sulislilutioiis
I X, r IIX + a, a}- -t- a' |. »
Soil K le groupe formé des six sulislitulions de I pour lesquelles a =^o. l'ne fonction des racines de X. invarialile par les substitutions de K, dépendra actuellement d’une éijuation Z du troisième degré. Celle-ci résolue, le groupe de X sera réduit au groupe le plus général parmi ceux qui sont contenus dans K et permutables aux substitutions de I; ce groui)C est évidemment formé des substitutions
qui permutent exclusivement entre elles les trois racines correspondantes à une même valeur de x. L’équation X s* décompose donc en trois liu tcurs rationnels du troisième degré. D’ailleurs clic est abélienne.
12i. L’équation auxiliaire Y a une signification géométrique très-simple. L’n coup d’œil jeté sur l’expre.ssion ç suffit pour reconnaitre que les douze droites peuvent être groupées d’une seule manière en quatre systèmes tels, Zjue les trois droites de chaque système contiennent les neuf points d’inflexion. Ces systèmes dépendront donc d'une é(|uation du quatrième degré, laquelle n’est autre que Y : car celles des substitutions de G qui permutent exclusivement entre elles les trois droites (00) (01) (oa), (10) (1 1) (13), (30) (31) (aa) du premier système sont précisément celles du groupe 11.
425. Théorème. - Si une équation du neuvième degré est irréductible, et telle, que deux quelconques de ses racines, a et b, étant données, on puisse en déduire une troisième c, liée à a cl b par les relations suivantes :
(où désigne une fonction rationnelle, symétrique par rapfiort aux deux rariables quelle contient), le groupe de cette équation sera contenu dans G.
Cbcrcbons en effet le groupe des équations les plus générales jouissant de la propriété énoncée. Soit S une de scs substitutions. Elle remplace le système des trois racines a, b, e par un autre système de trois racines à, b', c' liées entre elles par les mêmes relations (-356).
Deux des systèmes de racines ainsi obtenus ne peuvent avoir deux racines communes sans être identiques : car si a', b' se confondaient avec a, b
3(tf>
Naiis que c' ne conruiitlil avec c, l'équation proposée aurait deux racines égales c = if’foi I*) et c'= b') et ne serait pas irréductible.
Chaque racine a fait partie de quatre systèmes dilTércnts : car soit b une autre racine quelconque; on peut, ^ar hypothèse, déterminer une troisième raeine c, liée h ces dcux-là par les relations (a) : soit d une quatrième racine; il en existe une cinquième, associée h a, d, etc.
Chaque système contenant d’ailleurs trois racines, on aura en tout douze systèmes, évidemment analogues aux droites du n" WO, et qui correspondront comme elles aux douze termes de la fonction f .
426. Les équations du huitième degré dans lesquelles trois racines quelconques. a, b, c étant données, on en déduit une quatrième d, .satisfaisant aux relations
d — ’Sf[n, b, c), c =>]<(</, a, é), bz=^{c,d,a), a =: t)/(6, c, f/),
où i{< désigne une fonction rationnelle et symétrique, ont été considérées par M. Mathieu : elles se traitent exactement par les mêmes principes. Un voit en effet: i“ qu’en désignant leurs racines par le symbole [xyz], où x,y, Z varient de o à i(mod 3), leur groupe est contenu dans le groupe G de la fonction <p formée par la somme des quatorze produits de quatre racines telles, que les sommes de leurs indices soient nulles; a“quc les substitutions de G sont de la forme
I x,y,z eu; + h}T -t- cz X, n' X + b' y -I- c' t -t- a' , a“ X -I- b' y -h c" z H- xi' | ;
3" que les termes de f se groupent deux à deux en sept syslèipes tels, (|ue les deux termes de chacun d’eux contiennent les huit racines; 4“ que l’équation aux sept systèmes étant résolue, le groupe de la proposée se réduira aux substitutions
re qui ramènera sa résolution à celle de trois équations du second degré.
S 11. — Équatioms dû M. Clebscii.
V27. Le problème de déterminer une courbe du troisième ordre dont les points d’intersection avec une courbe donnée C du quatrième ordre coïncident quatre à i|uatre conduit à une équation X du degré 4* [Clebsch, C'ber
306 LUHE TBOISIÈME.
die A nwendung der .( beltchen Funclionen in der Geometrie [Journal de M . Bob- CIIAKÜT, t. LXI1I}J.
