DI K
substilulions
( 5 ) I jr, >•, 4, U, . . . X -t- ^ -t- 3, î — y, « +• . . . |,
jointes aux subsliliitions du groupe abélien, se résout par une é<|ualion du degré 2’"“' — a*”', et par 2/1 équations du second degré. Car soit /une l'onction des racines, invariable par les substitutions (5) et variable pur toute autre subslitulioii. Son adjonction réduit le groupe de la proposée aux substitutions (.S). On pourra donc achever la résolution au moyen de 2/1 équations du second degré. Mais le groupe de l'équation X dont dépend J est isomorphe sans niériédrie au groupe abélien, et par suite au groupe steincrien de degré — 2""' qui est isomorphe à ce dernier. Il existe donc une certaine fonction des racines de l'équation X à laquelle les substitutions du groupe de X font prendre a”"' — 2"'“' valeurs algébrii|ues distinctes, qu'elles permutent suivant le mode steincrien (68-7.3). I.'équation Y d'oIi dépend celte fonction sera du degré 2“'~' — a"~', et équivalente h .X.
S V. — Dhoites situées sub les surf.vcks nu troisième dec.iu;.
44t. Steiner a fait coiiiiaitre [Journal de M. Harchardt, t. 1.111) les tliéoréines suivants ;
Toute surface du troisième degré contient vingt-sept dmites;
L'une quelconque d' entre elles, a, en rencontre dix autres, se couftant ellesmêmes deux à deux, et formant ainsi avec a cinq triangles. Le nombre total des triangles ainsi formés sur la surface par les vingt-sept droites est de quarante-cinq ;
LU deux triangles abc, a' b' c’ n'ont aucun côté commun, on peut leur en assiK'ier un troisième a" b" c" tel, que les côtés correspondants de ces trois triangles se coupent, et forment trois nouveaux triangles ua'a", b b' b", cc'c".
D'après cela, désignons par les lettres a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l,m , n, p, q, r, s, l, U, m', n' , p', q’, r', s', t', u" les vingt-sept droites: on formera sans peine le tableau suivant des quarante-cinq triangles, on ,1a désignation des droites reste seule arbitraire :
mie, afg, ahi, ahl, bmn, bpq, hrs, btii, ent'n, ep'q', er's',
et'ii', dmm', dpp', drr‘, dtt', enn', eqq', ess', eiiu', fmq‘, fpn’ , fst',
fur', gnp’, gqm‘, gnê , gts, lims', lirn', liqt', lmp', inr', isni', itq’,
ipu, kniié, litn', kqr’ , kspf , Int', lum', Irq’, tps'.
Cela posé, le groupe île l'équalion aux vingt-sept ilroites est contenu (i2l) dans le groupe G tie la fonction
ç = abc -t- ade . -f- tps',
442. Le nombre des places distinctes où les substitutions de G perinctteiit d'amener a est au plus égal k vingt-sept. Celles de ces substitutions qui ne déplacent pas a permutent les uns dans les autres les cinq termes de f qui contiennent a : elles amènent donc b, qui figure dans ces termes, k la place de l’une des dix racines b, c, d, e,f, g, k, i, k, /. Celles de ces substitutions qui nedcplacent ni a ni b n’altéreront pas le terme abc qui contient ces deux racines; donc elles laissent c immobile, et font succéder d a- runc des huit autres racines d, e,f, g, h, i, k, l qui figurent dans les quatre autres termes de f qui contiennent a. Celles de ces substitutions qui ne déplacent pas a, b,c,d n'altèrent pas les coeflicients de leurs diverses pui.ssances dans la fonction 9. Elles laissent donc invariables e, fg+ là -h kl, mn pq -h rs -h lu, mm' -h pp' -t- rr' ■+■ II',.... Elles permutent donc exclusivement entre elles les quatre racines m,p, r, t communes aux deux dernières expressions ci-dessus; ce qui ne peut avoir lieu que de vingt-(|uatre manières. On voit de niéiiie que celles des substitutions de G qui laissent a, b, d, m, p, r, t immobiles se réduisent k la seule substitution 1.
L’ordre de G ne peut donc dépasser 27.10.8.24. Mais il est égal k ce chifl'rc, car on vérifie de suite que G contient les substitutions
\ = {amu){cnt) {gq'r’} {it'p') {u'id) (»!>/■),
Il = ( 6/(/i ) ( cfV) {pfr') [ns'u') [p'tr) {n'sii), '
C={dbk){eil) (m't'if) [pus) {n'r't')(qtr),
D = (gAA) {fil) (n'ii'i') (mtr) {m't'r'){niis},
, = } (gil) {p'r'l'}(prl) (q’s’ii' ) Iqsii ),
F = (bk)(i/!(r't')(t’u')(rl)(sa),
dont les cinq premières, combinées entre elles, permettent évidemmeiit de faire succéder a k l’une quelconque des vingt-sept racines. Les substitutions B,C, D, E permettent ensuite, sans déplacera, d’amener k la place de l’une quelconque des dix racines b, c, d, e, /, g, h, i, k, l. Puis les substitutions C, D, E permettent, sans déplacer a, b, de faire succéder dit l’une quelconque des huit racines d, e, f, g, h, i,'k, l. Les substitutions D. E, qui ne déplacent pas a, b, d, permettent de faire succéder m et p k deux quelconques des quatre racines m, p, r, t, ce qui donne pour ces racines douze
systèmes de places distincts. Enfin la dernière substitution permet de permuter entre elles les deux racines restantes r et /, sans déplacer a, h, d, m, /).
