LIVHF. TROISIKME

sulislitiilion du groupe de l'équalion proposée : ou aura

-I- •])='!'i(vl/'])]- <>'oû 9[/»l=/'

i67. Considérons jnainlenant rirrationncllc nuniérii|ue cos Soit F(«)=îo l’équalion de degré « — i qui a pour rarincs cos^f-. cos — " - - ‘ • Si n est impair, son premier lueinbre esl un carré parfait;

car à chaque racine ®os^ correspond uneaulre racineégale cos

Si n est pair, l'équation a la racine cosn: = — i . et après la suppression du facteur « + i, son premier ineinhre sera un carré parfait. Soit U le polynôme obtenu en extrayant la racine carrée de F(«) (après la suppression ilu facteur u + i, si o est pair). L’équation U = o est inlimciuciit liée à l’équalion X = o, déduite de l'équation j;" — i = o par la suppression de

ses racines réelles. Soient en edél a: = cos i sin l'une des racine.s

de .X. sa conjuguée : on aura i (x -i- x~') = cos-^^*

Décomposons maintenant X en facteurs irréductibles. Soient F l’un de CCS facteurs; afcson ilegré; x,. x,,... ses racines, qui pourront sc grouper par couples de racines conjuguées, et réciproques l’une de l’autre :

^ (Xo -t- x'7'), i (x-, -4- x7'),... seront les racines d’une équation de degré fi,

dont le premier membre sera évidemment un facteur de U. Ce facteur sera irréductible : car s’il était divisible par un polynôme !)<(«) de degré fi'<jx, l'équation (j»(x -+- x"‘) = o, de degré a,u', aurait pour racines une partie de celles de F, qui ne serait pas irréductible.

Il .sera aisé, en partant de là, de déterminer le groupe de l’équation

U = o. Nous nous bornerons au cas où n est premier. Soient u„

o, = X, -t- X"',.., les racines de U.

Pour qu’une fonction des quantités « soit rationnelle, il faut et il suflil qu’elle .soit invariable par les substitutions

du groupe X, lesquelles reviennent aux substitutions

elTectuécs sur les u. Donc le groupe de U est forme par ces dernières subtitutions.

DES IIIRATIONNELLES.

S 11. — FoNCTIOSS F.LLII'TIQl' r.s.

Dwision des fonctions elliptiques.

■U>8. Division d'un arc quelconque. — Soienl u — ).{x} la fonclion iuvprsr (le l’inU-gralc

•O vC —

= v [i — (i — X’X’(x)J sa dérivée: n un entier quclcon(|uc.

On sait ((ueX^ij est détcrniiné en fonction de ).(x), À'(x), X- par une

é(|uation de degré n\ dont les racine.s seront X ^'** jvi

w et tu' étant les périodes de la fonction X(x), et p, q des entiers variables de O à n — i (mod. n). (Bbiot et Bocquet, Théorie des l'onctions douhlement périodiques, n" 187.) Nous conviendrons de représenter ecs racines |»ar le syniliole général [pq).

Si n est un entier composé, tel que rs, la résolution de l’équation de degré n’ qui donne X^^j revient à celle de deux équations successives de

degn^s r’et r*. Car on pourra déterminer X^^^ par une équation de degré r* :

d'autre part, en différentiant cette équation, on obtiendra X'^^^ exprimé

en fonction rationnelle de ^(7)’ ^ {^)* ^”(^) fl P*f suite de

la relation évidente

en fonction de ^(^7)' *(■*■)• ^•’(^) fl (Connaissant ainsi X^^^ et sa dérivée.

on obtiendra X^^^ par une équation de degré »“.

Un peut donc supposer n premier, sans nuire à la généralité de la question.

