unité.

Toutes les racines x,, x, x^, s’expriment rationnellement par deux

d’entre elles : car x^, par exemple, est égal à x’j x'„“' . Donc l’ordre de l’équation proposée divise p{p— ()•

Il est d'ailleurs un multiple de /> — i : car la résolution de relie équation, faisant connaître y= —, cnirainc celle de l’équation irrédiiclilde Y, d’or-

dre p — i, dont dépend y. Donc réciproquement l’adjonction des racines de Y abaissera le groupe do la proposée en divisant son ordre par p — \ (378). Après cet abaissement, l’ordre du groupe se trouvera réduit à I ou à p.

Il ne peut se réduire à i : car Vil en était ainsi, l’équation proposée, ayant l’ordre de son groupe inférieur a p, ne serait pas irréductible. Soit donc ^

xr— A = (|i(x)ç,(x)...

son premier membre décomposé en facteurs irréductibles

Le coefficient du second terme de ip(x) est égal à

Celui du second terme de ç,(x) est de même égal à — x.fy* -t-y*' -t-...). ties deux cocITicients sont rationnels : leur rapport est donc égal à une quantité

rationnelle d’où l’on déduit l’égalité

laquelle, étant au plus du degré p — i en y, et n’étant pas identique, devra nécessairement se confondre avec la suivante :

On aura donc M = — N, et, en outre, la suite con-

«lO LIMIE TROISIÈME.

lietitlra toute la suite des termes i,/ y*'. Donc le nombre des fae-

leiirs Ÿ(^)f - ne peut dépasser a.

Or la résolution de Y entraînant par hypothèse eclle de ré*|uation

•x'''— A = o, chacune des racines sera une fonction rationnelle

de J. Soit, par exemple, Xa-’ii(j'). Le degré de l'équation irréductible f(a-)= o à laquelle satisfait est égal au nombre des valeurs distinctes i|iie prend la fonction lorsqu’on y effectue les substitutions du groupe C

de l'équation /(y') == o. Ce nombre v est égal à ^ étant l'ordre ilu

groupe partiel formé par celles des substitutions ifcGciui n’allèrent (las

■Hj)-

Soient donc y, v, les degrés respectifs des facteurs p(x)cl ?i(-ï‘): tous deux divisent ^ — i: et leur somme est /> : résultat absurde, 'a moins qu’on n’ait y = /)— I, V, = 1 . Mais alors la proposée aurait une racine rationnelle, ce qui n'est pas. ^

Donc l'orrlrc du groupe de l'équalion xf' — \ = o est égal à p'p--i,: et celte vifuatinii est irrédurlihle.

DES IRRATIONNELLES