la
. . 1,9; a, la; 3, i4; 4, i5;
5, iG;
> Soient X,,>„X,,X, quatre racines de l'équation du cinquième degré;
P) /or> le Jnurnrü /te M, BoRCnARDT, l. tXPC.
lift LIVRE TROISIÈME.
1rs racines de l'équation aux seize droites seront rontenucs dans la formule
nii ii et 9 sont des fonctions rationnelles. •
433. Le groupe de l'équation X aux seize droites .se réduit aux substitutions qui n'altèrent pas l'expre.ssion
9r=i.t>-i-3.7-*-4*^"''5.9-t-...-t-5.i6-f'G.i3-t-7.ii-f-8.io.
En elTct, soient ab l'un des ternies de celte expression; S une subslitulion du groupe cberché; a', h' les racines qu'elle fait succéder à a, h. Les lieux droites a, b étant dans un même plan, tangent à un.cùne singulier, on voit comme au n" 421 que les droites a', b' jouiront de la même propriété : donc a' b' est tin terme de ?.
133. Le groupe G de la fonction 9 contient au plus iG. 1 . 3.3.4. 5 substitutions. Car son ordre est égal au produit du nombre de positions distinctes que ses substitutions permettent de donner à la racine a, lequel est au plus égal à 16, par l'ordre du groupe partiel H formé par celles de scssubslilulinns qui ne déplacent pas cette racine (44). Les substitutions de H perinii- Icnt exclusivement entre elles les cinq racines 6, 16, 10, 11, ta qui se trouvent associées .à a dans les termes de L’ordre de II est donc au pdus égal à i.a.3. 4. 5 O, O étant l'prdrc du groupe partiel^ formé par celles de ses .substitutions qui laissent immobiles les racines 3, 6, 16, 10, 11, la. Mais la racine 1, étant la seule qui soit associée à la fois à 6 et à iG dans les lerines de ne sera pas altérée par les substitutions de I; de même pour chacune de.s autres racines. Donc I se réduit à la seule substitution 1.
D'autre part, on vériiie sans peine que G contient les substitutions
A — (a, i)fio, 7)(ii,8)(ia, 9), A. = (6, 7)(i4, ta)(i3, 1 1)(3, a),
A, = (7,8)(io, ii)t 4,3)(.4,i5), .A, = (8,9)(ii,ia)(i3. i4)(5,4).
B = ( 9, i6)(4, io)(a, i3)(3, ii){5, Ol®. '»)( 7- '4)( 8, i5),
B, =.(ia, i6)(4, 7)(i,i3)(3, 8)(5, a)(6, 9) (10, i4)(i i, i5),
B, = (i4, i6)(4, 6)(i,n)(a, 8)(5,3)(7, 9)(io, ii)(i3, i5),
B, = (i5, i6){3, 6){i, io)(a, 7)(5,4)(8, 9)(i 1, ia)(i3, i4).
cl leurs dérivées. Ces dérivées sont au nombre de 16. a. 3.4. 5. En effel, la
DES IRRATIONNELLES
;ill
-loiiction ç csl la somme de dix fooctions partielles b, a„ b„ lespee- (ivcment formées par les quatre termes de ç qui correspondcat à un même faisceau de coniques; et l’on voit que les substitutions A, A,, A,, A,, U, R,, B,, B, permutent les unes dans les autres ces dix fonctions partielles, et leur font éprouver les déplacements suivants :
.L = (a, a,)(6, 6,), -t-, = (o,a,)(i, ft,), -U, = (a,a,){fc, 6,), A, = (a, a,) (6. 6,)
iR. = (a, é,)(a, 6,), ilt, = (a, 6,}(a, fr,), VL, = (a, 6.) (a, 6,), lü., = (a. é,)(a, ft,).
Cela posé, les substitutions .t., ,1., -V,, combinées entre elles, permel-
lent de permuter d’une manière quelconque les cinq couples de fonctions a,, b,;...; a„ b^; et les seize substitutions de la forme permu-
teront entre elles les deux fonctions de chaque couple, sans déplacer ces
couples. Donc l’ordre du groupe ff dérivé de .L, .L et a fortiori
l’ordre du groupe dérivé de leurs correspondantes A, A,,..., B, est au moins égal à I . a. '3. !\. 5. i6.