Donc G ne contient pas moins de 27.10.8.13,3 substitutions; en outre, le groupe partiel H dérivé des seules substitutions A, B, C, D, E en contient au moins 37.10.8.1a. Nous allons prouver: 1“ qu’il en contient précisément ce nombre; a” qu’il est permutable à toutes les substitutions de G.
i43. Chacune des substitutions de G, transformant les uns dans les autres les divers termes de équivaut à un certain déplacement opéré entre ces termes. Les divers déplacements ainsi équivalents aux diverses substitutions de G forment un groupe G,, dont les substitutions correspomlent une à une à celles de G. Celles des substitutions de G, qui résultent d’un nombre pair de transpositions entre les termes abc, ade,... forment un groupe partiel 5i permutable aux substitutions de G,. Les substitutions correspondantes du groupe G forment un groupe 5, permutable aux substitutions de G. En effet, soient S, S' deux substitutions de f’n S, les substitutions correspondantes de 5, : S, S', faisant partie de 5i« s® correspondante SS' fera partie de la suite 5> laquelle formera ainsi un groupe. D’autre part, soient T une substitution quelconque de G, T, sa correspondante : T, 'S, T, faisant partie de 5,, sa correspondante T“' ST fera partie de 5? donc T sera permutable à 5-
Or on vérifie sans dilTiculté que chacune des substitutions A, B, C, D, E équivaut à un nombre pair de transpositions entre les termes abc, ade,.,.. Donc II, qui en dérive, est contenu dans 5. Au contraire, la substitution F. équivalant à un uombre impair de transpositions, n’est pas contenue dans ce groupe. Donc 5, dont l’ordre est un diviseur de celui de G, renferme ait plus la moitié des substitutions de ce dernier groupe. Mais il contient H, qui en renferme la moitié : ces deux groupes sont donc identiques.
444. Les facteurs de composition de G sont évidemment a et les facteurs de composition de H. Mais ce dernier groupe est simple. Soit en elTet I un groupe contenu dan.s H et permutable à ses substitutions : on prouvera par des considérations analogues à celles des n°* 268 et 283 que I contient : 1° une substitution qui ne déplace pas a; 3° une substitution qui ne déplace pas a, b-, 3" une substitution qui ne déplace pas a, b, d\ 4“ la substitution E; 5® les substitutions A,B, C, D, E, transformées des puissances de E par les substitutions de R.
. DES IRRATIONNELLES. ’ai»
Nous nous bornons à indiquer ce procédé direct de démonslralion, la proposition k établir devant se retrouver plus loin (502).
445. L’équation aux vingt-sept droites a plusieurs réduites remarquables, signalées par divers géomètres.
1“ Prenons, par exemple, pour inconnue de la question le plan du triangle formé par trois droites qui se coupent : ces triangles étant au nombre de quarante-cinq, on aura une équation du quarante-cinquième degré, équivalente à la proposée. •
a® On peut déterminer de manières dilTérentes un système de deux
triangles qui n'aient aucune droite communet.à chaque semblable système correspond un triangle associé (441). Réciproquement, chaque système de trois triangles associés {triédre de Steiner) correspond aux trois combinaisons deux à deux des triangles qui les forment. Le nombre total des triè-
dres sera donc On peut d’ailleurs les grouper par paires (rfouéfej irié-
dres) en réunissant ensemble ceux qui contiennent les memes droites. Lnlin les doubles trièdres peuvent être associés trois à trois, en réunissant ensemble ceux qui n’ont aucune droite commune. Prenant pour inconnue ce système de trois doubles trièdres, on aura une équation de degré
et équivalente à la proposée.
On peut déterminer de manières différentes une paire de droites
qui ne se coupent pas. On peut d’ailleurs grouper ces paires six à six {doubles-six de Scblüfli), de telle sorte que les droites d’une paire rencontrent chacune une droite de chaque autre paire du double-six. Les doubles-six
dépendent donc d’une équation du degré = 3G, qui sera encore équivalente à la proposée.
Aucune réduite d’un degré inférieur au vingt-septième n'ayant été rencontrée jusqu'ici, on était fondé à penser qu’il est impossible de ramener la résolution de l’équation aux vingt-.sept droites à celle d'une équation d’un degré inférieur. Nous allons en effet prouver cette proposition.
446. En effet, si un semblable abaissement de degré pouvait avoir lieu, il aurait lieu a fortiori après l’adjonction de la racine carrée qui réduit le groupe de la proposée à H. Supposons donc cette adjonction opérée : soient
Ej, l’cqualion aux vingl-scpt droites. Excelle des équations équivalentes dont le degré d est ininiinuin : cette dernière équation sera irréductible ei primitive. En efrel, ses racines sont des fonctions rationnelles de «ellés de Ejy {380). Si donc Ej n’était pas irréductilile, elle se décomposerait en facteurs irréductibles de degré inférieur à d\ et la résolution d'un seul do ces facteurs, faisant connaître des fonctions des racines de Ej, qui auparavant n'étaient pas rationnelles, abaisseniit le groupe de cetle équation. .Mais ce groupe H est simple: donc l’équation E,, serait complètement résolue; donc d ne serait pas te minimutii supposé. D'autre part, si E,| n'étail pas primitive, scs racines se grouperaient en systèmes, dépendant d’une -équation dont le degré ilivisc d, et la résolution de cette dernière équation, abais.sant le groupe de E„, la résoudrait complètement; donc, ici encore, d ne serait pas minimum.
Cela posé, l’ordre du groupe de E^ est égal à celui du groupe de E,,. lequel est (1=37.10.8.6.0 (-H3); mais il est divisible par d, et divise i.a...<f. Donc si rf< 37, il sera l’un des nombres 3/1, ao. 18, 16, i5, 13, 10, 9.