469. r.bcrcbons d’abord le groupe de monodromie de l’équation par rapport à X(x) et X'(x). Pour cela, faisons varier X(x) suivant une loi (luelcoti-

que, mais de telle sorte que cette fonction ainsi que sa dérivée reprennent finalement leurs valeurs initiales : la valeur initiale de x étant x, sa valeur finale sera, comme on sait, éf;ale à x + rniù + m'-jt, m et tri étant •les entiers, qui dépendent de la loi de variation de X(x), et peuvent élce supposés quelconques. Substituant cette valeur dans l’expression de la racine [pq), on la cbangera en (/> ■+ m, q -+ m'). Le groupe clierclié sera donc foruic des substitutions

470. Supposons maintenant qu’on adjoigne à l'équation l’une de ses racines, telle que racines restantes dépendront d’une équation de

degré n’ — I . Cherchons son groupe de monodromie relatif à k.

Si l’on fait varier k, u et tu' varieront avec lui, et pourront ne pas reprendre leurs valeurs initiales en même temps que lui. Mais tu et ta' sont un système de périodes élémentaires, c’est-à-dirc telles, que toute* période nouvelle lie X(x) est de la forme otu h- o'm', a et à étant entiers. Cette propriété subsistera évidemment pendant que k varie. Donc U et li', valeurs finales de tu et tu', seront un système de périodes élémentaires de la fonction >.{x; : on aura donc

U = tifti a’tji', 11' = étu -I- t'f.»', avec ab' — ba' = i ,

cette dernière condition étant nécessaire pour que tu, tu' soient des fonctions linéaires à coelTicients entiers de 11, û'.

Remplaçant u et tu' par 12 et û' dans l’expression (pq), on la change en (ap ■+■ bq, a' P 4- b’q). Le groupe clierclié a donc toutes ses substitutions de la forme

(6) I /'■ V "/’ ■!* bq, a' P e b'q |,

avec la condition ab' — ba' ^ i, laquelle peut être remplacée par la suivante afc'— ia'=i (mod. n), en remarquant que l’on peut, sans altérer en rien la substitution, accroitre ou diminuer a, b, a', b' de multiples arbitraires de n.

471. Réciproquement, si n est impair, toute substitution de cette forme fera partie du groupe clierclié. Pour le démontrer, nous emploierons une méthode élégante, duc à M. E. Mathieu.

Représentons, suivant l’usage reçu, une quantité imaginaire v -i /5/ par

DES mRATIONNEU.ES. W

un point ayant pour abscisse a, et pour ordonnée (i. Soient C, C, des contoun élémentaires passant par l’origine des coordonnées, et enveloppant

respectivement les deux points critiques i et C', C, les deux contours élémentaires symétriques de ces ileux-là par rapport à l’origine, et enveloppant les deux points — i et — A, — A. — A, les valeurs de l’intégrale (3) prise le long de ces contours, en supposant que le radical soit égal à I pour tt = O. On sait : i“ que l’on n’altcre pas la valeur «le ces intégrales en déformant les contours C, C,, C', C, , pourvu qu’on ne leur fasse traverser aucun point critique; a° que les périodes tu, <u' sont respectivement égales à aA et à A, — A.

472. Supposons maintenant qu’un fasse varier 4 suivant une lui queleun- «|ue. Les intégrales A, .A, varieront d’une manière continue, pourvu qu’on ait le soin de déformer progressivement les contours élémentaires, lorsque cela sera nécessaire, de telle sorte qu’ils ne soient jamais traversés par les points critiques.

Supposons d'abord que l'un fasse varier k de telle sorte que le point ^

décrive dans le sens direct un contour fermé enveloppant les points i et — I [fig. i). Lorsque A aura repris sa valeur initiale, le contour C n’aura

Fie- ..

pas varié, et, par suite, l’intégrale .A reprendra sa valeur initiale. Au contraire, le contour C,, se déformant progressivement, se sera changé en un contour tel que K (pointillé sur la figure). Or le contour K peut évidemment sc ramener par une déformation convenable à la somme des cinq contours C, C, Q,, C, C; mais l’intégrale suivant C est A; celle suivant C' est également A, le radical avant au commencement de ce second contour la

:!W UVnE TROISIÈME.

valeur — i; rinlégralc suivant C, est etc. Donc l'intégrale suivant K sera

Les intégrales A, .A, étant ainsi changées en .4, 4A ■+■ A,, to, w' le seront en «, w'-H 2u; et la substitution correspondante du groupe eherolié sera

173. Faisons maintenant varier * de telle sorte que le pçint ^ décrive,

toujours dans le sens direct, un contour fermé entourant seulement le point I. Les deux contours C, C, auront été changés progressivement en H,

H- (/is- ■-*)•

Fig. 1.

