APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
H9. L’un (les problèmes les plus fréquents de la géométrie analytique est de déterminer quels sont les points, ou bien les lignes ou surfaces d’une espèce donnée, qui satisfont à certaines conditions. Lorsque le nombre des solutions est limité, les coordonnées du point cliercbé (ou les paramètres i|ue renferme l'équation des lignes ou surfaces cherchées) sont déterminées par un système d'équations algébriques A, B,... en nombre égal à celui des
inconnues x,y Eliminons toutes les inconnues, sauf une seule, x : un
sait que le degré de l'équation finale X indiquera le nombre des solutions du problème : et si les racines de cette équation sont inégales, soit x, l’une d'elles: on aura les valeurs correspondantes de y,... exprimées en fonction rationnelle de x„ en substituant à la place de x dans les équations B et cherchant le système des solutions communes à ces équations.
Les points, lignes ou surfaces cherchés sont donc déterminés lorsqu'on a résolu l'équation X, et correspondent respectivement à ses diverses racines
Nous, conviendrons de désigner par x,,x ceux des points,
lignes ou surfaces cherchés qui correspondent respectivement aux racines .T„ X,,.... Cette locution sera commode, et n’offre aucun danger de confusion, les deux choses ainsi désignées par le même nom étant de nature al>solument différente.
Les solutions des problèmes dont il s’agit sont en général assez nombreuses, mais liées les unes aux autres par certaines relations géométriques. De ces relations on déduit immédiatement l'existence d'une fonction entière 9(x„, X,,...) dont le groupe contient celui de l’équation X. Réciproquement, .si l’on était certain de connaître louies les relations géométriques (|ue présente la question proposée (ou du moins celles dont les autres dérivent), le groupe de l’équation X contiendrait toutes les substitutions du groupe de f (x„, .r,,...). Mais une semblable certitude est difficile à obtenir, malgré le soin apporté par d'habiles géomètres à l’étude de ces problèmes. Il ne serait donc pas impossible que les équations auxquelles ces problèmes
TOi UVRE TKOISIËME.
iloDiieiil naissance eussent paiTüis une forme plus particulière encore que celle que nous allons trouver, en nous appuyant sur les résultats obtenus par nos prédécesseurs.
§ T'. — Équatio.v de M. Hesse.
V20. Ot) sait que les neuf points d’inflexion des courbes du troisième degré sont situés trois à trois sur douze droites, qui s\y coupent quatre à quatre. Désignons ces points, ou les racines de l’équation X dont ils dépendent, par le symbole (a:y), chacun des indices x,y étant variable de o à a (mod 3) : et représentons par (xy) i'xf y') (a;" y") la droite qui passe par les trois point.s (xy), (x'y‘), (^'y"); il est aisé de voir que les douze droites correspondent aux douze termes de l'expression
Ç = (oo)(oi)(o») -t- ("»)(' (*o)(2')(=*a)
-t- (oo) ( t n) (ao) -I- (oi ) ( I [) (a 1 ) -4- (oa) ( i a) (la) -t-(oo)(ii)(aa)-t-(oi)(ao)(ia) -t- (oa)(io)(ai)
-I- {oo)(ii)(ai) -t- (oi)(io){aa) (oi](ao](i i)
formée par les produits tels que (xy) (x'y') (x'y") qui satisfont aux relations
(i) X jr' -f- x“ =y -t- y' -t- y' œ O (rnodSj.
421 . Le groupe de l'équation X se réduit aux substitutions qui n'altèrent pas l’expression f. Car soit abc l'un des termes de 9 : la condition géométrique que les trois points a, b, c soient en ligne droite s’exprime analytiquement par une équation de condition entre les coordonnées de ces points. Mais ces coordonnées s’expriment rationnellement en fonction des racines correspondantes a, b, c de l’équation X. Substituant ces valeurs des coordonnées dans l’équation de condition, on aura une relation de la forme
Soient maintenant S une substitution quelconque du groupe cherché; a', b', d les racines par lesquelles elle remplace a,b,c\ on aura (350)
ij< (a',A’,c') = o.
Donc les points a',b',c‘ seront en ligne droite; et a' b' d sera l’un des lermc.s de 9.
DES IRBATIONNELLES. :««
Cela posé, les substitutions de la forme
i = I X, nx -i- 6/ + », n' X -4- h’ y -4 a' |
laissent p invariable. Car si trois racines forment un terme de f, leurs indices satisfont aux relations (t); les indices des trois racines que 1 leur fait succéder satisfont évidemment aux memes relations; ces nouvelles racines formeront donc un terme de (p.
Réciproquement le groupe G de la fonction 9 ne contient d'autres substitutions que les ü;. t'ar soient S une substitution qui laisse 9 invariable; f«a') la racine qu’elle fait succéder à (00) : on aura ^ = Tï,, 2, étant la substitution | x,y x 4- a, y+ot' |, et T une nouvelle substitution de G, qui ne déplace pas (00). Soit (aa'i la racine que T fait succéder à (loj; a, a' ne seront pas nuis à la fois. Soient b, b' deux entiers tels, que ab' ha' ne soit pas congru à o (mod 3); on aura T =T'i'; Z' désignant la ■substitution I x,y ax + by, a'x-+-b'y |, cl T' une nouvelle substitution de G qui ne déplace ni (00) ni (10), ni, par suite, (ao), qui leur est associée dans un terme de 9. Soit donc (cc') la racine que T' fait succéder à (01); c ne sera pas nul, et l’on aura T' = T” i”, ï" désignant la substitution
I X, » x-ycy,c\r\
et T" une substitution de G, qui ne déplace pas (00), (10), (01). Mais si T* laisse immobiles deux 1*301008, elle n’allère pas le terme de 9 qui les contient, et, par suite, elle laisse immobile lu troisième racine contenue dans ce terme. On voit aisément, par l’appUcatinn réitérée de ce principe, que T" laisse toutes les racines immobiles : donc elle se réduit à l’unité : et S = sera de la forme X.
323. Les coefficients a, b, à, b', peuvent être eboisis de {3’ — 1 ) (3* — 3) ou quarantc-buil manières, de telle sorte que leur déterminant ne soit pas congru à o(mod. 3); et a, «' peuvent prendre toutes les valeuis possibles (mod. 3). Celles des substitutions i pour lesquelles b = o forment un groupe H, contenant ia.9 substitutions, suit le quart du nombre total. Une fonction des racines de \, invariable par les substitutions de II et variable par toute autre substitution, dépendra donc d’une équation Y du quatrième degré. Cette équation étant résolue, le groupe de la proposée sera réduit au groupe I le plus général parmi ceux qui sont contenus dans H et permutables aux substitutions de G (368). On voit sans peine que I est formé des
t.IVRF. TIIOlSlEMt.
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