447. H rCeJiisle aucune réduite de degré a4, 1 8 om 13. (iar soit, pour fixer les idées, d = a4- .\djoignons à l’équation E,, une de ses racines, x : l’équation E,, qui détermine les vingt-trois racines restantes a son groupe Gj,
formé des substitutions qui laissent x immobile, et son ordre est égal à
nombre divisible par les nombres premiers 3, 3, 4- Les équations irréductibles dont elle est le produit ont donc leur ordre divisible par ces trois nombres premiers, à l’exclusion de tous les autres (397). Donc chacune de ces équations est du degré 5 au moins; en outre, aucune d’elles n’a pour degré 7, 8 ou 9, car son ordre ne pourrait être divisible par 5 sans l’ètre par 7 (398); enfin aucune d’elles n’a son degré divisible par un nombre premier autre que 3, 3, 5, car ce nombre premier divi.serail son ordre. D’après cela, les seules hypothèses admissibles pour les degrés de ces facteurs irréducliblcs sont les suivantes ; 18 et 5; 13, 6 et 5: 6, 6, 6 et 5.
Mais ces bypüthè.ses elles-mêmes doivent être rejetées. Considérons, par exemple, la première (les mêmes raisonnements s’appliqueraient aux deux autres). Supposons que E„ soit le produit de deux facteurs E,, et E, ayant respectivement pour racines v ,9',, et a:,,..., x,. L’ordre du groupe par-
tiel r"** formé par celles des substitutions de Gj. (jui laissent immobiles x
et Xj, sera
et celui du groupe partiel A'’* formé par celles de ces substitu-
UES inRATlONNELLES
Rit
lions qui Isisscnl immohiles æ et r, sera ü- S*>*1 niainlenanl S une
substiluliun Je G^<, r|ui remplace ar par x^, cl soient : une autre racine (|ueleonqu(! Je F,,, ti la racine ipic S lui fait siiceéJcr. Le groupe furnié par les siihslilgtians qui laissent et u immoliiles est le transfurmé par S Je celui dont les substitutions laissent x cl a immobiles r il contiendra dune
-P, ou - i“ -G substitutions, suivant que ; sera l’une des racines x,,..., x,. ou l’une des racines
Or l’écpialion Ej ayant son ordre divisible par 3, son groupe est trois fois transitif (398); donc le groupe formé par celles des substitutions de G„ qui laissent immobiles deux quelconques de ses racines, x^et x^', a pour ordre
Le groupe formé par celles des substitutions de Gj, qui jouissent de cette propriété, contenant celui-là, a pour ordre un .multiple de ce nombre; donc il ne peut avoir pour ordre *^'"1 famines telles,
que le groupe partiel formé par celles des substitutions de G,» qui lais.scnt immobiles l’une d’elles en même temps que x,, ait pour ordre ^5’
x,x x^|, x^^. Mais S les fait succéder aiTx cintj racines x,,,.,, x,,
qui jouissent de la même propriété par rapport à x. Donc S permute exclusivement entre elles les six racines x, x x^; d’où l’on déduirait
cnmnic au n° 396, que E2, n'est pus primitive, ce qui est contraire au numéro précédent,
4V8, Il n existe aucune re'duite de degré 30, i5 ou 10, Car s’il existait, par exemple, une réduite du vingtième degré, le groupe 5 formé parcelles
des substitutions de il i|ui laissent sa racine invariable aurait pour ordre et le groupe K formé par celles des substitutions de H qui laissent immobile la racine a ayant pour ordre l’ordre du groupe pc formé par les substitutions communes à .•» et à K serait ■ ^ ; ou le vinulième de l’ordre
deK‘(393),
Cela posé, les substitutions de K sont de la forme A^D^; étant
des substitutions partielles qui permutent ensemble les dix racines h,c, d, é,J, g, h, I, k, I, et B,, B,,.,, des substitutions opérées en même temps sur les seize autres racines : d’ailleurs on voit sans peine qu'aucune substitu-
LIVnE TROISIÈME.
liun de K (à l’esRcpùün de l’unité] ne laisse les dix premières racines immobiles il la fois. Soient en particulier -»■, .1,111.3,... les .substitutions
de 3f : le fçroupe 3t' formé par les substitutions partielles .1.,, opérées
sur les dix preniièrcs racines sera évidemment contenu dans le groupe K' formé par les substitutions partielles et contiendra tin vingtième
du nombre total de scs substitutions.
Or on voit iminédialemcnt que K', dérivé de.s substitutions
(fhli]l gil),
eunlienl: 1° les substitutions qui ré.sultcnt d'un nombre pair de transpositions entre les cinq systèmes binaires hc,de,/g, ht, kl', a" les substitutions qui ne déplacent pas les .systèmes, mais permutent ensemble les deux racines dans un nombre pair de systèmes. Ou rcconnait en outre facilement que tout groupe tel que DC', contenu dans K’ et contenant le vingtième de .ses substitutions, contient le groupe L' formé par ces dernières substitutions. D’ailleurs 1/ est permutable aux substitutions de K'; et réciproquement tout groupe contenu dans K' et permutable à scs substitutions est contenu dans L'.
Les substitutions de K^et de K' se correspondent évidemment une à une, de telle sorte qu’au produit de deux substitutions correspond le produit de leurs correspondantes. Le groupe X, formé des substitutions de K dont le premier facteur appartient à 3C', contiendra le groupe L formé des .substitutions de K dont le premier facteur appartient à L' : donc qui contient oc, contiendra L. Kn outre, L sera permutable aux subsiilu).ians de K, et récipro- (luement tout groupe contenu ilans K et permutable à ses substitutions .sera contenu dans L.