-Mais H se réduit à la somme des trois contours C,, C, C,, cl H, à la somme des contours C,, C, C,, C, C, : A, A, seront donc changées en aA,— .V et 3A, — aA; et par suite o>, «' le seront en « ■+- 4«’, o>', ce qui équivaut à la substitution

47-i. Cela posé, si n est impair, les substitutions (7) et (8), élevées à des puissances eonvcnablcs, reproduiront les substitutions

desquelles dérivent toutes les substitutions linéaires de déterminant 1 (121 et 137).

Au contraire, si n est égal à a, les substitutions ci-dessus se réduisent à l'unité. Il est clair d’ailleurs que l'on peut obtenir un déplacement quelconque (suivant un contour fermé) des points j et — ^ en combinant des

déplacements suivant les deux sortes de contours étudiés lù-dessus avec des déplacements suivant d’autres contours n’enveloppant aucun des deux

DES IRRATIONNELLES

(loinis + I Cl — I, lesquels déplacements n’alléreronl pas les périodes. Donc dans ce cas particulier les racines de ré(|uation sont des fonctions monndromcs de i.

■i75. Cherchons maintenant le groupe algéhrique de l’équalion, les quantités i, X(x\ ).'(x) étant supposées connues. Le groupe cherché étant permutahlc au groupe de monodromie relatif à X(x) et X'(x), ses substitutions seront (110) de la forme

\ p, q ap bq + ni, it'p -+■ b'q ni' |.

Mais si l’on adjoint à l’équation les constantes X X ce groupe se réduira aux substitutions (5). Cn effet, on connait la formule fondamentale

Hz +t)=z

Différenlions-la par rapport à z, et remplaçons X"{3) par sa valeur en fonction de X(:), déduite de l’équation (4). On aurais valeur de X'(a-)-/) exprimée rationnellement en X(z), X'(a), X(/), X'{/) cl k.

Posons maintenant s= , t— dans la formule (n).

Elle donnera la valeur de la racine (p+ a,q + b) en fonction rationnelle de ipq), X^~— j» de leurs dérivées, et de Mais la dérivée de s’exprime

ralionncllcment (468) en fonction de [pq) et des quantités X(x -h />u -(- i/u'), X'(x -h p'ji H- respectivement égales à X(x), X'(x). D’autre part, d’après

ce qui précède, X j et sa dérivée s’expriment rationnellement en

fonction de ^”(n)

tionnellement en fonction deX^^’^i ^ et des constantes rationnelles X(u] = o,

X'(a») = I (468). De même, j s’exprime rationnellement en X^^^ et i.

Substituant ces valeurs dans l’expression de {p + a, q -h b) il vient une relation de la forme

i}i étant une fonction rationnelle, dont les coellicients sont indépendants de P et de q.

■Tii

Suit maintenant

une quelconque de.s suhstilulinns du groupe cherché. Elle remplace les racines (/j-t-n, q-^b), (pq) par [f[p + a, q-^b^, V\p + a, 9 + ft]). (/[/'• vJ' !■ [/'' ?])• nouvelles racines doivent être liées entre

elles par la même relation que celles qu'elles remplacent : on aura donc

f\p H rt, q I 6] ES f[p, q] -h a, F[p + a, q -h b]^¥{p, q]-h b,

d’oil

f[p,q] — p-tm, f[p,q]ssq + m', m, m étant des entiers constants.

Donc l’équation est abélicnne, et se résout au moyen de deux équations ahéliennes de degré n (407).

476. Division des périodes. — Considérons maintenant les irratiunnelle.s X l.’équation de degré n* dont elles dépendent se réduit au degré /)’— I par la suppression de la racine nulle s®* autres racines

sçmt de la forme X^^^^ et nous les désignerons par (/jy). Le groupe

de monodromie de l’équation par rapport à k sera formé des substitutions ((»).