334. Le groupe de l’équation Y du dixième degré qui a pour racines a,, b,;,..; a,, b, ayant le même ordre que G, l’équation Y’ est équivalente à l’équation aux seize droites. Donc les racines i, a,..., i6 sont des fonctions rationnelles de a,, b,;...; a,, Pour avoir la forme de ces fonctions, un remarquera que la racine i6 reste invariable par les substitutions A, A,, A,, A,, respectivement correspondantes à x,, X„ X,. Donc cette racine est une fonction symétrique par rapport aux cinq couples a,, b, n,, b., et pourra s’exprimer en fonction rationnelle de la fonction
invariable par les mêmes substitutions.
Soit donc
|6 = ij; (O' ~ •
On ne troublera pas cette égalité en opérant à la fois sur son premier membre les substitutions dérivées de B, B,, B,, B, et sur son second membre les substitutions correspondantes dérivées de iR>, VL,, vi>i, vl,; ce qui déterminera les diverses racines i, a,. .., iG en fonction des différences a, — b
Soient maintenant X, une fonction symétrique de a,, X»,..., X, les
fonctions analogues de a,, b,;...; a„ 6,. Toute fonction symétrique des cinq quantités X est. invariable par les substitutions de et, par suite, ration-
:ili ■ UVRE THUISIEMt.
ncllti. Donc X,,..., X, suot les racines d'une équalion du cinquième degré à coefTicicnts rationnels. Adjoignons ces cinq quantités k l'équation donnée du dixième degré. Cette équation sera décomposée en cinq facteurs quadratiques : car les coelïicients de l'équation quadratique qui détermine a,, b,, étant symétriques en a,, b,, s'expriment rationnellement en X,. Soient 5(X,), 6,{X,) ces coeflicients : les deux expressions nulles
n’, + ®(X,)a.-j-0,(X,), éi-f 9(X,)6, -4-&,{X.)
.seront invariables par toutes les substitutions de G. Mais ces substitutions permettent de remplacer a,, b,, X, par a„ b^, X,;...; a^, b,, X,. Donc, quel que soit l'indice r, a, et b^ seront données par l'équation quadratique
jr' -t- 6(X)æ -I- 5i(X, ) — O.
Késolvani cette équation, il vient
- i, = vv(X,).
étant une fonction rationnelle. Donc la racine iti sera égale ii
I.C.- autres racines s'obtiennent en opérant sur cette expression les substitutions dérivées de iR>, es,, vS,,, lesquelles reviennent b exécuter sur les radicaux des changements de signe en nombre pcùr.
Cette expression des racinès, plus symétrique que celle de .M. Clebscb, contient une irrationnelle de trop; car a,, cl, par suite, leur différence ^ 9(X,), s'expriment rationnellement en fonction de a,, 6,;...: qui
■ s'expriment eux-mémes en fonction de X X,,
V35. Soient en général G un gruiipe de substitutions échangeables entre elles opérées sur p lettres x, A, U, C... ses substitutions; A,, B,,
C ;...; A^, B,, C,,... des substitutions analogues respectivement opérées
s;ir 9 systèmes analogues de p lettres, a:,, j,,.... Soient en outre A, B,... des substitutions eu nombre q, choisies arbitrairement dans le groupe G, de telle sorte pourtant que leur produit donne l'unité : et formons la substitution A, B,.... Les diverses substitutions ainsi construites forment un groupe H; car, soient A, B,... et A‘, B',... deux de ces substitutions ; leur produit fait subir aux lettres des divers systèmes les déplacements représentés par A, A',, BiB*,,..., qui, effectués successivement sur
DES IRRATIONNELLES. 3IÏ
le système ar, y,..., donneraient pour résultat
Donc le produit est l'une des substitutions de H.
Si le groupe G est transitif, son ordre est égal à p : celui de H sera donc égal à/»»"*. Car l’une des q substitutions partielles qui forment ses substitutions est déterminée par les </ — i autres, qui peuvent être choisies chacune de P manières différentes. D’ailleurs, il est clair que H est permutable aux 1.1... q substitutions qui permutent les systèmes a;,, y,,. a:,, j,,... entre eux, en remplaçant les unes par les autres les lettres correspondantes. Ces substitutions, jointes à H, fournirontdonc un groupe I d'ordre i.i...qif~' .
L’équation de degré pq qui a pour groupe I se décomposera évidemment par la résolution d’une équation de degré q en p équations abéliennes, telles, que la résolution de ^ — i d’entre elles entraînera celle de la dernière, et par suite 1a résolution de la proposée. D’ailleurs une fonction des racines de la proposée, invariable par les \.i...q substitutioifs que nous avons jointes à II, dépendra d'une équation du degré pf~' , équivalente à la proposée.