Soient maintenant S une substitution ijuclconque de II; a, la racine par laquelle elle remplace a : elle transformera K, L en deux autres groupes K,, l.|, qui jouent par rapport à la racine ri, le même rôle que K. L par rapport il la racine a. Raisonnant comme précédemment, on voit que ÿ contiendra les transformées des substitutions de L par une substitution quelconque de H; mais ce dernier groupe étant simple, ces transformées, combinées entre elles, le reproduisent tout entier. Donc ÿ, au lieu de contenir', coaninc il le faudrait, le vingtième des substitutions do 11, se confondrait avec lui.
449. // n'existe aucune réduite du degré 16. S’il en existait une, E,„ soient E,, l'équation qui donne quinze de ses racines après l’adjonction de la seizième, G„ son groupe, (),, son ordre : on voit, comme au n" 447, que
[)KS IKUATIONNEIXES
si E,, n'est pas irrciluclible, elle $e décompose en deux facteurs du dixiéme et du cinquième «Rgré, ou en trois facteurs du cinquième.
Mais E,, ne peut se décomposer en trois facteurs du cinquième degré : car l'ordre ile1{,, diviserait (i .a... 5)’. iG et ne pourrait être égal à U.
Supposons maintenant E,j= E’c(|uation du cinquième degré Es,
ayant son ordre O, divisible par 3, a son groupe Gj trois fois transitif; d'ailleurs O,, divisant -^t n’est pas divisible par 8; donc le groupe G» est alterné. Cela posé, soient G,, le groupe de E,o, 0,„ son ordre : ou aura évidemment ‘ = 0|, = 0„ P, P étant l’ordre du groupe partiel T formé par eclleâ des
substitutions de Gu qui ne déplacent pas les racines de E,„. Ce dernier. groupe est évidemment contenu ilans Gj et permutable à scs substitutions; et le groupe G, étant simple, 1' se confond avec lui ou ne contient d'autre substitution que l'unité. .Mais si F se confondait avec Gs, P serait divisible
par 5- et O,, P par a5. tandis que ne l’est pas. Il faut donc .admettre la seconde hypotlièse, d’où P = i , = (),„.
t'da posé, adjoignons à l'équation E,, une de ses racines, o' : l’é(|uation E, ()ui détermine les autres aura pour ordre
ilemment pour cela qu'elle soit irréductible, mais que l'équation E, obteiuie en s’adjoignant une nouvelle racine se décompose en facteurs irréductibles ayant chacun pour degré i , a, 3 ou 6. L'ordre de E, devant être égal à a. 3’, l'un au moins de ces facteurs aura pour degré 3 ou G, cl il est aisé de voir ()ue, quelque liypotltcsc qu’on fasse sur les degrés de ces facteurs, ré(|uation E, sera non primitive (395). Cela posé, soient a, fi, y; a', (5', y'; fi", Y ses racines : on voit iininédiateincnt que l’ordre de E, ne peut être égal à 2.3* (|iic si son groupe G, est dérivé des substitutions
(apy). (a'?’/), (aT/"). («V)(?|î'Ky/), '
Il est facile maintenant de prouver l'impossibilité du groupe G, g. Ce groupe, étant deux fois transitif, contiendrait une substitution S qui remplace a, fl, y par â, jS, et par une autre racine s (différente ou non de a et de y) : et G,, contiendrait la substitution {àfît], transformée de («fy) par S. Soient mainIcnantÇ une autre racine quelconque: T une substitution ilc G,, qui remplace Ç par <?; a,, |3,, y,, <?,, i, les racines que T fait suceeder à a, |5, y, d*, e : l<?s substitutions (cf,/5,e,), y,), transforméc.s de (rf^s), [afy)
324 LIVRE TROISIP.ME.
pnr T, ne déplaçant pas c^, appartiendraient à G, ; résul^t absurde, car le groupe dérivé de ces deux substilnlions. alterné par rapport à a,, /î,, 7,, t,, ayant son ordre divisible par 4. ne peut être contenu dans G,, dont l’ordre est a. 3*.
450. Supposons maintenant l’équation E,s irréductible et primitive. .\djoignons-liii une de ses racines, a-; l’équation K,, qui donne les racines restantes aurait pour ordre 1),, := ~ 4-37. et se décomposerait en fac-
teurs irréductibles dont l’ordre divise ce nombre, et admet les diviseurs premiers a et 3. On aurait donc deux facteurs du quatrième degré avec un .du sixième, on avec deux du troisième.
1" Ces deux liypotlièses doivent être rejetées. En effet, considérons d’abord la première. Soient E",, E’^,E, les trois facteurs de E,,. I.’ordre de E, étant premier à l’équation Ej qui s’en déduit par l’adjonction d’une <le scs racines .sera décomposable en plusieurs facteurs irrédiietible.s, l't de quelque manière qu'on imagine que cette décomposition ait lieu, on arrivera à celte conclusion que E, u’est pas primitive (395). Les racines se grouperont doue deux à lieux en trois systèmes, ou trois à trois en deux systèmes. ’
Le premier cas e.st inadmissible : car 0,, serait divi.siblc par 8 ou ne le
serait pas par ij, et, par suite, ne saurait se confondre avec l’bi ef-
fet, 0|, est égal au produit de O,, ordre de E,, par P, ordre du groupe I" formé par celles des substitutions de G,, qui ne déplacent pas les racines de E,. Cbaquc substitution de ce dernier groupe est le produit de deux substitutions partielles opérées respectivement sur les racines de E, et de E', : et son ordre est évidcmmenl divisible par l’ordce P' du groupe I" formé par -les premières substitutions partielles. .Mais I" est contenu dans le groupe G', de l’équation E, et évidemment permutable à ses substitutions. D’ailleurs G', ayant son ordre divisible par 4 et par 3, et non par 8, est alterné; et l’on voit immédiatement qu’il y a en tout trois groupes contenus ilans G', et permutables à ses substitutions, lesquels ont respectivement pour ordre 13, 4 et 1. Donc P' = t3, 4 o<> '■ Mais O, étant divisible par G, 0,,= 0,P sera divisible par 8 si P > i. On doit donc admettre que E' se réduit à la seule substitution 1. On voit de même que le groupe 1"' forme par les secondes substitutions partielles se réduit à la seule substitution 1. .Mais alors on aura 0,, = 0„ et ce nombre divisant i.a.3.(i.a)’ ne sera pas divisible par 37.