Pour déterminer son groupe algébrique, nous partirons encore de la for-

I / \ » ^ Qui* . -4- if M* I

mule (9), ou nous poserons z s= ^ — ^^-2 — » t = ^ ” — • Nous remplace-

rons en outre dans lesccond membre de cette formule la quantitéX'^-'** j par sa valeur en fonction de k, de [pq) et des constantes rationnelle.^ X(^w -t q'sé)— O, X'(/j'j i7u')= i; nous remplacerons de mêmeX'

par sa valeur en fonction de k et de [p'q')- Nous obtiendrons ainsi une relation de la forme

fio [p p\ q + q')='>t[{pq), {p'q')].

<J/ étant une fonction rationnelle, dont les coelTicicnls ne dépendent que

(Ir X'.

DES IRRATIONNELLES. 313

Suit maiiileiiaiu

I /'• /[/'. Vl. '/I

une substitution quelconque du groupe de l'équation proposée ; opérons cette substitution sur l’égalité ( i o), ce qui ne doit pa.s la troubler; il viendra

^f[p /*'. V ' ÿ'I. ^[p /»'■ V + 9']) = + HJ [p> 9). fi/'. 9l). (f[p'< 9']. l■■(/'^ 9']) ^ d'où

f\P + />'. 9 + 9']=/[p. 9] -*-f[P‘> 9']. f [/» -'- A»'. 9 + 9'1 = J'i/». 9l f (/»'. </' • d'où entin

/{p, q]ssap-i- hij, l-[i>,q\^a'p + b'q.

Donc les substitutions du groupe cbcrcbé so'nl toutes linéaires, Ce groupe contient d’ailleurs le groupe de monodromie, formé de l’ensemble des substitutions linéaires de déterminant i. Il contient en outre une substitution linéaire dont le déterminant est un non résidu quadratique de ii : car M. Hermile a montré (Mémoire sur les hgualions modulaires) (juc le produit des différences des racines de l’équation modulaire pour les transformations de degré n, lequel produit est une fonction des racines de l'équation proposée, invariable par toute substitution linéaire dont le déterminant est résidu quadratique, n’est rationnellement exprimable qu’après l'adjonelion .

du radical V^{— i) * «•

De nouvelles recberebes seraient nécessaires pour s’assurer si le groupe, ainsi réduit par l'adjonction d’un radical carré, contient toutes les substitutions linéaires dont le déterminant est résidu quadratique. Mais nous laisserons de côté ce sujet, qui sort du plan de cet ouvrage, et n’offre tl’ailleurs que peu d’intérêt : car les résultats qu'il nous reste à indiquer, et qu’.Abel a obtenus en supposant que le groupe contienne toutes ces substitutions linéaires, subsisteraient, lors même qu'il serait plus particulier.

i77. L’ordre de ce groupe est égal à (124), et l'équation

qu’il délinit n’cslpas primitive; car en groupant dans un même système les n — I racines dont les indices ne difTerent que par un facteur constant, les substitutions du groupe remplaceront les racines de chaque système par celles d’un même système. Ces systèmes dépendront d'une équation de degré n — i . Celte équation auxiliaire résolue, le groupe de la proposée se trouvera ré-

UVBË THOlslfcME.

duil il ccllc.s lie ses subslilulions qui noiléplacenl pas lessyslèmcs, lesquelles se rêduiscnl éviJcmmout à celles qui inulliplicnl tous les indices par un même facteur constant : ces sulistilulions. en nombre n — i, sont les puissances d'une seule d'entre elles, qui multiplie les indires par une racine primitive a de la congruence a""' = i (mod. n) L’équation sera donc abélicnno; il est clair enfin que son premier membre se décompose en n + 1 facteurs rationnels ayant ciiacun pour racines les n — i racines d’un meme système.