Les racines de celle équation étant représentées par six indices, x,,..., J-,, variables chacun de o à 3, on aura le théorème suivant (Mémoire cité, S Vil):
/,« points de contact de C avec les courbes correspondantes atu- quatre racines (x,... T,), [x^..- a-',), [x\.,. x',), (a"... x") sont situés sur une même courbe D du troisième ordre, lorsque les six congruences contenues dans la formule suivante
(3) J, -l-x' -I- Xj'=o (inod4)
sont simultanémerit satisfaites.
On en conclut, comme au n“ 421, que le groupe de X se réduit aux substitutions qui laissent invariable l'expression 9 formée par la somme des pro- 4luits de quatre racines qui satisfont aux relations (3).
428. On voit ensuite, comme au n” 422, que le groupe G de la fonction q contient les substitutions de la forme
X=;|x„...,x, a, X, -V- ... -V-f,Xt-^ a,x, -i- ... -i- f,x, -V- X, \.
Réciproquement, les substitutions de la forme 2 sont les seules que contienne G : car soit S une substitution de G, laquelle remplace (0...0) |^r unegutre racine on aura S = T2,, 2, étant la substitution
et T une nouvelle substitution de G, qui ne déplace pas la racine (o...u).
Cette substitution T permutera évideiiiment les uns dans les autres ceux des termes de 9 où entre le facteur (0...0). Donc elle remplacera chaque racine par une autre racine, qui figure le même nombre de fois dans ces termes. Or celles des racines pour lesquelles x,,.,:,x, sont tous pairs n'y figurent pas le même nombre de fois que les autres. Kn effet, il est clair <|ue la racine (x,... x,) y figure autant de fois qu'il y a de manières de délerminer deux autres racines (x', ... x’,), (x', ... x',) satisfaisant aux relations
( 4 ) X, x'^ -I- xJ 5= O ( mod 4 ).
en exceptant les systèmes de solutions dans lesquels on aurait généralement, x' = O, ou x\ = Xp, ou x| = 0, ou xJ = Xp, ou enfin x\ = x\.
DES IRRATIONNELLES. 307
Or s'il n’y availà faire aucune exclusion, on pourrail choisir arhitraireinenl les indices , et les relations (4) détermineraient les indices .r’ . Le nombre des solutions serait donc toujours le même. Mais si les Xp ne sont pas tous pairs, on aura seulement quatre cas d’exclusion, car il est absurde de supposer que les relations (4) puissent être satisfaites en posant =x| . Si lesxp sont tous pairs, sans être tous égaux à a, on aura cinq cas d'exclusion : à savoir, les quatre précédents, et celui où l’on, a x\ =x’ = ^Xp. Enfin si les Xp sont tous égaux à a, et les ou les xÿ égaux à zéro, les xj ou lesxj seront égaux aux x^: les cinq cas d'exclusion se réduisent donc à trois distincts.
La substitution T fait donc succéder la racine (10...0), dont les indices ne sont pas tous pairs, à une autre racine (a, a,... a,), dont les indices ne sont pas tous pairs. Mais il existe une substitution linéaire qui produit ce remplacement. Car il existe (121) une substitution linéaire
qui remplace x, par a,x, a»x,; et l’opération
I X„.‘. ., X, <I,X, -♦-... -l-/ix„. . ., O.X, -I- . . . -(-/ix. |.
qui a le même déterminant, sera aussi une substilution, laquelle remplace (10...0) par (a, a,... a,).
Posons T = T'y : T' .sera une nouvelle substitution de G, laquelle laisse (00. ..o) et (1 0...0) immobiles. On voit maintenant comme tout à l'heure : i^que T' fait succéder la racine (o 1...0] à une autre racine (a, «',...(7',), dans laquelle les indices ne seront pas tous pairs; 3° que parmi
les substitutions linéaires qui laissent(i 0...0) immobile, il en existe une, 2", qui produit ce remplacement. On posera T' = T'2" : et continuant ainsi, il viendra
s = Ti,=... = u...yyi,,
U étant une substitution de G, qui laisse immobiles les sept racines (00...0), (1 0...0), (01. ..o) (00... i).