DES IBRATIONNEIJ-ES. :iiS
Supposons, au conirairo. que les racines de E, se groupent trois à trois . en deux systèmes. On aura O,, = aR, R étant l'ordre du groupe I formé par celles des substitutions de G,, t|ui ne déplacent pas eos deux systèmes. .Mais rlia<iue substitution de I est le produit de trois substitutions nprtielles, opérées respectivement sur les racines de K',, de E’, et de E,. Soit l' le groupe formé par les premières substitutions partielles; il est clair qu’il contiendra au moins six des douie substitutions du groupe alterné G', : d’ailleurs I étant permutable aux substitutions de G,,, l' le sera a fortiori à celles de G',; ilonc r contient les douze substitutions de G',. Gela po.sé, R étant évidemmentslivisible par l’ordre de I', O,, le sera par 8, ce qui est inadmi.ssible.
a" Il reste à examiner le cas où E,, se décomposerait eti deux facteurs du quatrième et deux du troisième degré. Mais rimpn.sgibilité de cette bypo- Ibèse (réqiiation E,, élaait supposée primitive ) se démontre par des considérations toutes semblables à celles du n° Ü7.
151 . Il nous reste b démontrer que E,, ne peut être b la fuis irréductible et non primitive. Si cela avait lieu, ses racines se grouperaient cinq b cinq en trois systèmes, ou trois b trois en cinq systèmes. Examinons successivement ces deux cas.
i" Si les racines de E,, formaient troi.s systèmes, son groupe G,, aurait pour ordre /nP, m étant le nombre de positions différentes que ses substitutions donnent aux systèmes, et P l’ordre du groupe I formé par celles des suirstitutions de G,, qui ne déplauent pas ces .systèmes. Ces dernières substitutions sont de la forme A',, A’,.... étant des substitutions
partielles opérées sur les racines du premier .système; A',, A', et
A',... d’autres substitutions partielles opérées en même temps sur les racines du .second et du troisième système.
Soient respectivement I,, Ij, I, les groupes formés [lar les substitutions partioMes ,V;, A' .V',, A',. B,. B, B',.... celles des sub-
stitutions de I qui ne déplacent que les racines des deux derniers systèmes;
K le groupe formé par ces substitutions; Kj le groupe formé par les substitutions partielles B',, B',,...; soit enfin I, le groupe formé parcelles des substitutions de I qui ne déplacent que les racines du troisième système. Il est clair que K est contenu dans I cl permutable b ses substitutions ; donc a fortiori Kj e.st contenu dans I, et permutable b ses substitutions. De même I. est contenu dans I,, et permutable b scs substitutions.
I-es groupes 1,^ I,, I, ont leur ordre divisible par 5. En effet, l’ordre de I est évidemment égal au produit des ordres fi, q, r des groupes I,, K,, !..
UVHt TlUlIsIEME.
îii;
MaisKijU |iOui' ortire 0,5 = = 3’.3‘.5 = D'ailleurs divise i.a.’i;
doue iiti des noiiiljres p, 7. r, et un seul, est divisible |»ar 5. Supposons * que 7, par eiy.Mnple, soit divisible par 5 ; 1,. contenant K,, aura a fortiori son ordre «livisible par 5. D’ailleurs G,, contient une substitution S qui remplace les racines du second système par celles du premier: cette substitution transforme I, en I,; donc p, ordre de I,, est divisible par 5. De même pour l’ordre de I,.
Le nombre p étant divisible par f>, comme on vient de le voir, 7 et r ne le seront pas. Ils se réduiront donc à l'unité; car si 7, par exemple, était > 1 , les racines du secomi système pourraient être partagées en classes, en réunissant ensemble celles que les substitutions de K, permutent entre elles : cela posé, les substitutions de I,, étant permulaliles à K„ permuteraient exclusivement entre elles les racines ap|>artenant aux classes les moins nombreuses; donc I, ne serait pas Irausitif, et son ordre ne pourrait être divisible par 5.
Soit donC7 = /" = i : 0,5, se rédui.sant à m/», divisera i .a. 3. i .a. 3. 4. 5 et ne pourra être égal à comme cela devrait être.
i32. a” Si les racines de E,, formaient cinq systèmes, ^=0,, serait
encore égal à ml', m étant le nombre de positions dilfércnies que les subslilution.s de G,, donnent aux systèmes, et I’ l'ordre du groupe I.