Quant à l'équation auxiliaire de degré n 1, l'ordre de son groupe sera — 7) si n > 3. Kn effet, de quelque

manière qu’on ramène la résolution d'une équation donnée à celle d’une suite d’équations simples, ses facteurs de composition re.steront les mêmes, à l’ordre près. Or, pour résoudre l’cquatinn proposée, on pourra résoudre d’abord l’équation auxiliaire dont dépend une fonction des racines invariable par toute substitution de déterminant i, ce qui réduira le groupe de la proposée aux substitutions de déterminant i. Mais ce groupe a pour fac-

teurs de Composition ~ c* Donc la résolution de la proposée

dépendra actuellement de deux équations simples, dont l’une aura pour

ordre Donc dans l’autre mode de résolution que nous avons

'adopté, doit se pré.senter une équation simple dont le groupe soit du même

ordre.

Dans le cas particulier où n = 3 nous avons vu (420-425) que la proposée se résout par des équations auxiliaires du troisième et du quatrième degré.

Équations modulaires.

478. Jacobi a montré [Fundamenta, g XXI) que les racines de l'équation modulaire pour les transformations d’un degré impair n sont données par la formule générale

e = U" I siii Coani 4ü sin coam 8D. . . sin coam i(n — i)12 ], .

U et e étant respectivement les racines quatrièmes du module initial et du module transformé, et tl l’une, des valeurs comprises dans la formule

, P elq étant des entiers congrus à o, i ,..., n — i (mod. n), mais qui ne soient pas à la fois congrus à zéro.

DES IRRATIONNELLES. 3U

Les ilivers facteurs de v sont simplement permutés entre eux si l'on remplace /), q par cap, aq, a. étant l'un quelconque des entiers i, a,..., n — i :

V n'a donc que n -h i valeurs distinctes, respectivement correspondantes aux

valeurs o, i,..., n — \. x du rapport ^ (mod. n), et sera liée à u par une équation du degré n -hi.

479. Cherchons le groupe de monodromie de cette équation. Pour cela, nous ferons varier i de telle sorte que « = \ A- reprenne à la fin de l'opération sa valeur initiale, et nous chercherons la manière dont les diverses valeurs de e auront été permutées entre elles.

* !üt d'abord, de quelque manière que l'on fasse varier A, le système de périodes élémentaires ta, u' se trouvera transformé à la fin de l'opération en un système de périodes élémentaires O = <iu -i- a'w', 0'= Ata -i- fc'u'; et l'on aura la condition ab’—ba' = \. Soient donc a, a', jî, (ï' des nomhre.s quelconques, respectivement congrus à rt, a', b, h' (mod. n) : on aura, aux multiples près de nw et nu', Û = au-t-a'u', il'= jSu -i- |3'u', et a,'5'— «'|î = i (mod.n).

Réciproquement, soient a, (3, (3' quatre entiers quelconques satisfaisant à cette dernière relation : on pourra faire varier A de telle sorte que u et u' soient transformés, aux multiples près de nu et nu', en «u -t- a'u',

Soit en effet c un entier tel, que l'on ait aes2 i (mod. n). Faisons varier A de telle sorte que le point ^ décrive fois de suite le contour représenté

dans la fig. i (472); « = \Âsera multiplié par le facteur (y — i, et par suite ne sera pas altéré : quant aux périodes u, u', elles seront changées en u, u'-!- 8e’ u, expressions qui se réduisent à u, u'-t- u, en supprimant les multiples de nu.

Faisons maintenant décrire au point p e fois de suite, le contour de

la a (473) : u n'est pas altéré; et u, u' sont changées en u -l- aeu', u', ou, aux multiples près de nu', en u -t- u', u'.

En combinant les transformations ci-dessus, on peut changer u, u'(aux multiples près de nu, nu') on «u + «'u', ^u + ^'u'(l2l et 137).

