APPLICATIONS A LV THÉORIE DES TRANSCENDANTES

§ I. — Fonctions ciitcui.\in»>s.

4I>2. Soil n un Piiiier <iiielconquc: on sait que cos ^ est lié à cosa; par une équation Z du degré n, dont les racines, cos’^-^^^"»-- )

co.s — SDDl généralement inégales. Cherchons le groupe île monodromie de cette équation par rapport à cosx.

Po.sons pour abréger cosx =y et cos^^-i^2££ = et taisons varier v

.suivant une loi arbitraire, de manière à ce qu’il reprenne finalement sa valeur initiale. La valeur initiale de arccosj étant x, sa valeur finale .sera, comme on sait, égale à x -t- 2mr. ou îi — x -i- amir, m étant un entier; d’ailleurs, en choisissant convcnablcincnt la loi de variation de j', on pourra obtenir une quelconque de ces valeurs finales. La racine (p) se trouvera par là transformée en (p + m) ou en ( — p — m). Le groupe de monodromie de l’équation Z sera donc formé des substitutions

et .son ordre sera égal à a/i, m étant susceptible des n valeurs o, i,..., n — I (mod. n).

4ü3 On obtiendra le groupe de monodromie de la même équation par rapport à cosx et sinx en supposant que la loi de variation de cosx soit telle, que sinx reprenne à la fin de l’opération sa valeur initiale. Sous cette restriction, la valeur finale de l’arc ne pourra être que de la forme x + amir ; par suite, le groupe cherché ne contiendra plus que les substitutions

sas

DES inRATIONNELLES.

464. Le groupe algébrique de réqualion ayant ses sun>liluliüns perinu- (aliles au groupe précédent (391 ), elles seront (416) de la farine

465. L'adjonction de rirrattonncllc numérique cos le réduira aux >ul)stilulions (i). Car, si dans les formules connues

cos(a a- ft) 4- cos(rt — i) = a cosa cos4,

cos(n + fc)cos(fl — ft) = cos’dcos’é — sin’asin'i =: cos'« e eos’t — i

on pose Q= ^ on voit que (/> — i) et (/» -I- i) sont les deux

racines d'une équation du second degré F [X, (;>)] = o, dont les eoetlirienls .sont rationnels en cos~- Les racines (o) (n — i) étant inégales,

(/J — i) et {p -I- i) satisfont seules à ladite équation.

Or soit S=|/> <f[p\ I une substitution du groupe de l'équation proposée ^apres l’adjonction de cos : (9 [p — ij) et ?[/>-+-i)] satisfi-ronl à l’équation

et, par suite, .se confondront avec (<f{p] — i) et (? f/>J -+• •)• l^oiic 9 [/»] = ±/) consi.

466. L’adjonction ultérieure de sina- et de sin ^ réduira le groupe aux seules substitutions (a). On a effet

, , , , a>r ■ x-¥ipr. . tr.

(p ■+■ i) = (p)cos sin sin — •

Mais on a

sinx = sin(x -e apr) = sin ^-—^^-‘'f[fp)]>

f étant une fonction rationnelle. Éliminant à l'aide de cette rela-

tion, il viendra une relation de la forme

i)< étant une fonction rationnelle. Suit actuellement S= \ p 'i[p , | une