Supposons d'abord que m soit divisible par 3 : les déplacements des systèmes formeront un groupe de degré 5, transitif et dont l’ordre est divisible par 3 ; ce groupe sera donc trois fois transitif : et son ordre n’étant pas divisible par 8, il sera alterné, ün aura donc m = 5.4.3, d’où P = 37. Ce résultat est impossible. En cITel chaque substitution de I devrait être de la forme -V.-.-.-V» désignant des substitutions circulaires eflectuocs I espcclivenicnt entre les racines du premier du cinquième sys-
tème, et .., a, des entiers nuis ou positifs; et l’on aurait P = nQ, n étant le nombre de systèmes de valeurs non congrues suivant le module 3 que prennent, dans les substitutions de I, les entiers a,, scj. Ie(|ucl divise 9, et (J le nombre des substitutions de I qui se réduisent à la forme r)onc
Q > I, et I contient une substitution S de cette dernière forme, autre que l’unité. Supposons, pour plus de généralité, que dans S les valeurs de a,, a, diflèrent de o(mod. 3). Transformons celte substitution par relies de (i,, ()ui laissent immobiles les troisième et quatrième systèmes, en remplaçant
DES IRRATIONNELLES
le cinquième par le prcmieret par le second. On obtiendra deux transformées telles que A'j .A',* A','; jS,. j3,, y,, ■/, étant des entiers différents de
o(mod. 3). Cela posé, deux des trois rapports ^ scronfnéressaireiiieni congrus par rapport à 3. Soit, par exemple, Les deux dernières sub-
stitutions ci-dessus, combinées entre elles, donneront la suivante : qui ne déplace plus que les racines dedeux systèmes. Celte substitution, transformée par celles de G,j, donnera des substitutions déplaçant les racines de deux systèmes quelconques. Cela posé, soient respectivement P,, P,,..., les ordres des groupes I,, K,..., formés par celles des substitutions de I qui laissent immobiles les racines du premier système, celles des deux premiers systèmes, etc., on aura
Supposons enfin m non ilivisible par 3. On a
î,,£,, I. étant des diviseurs de i.a.3. .Mais P= p — est divisible par 3* :
donc P, est divisible par 3, et Ij contient une substitution S, autre que l’unité, de la forme Les entiers a„ oc, différeront deo(mod. 3); car
si l’on avait a, = o, I contiendrait les transformées de S par les substitutions de G, J, transformées dont les puissances, combinées entre clics, reproduisent les 3’ substitutions de la forme .A*'... A*'. Donc P, cl, par suite,
^ serait diyisibic par 3’, ce qui n'a pas lieu.
Ün peut supposer a,5i, oc, ^2, les autres cas se ramenant à celui-là en écrivant au besoin A*, A^ à la place de A,, A,. On voit de tnéme que I contient une substitution de la forme A',‘A*', (3, et différant de o(mod. 3). Cette .substitution (ou son carré si ^,= 2) sera de la forme A» A';, et l’on peut supposer y, = a.On voit de même que I contient les substitutions A, AJ, A, A**, d, étanl^ofntod. 3). Mais cc-s substitutions, combinées entre elles, donnent la substitution A','’^', que I doit contenir, ce t|ui ne serait pas possible, d’après ce qui précède, si d, ne se réduisait pas à a. Donc I contient les substitutions A, .AJ, A, .AJ..,., A, AJ, et en général toutes celles de la forme A*‘,.,A\' pour leRquelles a, -t-... -t-oc, = o, lesquelles dérivent de celles-là.
;tiS LIVRE TROISIEME
Le groupe G,> ne peut contenir aucune autre subslitutiun d'ordre 3. Car relie substitution, ne déplaçant pas les syslêincs, par hypothèse, serait do la forme «.+•••+ «i étant ^o(inod. 3); et en la combinant aux
précédenles, on aurait un groupe d'ordre 3* contenu dans G,», ce qui est impossible.
Soient maintenant h,, h^, les racines de E,»; x la der-
nière racine de E,,. Le groupe G,, de E,,, étant ileux fois transitif, contient une substitution S qui remplace a, et ù, parx- et a, ; et la transformée de A, A® = (a,Z»,c,) (fliCjA,) par S sera de la forme T = (;ur), v, z.h,
r étant les racines que S fait succéder à c,, a,, c,, b,.
Supposons d'abord que y soit une des racines b,, c,, par exemple, b,. Les substitutions d'ordre 3 contenue.s dans I et qui laissent x, a,, b,
immobiles forment un groupe évidemment permutable à T, ou, ce qui revient au même, à la substitution partielle (:uc). Il faut pour cela que (zui ) .soit une puissance de l'une des substitutions .A,,..., Ai, de .\, par exemple. Cela posé, la substitution A, A®, multipliée par T ou par T®, donnera une substitution 11 qui laisse immobiles toutes les racines autres que a,, b,,
Supposons, au contraire, <|uc v soit une autre racine, telle que a,; les substitutions A'j'.Aî'Aj’ contenues dans I forment un groupe permutable à (iitv), (zuc) sera une puissance de l'une des substitutions A,, A,. A„ ou permutera entre elles trois des racines b,, c,, b„ c,. Mais dans ce dernier ras, le produit de S par.A,.A^ ou pur son carré donne une substitution d’ordre 7, ce qui est inadmissible, 12 n'étant pas divisible par 7. .Admettons ilonc que (zue) soit une puissance de A, : S, combinée avec .Aj.AJ, donne une substitution U qui laisse immobiles toutes les racines, sauf a,, a„ b,, c„ x.
Uonc G,, contiendra dans tous les cas une substitution U qui déplace cinq racines au plus. Suit x' une des racines que U lai.sse immobiles : G,, contient une substitution V qui remplace x' par x; A'"' UV =AV ne déplace encore que cinq racines, et laissant x immobile, appartient à G,,. .Mais toute substitution qui déplace les systèmes déplace au moins deux d'entre eux, suit six racines ; donc \\ appartient à I et remplace les lettres de chaque système les unes par les autres. .Mais si W déplace les trois lettres d'un même système, le premier, par exemple, son carré sera une puissance de A,, qui ne peut être contenue dans I, ainsi qu'on l'a déjà vu. Si, au contraire, AV laisse dans cha(|uc système une racine au moins immobile, on pourra supposer •
VV=7(fl,i,), =(<i, t,j ou = (<i, 6,)(**>Cr).