Cela posé, soit (a) celle des valeurs de e qui. correspond à une valeur donnée du rapport ^ = î (mod. n) : u, u' étant changées (aux multiples près

■ ,1 > ! r n ! /><•)•+ ïOw' 1

lie n>j), nui ) en «u a w , pw + p « , * — jTT ””

( «jP + a pç ) i.i -4- ( a'p ■+ a 3'ç ) w’

Si donc on pose x ~-.c, ap rf, ac', p' = «' (mod. w), (z) sera Lliangé en On a d'ailleurs évidenimcnl cd'~c'(L — ap'— a'p, et il est

clair qu’en donnant successivement à a. p, a', p' tons les systèmes de valeurs dont le déterminant est congru à i , on obtiendra pour c, d, c\ d' tons les systèmes de valeurs dont le déterminant est congru à i.

Le groupe de monodromie cherché est donc formé des substitutions '

cz i- d c'z ■+■ d'

avec la comlilion ci/'— c'</= i (mod. n).

480. Le groupe Algébrique de l'équation aura la même forme, en supprimant la condition cd' — c'dsni. Car soit K une fonction de ses racines, invariable par toute substitution linéaire fractionnaire : elle peut être mise

sous la forme d’une fonction rationnelle de ii, sin ani^’ et

(^ar prenons l’un quelconque des facteurs qui entrent dans l’expression des racines de l'équation modulaire, par exemple sin coam 4'"^— ^ s*' égal à

poi -t- 5a(./\

cosani r£- ^ — A ( r — )

A am r PJ±±^ , - A> ).■ (r '

Or ). (r P'"' et sa dérivée s’expriment rationnellement en

^ rationnelle de u, D’a'Heurs

F reste invariable si l’on change w, u' en au -t- a'w', iu f>V, ce changement équivalant à une substitution linéaire fractionnaire effectuée entre les racines (s),.... Donc « étant supposé connu, F sera une fonction des racines

de l’équation qui donne invariable par les substitutions du groupe

de cette équation : donc F est exprimable rationnellement.

Le produit des différences des racines de l’é<|uation modulaire sera expri-

DKS IRBATIONNFXLES

maille ralionnellemenl après l’adjonction du radical carré y (~ 0 ' " (Hk«- MiTE, Mémoire sur les équations modulaires). Cette adjonction abaissera de moitié l'ordre du groupe de l’équation, et le réduira à celles de ses substitutions qui n’altèrent pas le produit ci-dessus. Ce sont celles pour lesquelles le déterminant crf' — cd est congru b un résidu quadratique (ou, ce qui revient au même, b l’unité : car on peut, sans altérer une substitution linéaire fractionnaire, multiplier tous ses coefiieients par un facteur constant quelconque, dont le carré multipliera le déterminant). Le groupe de l’équation sera donc rénluit b son groupe de monodromie, lequel est simple, si n > 3 : car il est évidemment identique au groupe de l’équation auxiliaire tie degré n + 1 rencontrée plus haut dans le problème de la division des périodes.

48t. Il est intéressant d'examiner s’il n’est pas possible de trouver une é(|uation équivalente b l’équation modulaire proposée, et d’un degré moindre.

En premier lieu, le groupe G de l’équation modulaire ^après l’adjonction

de ^(— i) * «) a pour ordre nombre divisible par n. Il doit en

être de même du groupe de l’équation équivalente cherchée : donc son degré ne peut être moindre que n.

Cela posé, pour qu’il existe une équation de degré n, équivalente b la proposée, il faut et il sullit qu’on puisse déterminer un groupe H contenu dans G, et qui renferme précisément la n‘""' partie des substitutions de (î. Ur, considérons le groupe G' formé des substitutions linéaires

[ X, X ex dy, ex -t- d'y |, où cd' — c'd=i (mod. n).

Ses substitutions correspondent b celles de G

I rz -I- d

1 * CI .*■ d'

où cd' — c'ds^t (mod. n).

de telle sorte que le produit de deux d’entre elles correspond au produit de leurs correspondantes. Si donc le groupe H existe, les substitutions de G' qui correspondent aux siennes formeront on groupe H' contenant la ré'""' partie des substitutions de G', soit n- — i substitutions. Il aura donc .son ordre premier b n, et, par suite, il ne contiendra aucune substitution d’ordre n.

Mi.