Si = a, y = 5, on aura l'équation de M. Clebsch. Si p = i, q = on aura, d'après le même géomètre, l’équation qui donne les cent-vingt-liuit coniques situées sur les surfaces du quatrième ordre à droite double.
§ IV. — Points singuliers de la surface de M. Kummer.
436. .M. Kumincra montré (.Wona/féenc/i/e der flertiner .iiademie: i86/|), i“ qu’iï existe des surfaces du quatrième degré àseize points singuliers ; i° que ces points sont situés six à six sur seize plans tangents singuliers, qui réciproquement se coupent six à six aux points considérés.
Soient
les seize plans. Prenons arbitrairement dans le tableau ci-dessus une ligne horizontale, telle que efgh, et une colonne verticale, telle que cglq : supprimons le plan g commun à cette ligne et à cette colonne; les six plans
31 i UVRE TROISIÈME.
restants e,f, h, c, l, q, formeront l'une des seize combinaisons de six plans ■concourants.
Ces résultats admis, ajoutons ensemble les seize produits, tels que efhclq, respectivement correspondants aux seize combinaisons de plans : nous obtiendrons une fonction du sixième degré :
Ÿ = bedein + edafkp ■+- dabgfq -t- abebmr-h fpbina -I- gfithpb heflqc -t- efgmrd ■+■ klmnae Iniipbf + mUgeg-t^ ikirdh -t- pqraei + qmbfk rnpcgi -t- npqdhm.
Considérons maintenant l'équation du seizième degré dont dépendent le.s plans singuliers; et soient a, b, c,... ses racines. Le groupe G de l’équation ne contiendra d’autres substitutions que celles qui laissent invariable l'expression 9 (iSl ).
437. Ce groupe ne peut contenir plus de 16. i3.8.6 substitutions. Lu elTct, le nombre des systèmes de places différents où scs substitutions permettent d’amener a et 6 ne dépa.sse pas 16. i5. D'autre part, celles de ses substitutions qui laissent a et 6 immobiles laissent évidemment invariable la fonction partielle ab[chmr + dglq) formée par ceux des termes de 9 qui contiennent ab en facteur. Elles ne permettent donc de transporter c qu’à l’une des huit places actuellement occupées par c, h, m, r, il, g, /, q. Celles des substitutions de G qui laissent a, b, c immobiles laissent invariable le terme abehmr; elles permutent donc entre elles les trois racines hrnr, ce i|ui ne peut se faire que de six manières. Entin, on vérifie immédiatement que toute substitution de G qui laisse a, b, c, h, m, r immobiles se réduit à l’unité.
Mais G conlient précisément 16. i5. 8.6 substitutions. Car on peut vérifier i|u'il contient les suivantes :
B = (ch)(dg)[hn)[ip), C = [bc)[fg){,kl){pq), u = {în][kp)(lq){mr), Z — {cd]{gh)(lm)[qr), F = [ab][ef)[ik){np),
qui permettent d’amenera à une place quelconque, puis^à l'une quelconque ■les quinze places restantes, puis c à l'une quelconque des huit places précédemment occupées par c. A, m. r, t/, g-, /, 9, et enfin de permuter entre elles d’une manière quelconque les trois racines h,.m, r.
438. Supposons que les seize racines actuellement désignées par a, b, c,... soient ^présentées à l’avenir par une même lettre, affectée de i|ualre
DES IRRATIONNELLES 3IK
indices or, y, s, u, varialilcs chacun de o à i. On peut donner à la racine a les indices o, o, o, o, puis choisir les indices correspondants aux autres racines de telle sorte que les suhstituliuns A, B, C, D, E, F prennent les formes suivantes:
\ = x,y,u,z |, Br=lx,j-,î,n x -l- ï -L «,« 1 ,
C = |x,^-, *, « y.x.z.u |, D=|x,/,j, « x,y,z-*-u,ii |.
E = |x.^-,a,u x-+-.»-,^-, i, H |, F=|x,.ns.« -t-r " !■
Ces substitutions sont évidemment contenues dans le groupe T dérivé de la combinaison du groupe abélien avec le groupe H formé des substitutions
I X, y, Z, tt X -I- O, / -4- P, i -e y, « ->- 3 |.
D’ailleurs l’ordre de F est égal à ifi(a* — i) 2*(3’ — i)a; il est dune égal à l’ordre de G; donc ces deux groupes sont identiques.