DES IRRATIONNELLES. , 32
Dans les Irois tas, .celle subslilulion, jointe à celle.s de la rorme que contient J, et à ses tiaiisformées par celles-ci, permettra de permuter ensemble d'une manière quelconque les trois racines a,, b,,c,, puis, en laissanucellcs-là immobiles, de permuter ensemble 6,, c,, puis de permuter entre elles a,, h,, c,. Donc P serait égal à (t .a.3)’P,, et divisible par 8, ce qui est inadmissible.
433. Supposons que l'on s'adjoigne une des racines de l'équation aux vingt-sept droites, telle que a. Il restera une équation de degré 26, dont le groupe est dérivé des substitutions B, C, D, K, F. Ce groui>e n'étant pas transitif, l'équation se décompose en deux facteurs rationnels, du seizième et du dixième degré. On voit sans peine que ces équations partielles ont les mêmes groupe.s que les équations X et Y du § III.
§ VI. — PnOBLÈMKS DE CO.XTACTS.
45 V. D'après les rccberebcs déjà citées de .M. Clebscli (427], la détermination des courbes de l'ordre n — 3 qui touebent en — poitits une courbe ilonnée C d'ordre n dépend d’une équation de degré a*'’"' — af"', en posant pour abréger I" ~ Les racines de celte équation
étant représentées par le symbole (ar, où æ’j,, v, sont
«les indices variables chacun de o à i, et satisfaisant à la condition
X, Xfjf ta I ( mod. 2 ),
on aura lè théorème suivant (Mémoire cité, § VIII] :
Soi/ jx un entier quelconque tel, que jx. — ^ sow entier : les points de contact de C avec les p. courbes correspondantes aux p racines (x, v', ... ) .... ,
seront sur une même courbe du degré lorsque les -xp
congruences contenues dans les formules suivantes :
(6) xj ai O (mod. 3)
sont satisfaites à la fois.
Soit la fonction formée par tous les systèmes de p racines dont les in-
(lices satisfont aux relations (f>). On voit comme au n°42l que les substitutions du groupe de l’équation appartiennent toutes au groupe de la Ibnclion
Si n est pair, on uc pourra assigner à p que des valeurs paires, et les
substitutions du groupe cherebé, laissant invariables les fonctions 9,, ç,
appartiendront au groupe (î (31'J-335).
Si n est impair, on pourra assigner à a une valeur entière quelconque, et le groupe cherché sera contenu dans le groupe G, (336-34G).
455. Posons n = 4 : on aura l'équation aux vingt-huit doubles tangentes
des courbes du quatrième ordre. Si l’on adjoint è l’équation une de ses racines, telle quc(i 10000), les autres racines seront déterminées par une équation du vingt-septième degré, dont le groupe H est formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas (1 loooo). Ces substitutions laissent évidemment invariable la fonction partielle ç', formée par ceux des termes de 9, qui contiennent (i 10000) en facteur. Supprimant ce facteur commun, que les substitutions cherchées laissent invariable, on aura une nouvelle fonction ({(, que ces substitutions laissent également invariable, et qui sera formée de la somme des produits de trois racines (Tj jjx, v,),
(x, y, a-', v'j aj'jj'j), (a^'i y’i dont Icsindiccs satisfont aux rela-
tions
Cela posé, il est aisé de voir que la fonction 4> contient (|uarante-cinq termes, et ne diffère que par la notation de la fonction 9 du n" 441. Donc le groupe de l’équation aux vingt-sept doubles tangentes est contenu dans celui de l’équation aux vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre. D’ailleurs les ordres de ces groupes, étant égaux respectivement à
^ (Aj — 1) 2*. I . a. 3.4.5 (327) et à 27.10.8.6.4, sont égaux entre eux :
donc ces groupes sont identiques. Ainsi se retrouve entre le problème des vingt-sept droites et celui des doubles tangentes, le lien remarquable signalé par M. Geiser (Mathematische Annaten, t. 1").
456. La ré'solution de l'équation aux doubles tangentes ne peut être ramenée à celle d’équations de degrés inférieurs. En effet, si l’on pouvait la résoudre à l’aide d’équations d’un degré inférieur à 27, il en serait de même a fortiori après l’adjonction d’une racine, ce qui n’a pas lieu (446-452).
DES IRBATIONNELLES. 3:il
D'aulrp paii, s’il CKislait une réduite de degré *7, adjoignons-nous une de ses racines : l'équation restante E„ se décomposerait en équations irréductibles dont les ordres diviseraient O = 28.10,8.6.4. et contiendraient les laetcurs premiers 7, 5, 3, a (397). Ces équations seraient donc chacune du degré 7 au moins; d’ailleurs aucune d'elles ne peut être d'un degré supérieur à 8 et inférieur à i4: car son ordre, étant divisible par 9 (398), ne diviserait pas O. Mais ces conditions sont évidemment incompatibles.
457. I.cs résultats généraux du n" 434 se modifient lorsque la courbe (’. a des points doubles. Le cas oii C a points- doubles, dont x de re-
broussement, a été traité par M. Clebsch {Vber diejenigen Cunen. fie.. Journal de. M. Borchardt, t. LXIV). Il montre (§ XVI du Mémoire cité), que les courbes cbcrcbécs du degré n — 3 dépendent d’une équation X de dc-
II (n — 3) . . .
gre 2", en posant m = — — - — ■ -1- 1 — x, et peuvent être représentées par
le svmbole (jcyzu...) où les indices x,y, z, u en nombre m -4- 1, et va-
riables de O à I , satisfont à la relation
(7) X/ -+- i -e « -1-, . ,= o (mod. 2).