Or considérons un terme quelconque de ç ; si U laisse invariables trois des facteurs qui forment Ce terme, elle n’altère évidemment pas ce terme, et par suite, laisse invariable le quatrième facteur. Par l’application réitérée de ce principe, on reconnaît que U lai.ssc hiimobiles les racines (33oooo), (3o3ooo), (o33ooo); puis (1 1 1000); puis (aooooo) et (3ooooo).
Donc U laisse immobile la racine (j3,ooooo), quel que soit et par une raison de symétrie évidente, elle laissera immobiles les racines
{ofi,oooo) (oocoo^,), quels que soient Appliquant de
nouveau le principe ci-dessus, on voit que U laisse immobiles
et enfin (/3, |5,,^,p,i3,p,).Donc U, laissant immobile une racine quelconque, se réduit à runité, et S sera de la forme 2.
iâ9. Les problèmes de contacts traités par M. Cicbscb dans le .Mémoire cité l’ont conduit à un grand nombre d’équations analogues k la précédente, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes :
1“ L’équation du degré 3’° qui détermine les courbes du cinquième ordre dont les points d’intersection avec une courbe donnée du sixième ordre coïncident trois k trois (§ VII du Mémoire);
a” Celle du degré .4’ dont dépendent Jes plans qui coupent une courbe gauche du quatrième ordre en quatre points consécutifs;
3° Celle du degré 3' qui détermine les courbes gauches du quatrième ordre qui coupent une courbe gauche du sixième ordre en douze points coïncidant trois k trois (§ XVII et XVIII du .Mémoire).
Les raisonnements quf précèdent s’appliquent sans difficulté k ces diverses équations, et montrent que leur groupe G a ses substitutions de la forme
|jT,,a:„... 4- 6, X, +■ . .. -4- a,, a, JT. c 6.x, + . . -t a... . . |.
430. Les facteurs de composition de G sont évidemment ceux du groupe linéaire
|x,, X„.. O, X, 4- i, X, -I- . . ., rt.X, 4 4.x, 4- . . . . . . . I
déterminés plus haut (127-140), joints k ceux du groupe partiel
Ics4|uels sont évidemment égaux aux facteurs premiers de m", n étant le nombre des indices x,, x, et m le nombre de valeurs de cliacun d’eux.
DES IRRATIONNELLES
:UHt
§ III. — Droites situées sur les surfaces ou quatrième degré
A CONIQUE DODSLE.
431. Les surfaces du quatrième degré qui possèdent une conique double jouissent de propriétés remarquables, au sujet desquelles M. Clebscli a bien voulu nous adresser une communication dont nous donnons ici la traduction (•):
< Ces surfaces possèdent cinq cônes K dont les arêtes leur sont doublement tangentes. La surface contient en outre seize droites, qui coupent chacune la courbe double en un point. Chacun des cônes K est louché p:ir les seize droites; et, relativement à chaque cône, les droites se partagent en huit couples, ainsi qu’il suit. Chaque plan tangent au cône coupe la surface suivant deux coniques, comme l’a montre M. Kumnicr : en fqisant tourner le plan tangent autour du cône, on engendrera ainsi deux faisceaux de coniques, complètement séparés, et entre lesquels n’existe aucune transition. Chacun des deux faisceaux de coniques ainsi correspondants à chaque cône contient quatre coniques décomposables en deux droites.
> Si l’on résout l’équation du cinquième degré qui donne les cônes, puis les cinq équations quadratiques qui servent à séparer les faisceaux de coniques, on pourra ensuite exprimer les droites rationnellement : car, si l’on prend arbitrairement quatre faisceaux parmi ceux qui appartiennent à quatre couples donnés de faisceaux, ils n’ont jamais qu’une droite commune. On n’a pas besoin de considérer les faisceaux qui correspondent au cinquième cône. Cela est mis en lumière dans le tableau suivant, où les chiffres i, a,..., iC représentent les seize droites, et les chiffres I,..., V les cônes, mis en regard des couples de droites correspondants :
a,6; 3, 7; 4, 8; 5, ij;
1, iti;
II, i4i
1,6; 3, loj 4, 11; 5, la;
I, 7; 2, lo; 4, i3; 5, i4;
8, la;