En outre, les points de contact de quatre de ces courbes (or, j-, z, h,...),..., (x,j', î, K,...) seront sur une courbe do degré a(n — 3), si l’on a
(8) X, -e X, + = î,-t- J, -+- s. = . • - = o (mod. 2),
d'où
x.j, -t- x,r, -4- Xjj‘, -1- x,/, = o (mod. 2). j^.Nous représentons, pour abréger, parx,/, z, «,... les quantités désignées à l’endroit cité par p -h 1 , ç -i- t , A, -t-
Les substitutions du groupe de l’équation <|ui donne les courbes rberrhées laisseront invariable la fonction f, formée de la somme des produits de quatre racines dont les indices satisfont aux relations (8). Or le groupe G de eette fonction contient les substituions de la forme
X, y nx -I- ÙJ- -4- «. «'x -1- b'y a'
^ z î -t- X/ -4- « -4- . . . — (ûx -t- 6.r -t- «)(«'x -t- i'7 -e «')
— (cxj- -(- rfx -4- <7 -4-/h -î- . . . -4- P ) — . . . ’ U,... cxy dx -t- ey + fa .
comme il est aisé de le vérifier, en remarquant que .t’h3x, v (mod. 2).
nui m'RE TROfSItME.
•458. Réciproquenienl, nous allons prouver que G est oxclusivonient f'oruiê «les subsiitulions S.
Soient (x, J, I, H,...), (x, y, ij i/j...) deux raiùnes «|uelconques. Le nomlire «les termes «le 9 divisibles par leur produit est égal à la moilié du nombre total des solutions «les congrueni’es
j X. -t- X. X, -h x„ y, -|-y.=yi-t-y.. îi -e . (nio«l. J),
■ ( x,y, -I- î, -4- M, = o, X. -t- I, -4- . . . = O (inoil. 1).
earebaque sysltMiie de solutions donne les deux autres facteurs de l’un des termes ebercbc's; et cliaquc terme correspond aux deux systèmes de solutions qui SC déduisent l’un de l’autre en permutant x,.y avec x,.
(àîla posé, si l’on a
X, sr„ ij'où i, -4- «1 -4-. . . «• ï. -4- «I, -4- . .
la «lernière «les relations (9) sera une conséquence des autres, qui «létermincront I,, X,, y,, î, en fonction de x,,y,, u,,... qui restent arbitraires : on aura donc a"" systèmes «le solutions. Si au contraire x, , y, ne SC confnnilent pas avec x,,y,, la dernière des relations (9) ne résulte pas «les précédentes, et le nombre des solutions est inférieur à a"".
Partageons les racines en quatre systèmes, en groupant ensemble celles pour lesquelles les deux premiers indices ont la même valeur. D’après ce «|ui précède, pour que deux racines se trouvent associées «lans a"~' termes «le ç, il sera nécessaire et sullisant qu’elles appartiennent au même système. Cela posé, soit T une substitution quelconque de G; n’altérant pas 9, elle remplacera les racines d’un même système, qui, prises deux à deux, se trouvent associées dans a"""' termes de 9, par d’autres racines qui jouissent «le la même propriété, et «|ui par suite appartiendront à un mémo système.
Or les substitutions de la forme S permettent, en y faisant varier les coeflicients a, b, a, a', //, a', «le permuter les systèmes entre eux d’une manière quelconque : on aura «loncT = T, S,, S, étant «le la forme S, et T, une nouvelle substitution de G, qui ne déplace pas les systèmes.
45!l. Désignons par 9^ la fonction partielle formée par ceux «les teiiues «le 9 exclusivement formés «le racines du système o, o. Il est clair «pie T, laissera 9„ invariable.
Des consi«lérations analogues à celles du n“ 428 montrent que pour laisser
invariable la fonction Ço< T, doit remplacer les racines (ooau. ..) du premier système par des racines de la forme (o, o, s', eu 13, ...), étant
d'ailleurs congru à = -4- « -t- (e« 13) — ... à cause de la relation (7). On aura donc T, = T, S,, S, étant une substitution de la forme S, dans laquelle asfe'=i, a'ss 6^a = a'=o, c^rfs... = o, et T, une nouvelle substitution de G, qui ne déplace ni les systèmes, ni les racines du premier système.
iüO. Soient
( 1 , 1 , 1 — [ c -t- (/ -t- e] — . . . , c -4- rf -(- e, . . . ),
les racines que T, fait succéder à (1 oou. ..), (o 1 00. . .), (iiio...); on aura T, = T, S,, S, étant la substitution
I J, x.x, s ~[cx}' Jx +ey -t-, . .) — .... 11 + cxy -t- tlx -h e}-,.,. |.
laquelle est de la forme S, et T, une substitution de G analogue à T,, mais «lui ne déplace plus (1000...), (oioo...), (1 1 10...). D’ailleurs T, se r(«iluit à l'unité : car soit (xyiu...) une racine quelconque; y contient le terme
( . .)(x, y, xy, o. . .)(o, o, a',.. .)(o, o, s -t- i', u -4-
où z', sont des entiers quelconques dont la .somme soit congrue à zéro : et T,, laissant invariables les trois derniers facteurs de ce terme, laissera invariable le premier; donc T, ne iléplacera aucune racine.
■V6I. Pour résoudre l'équation X, il faudra, il’après ce qui précède : 1° résoudre l'équation du quatrième degré qui donne les systèmes: cela fait, X se décomposera en quatre équaLions partielles de degré a"*”’: a" résoudre l'équation partielle qui donne les raeines du premier système, éi|uation dont le groupe sera formé de l'ensemble des substitutions linéaires (avec termes constants) du degré a'"'^: 3® résoudre les trois autres équations partielles, qui seront devenues abéliennes par la résolution de la première; leur résolution exigera en tout 3(m — a) racines carrées.
TU
