LIVRE TRÜlSItlIE

Soient S,,..., ses substitutions; T une substitution quelconque

d’ordre « contenue dans G', celle-ci par exemple

Les n[n- — i) substitutions de la forme seront toutes distinctes et reproduiront toutes celles de G' : car si l’on avait TcSii^ T’S, sans avoir p — ff, d’où fl, = y, on en déduirait T*^'’ = S,S~'; donc T?"’ appartiendrait à H'; résultat impossible, cette substitution étant d’ordre n.

Soit maintenant^ une racine primitive de la congruence g"~* = i (mod. /i): la substitution

étant contenue dans G', sera de la forme 1^8,1 : et la substitution T'f U — S,, fera partie de H'. Mais posons x — {p+ g~’‘)y = x’ : on voit sans peine que T'^U remplace x' par gx' et/ par Prenons donc pour indices indépendants, au lieu de x et /, x' et /, ce qui n’altère pas la forme du groupe G': T~fU prendra la forme

S = I -r', r gx', g-'y |.

482. (icia posé, le nombre des substitutions de H' qui n appartiennent à aucune des deux formes

(II) I r tix, dy |, I x', y by, ex j

est un multiple de ^(/i — i)’.

Car soit

V = I x' , y ax' + by, ex' -t- dy |

une de ces substitutions ; H' contient les substitutions de la forme S*VSr— I x', y gf ‘"’ax'-t gr—'by, g-’r—''ex' + g~^e*“>dy j,

i|ui sont en nombre — ')’î le'sent varier m et p, on pourra don-

ner à g'’^'"(mod. n) une quelconque a des n — i valeurs i,.., n — i, et à gf^" une quelconque des — i) valeurs ,5 = aR, dont le rapport U à la précédente est un résidu quadratique de n. Il est clair d'ailleurs qu'aucune de ces ^(n — i)’ substitutions ne se réduit aux formes (i i).

DES innATIONSELLES.

Si H' conlicnl une subsiilulion V' autre que les précédentes et qui n’appartienne pas à ces formes, il contiendra ^(/i — i)’ substitutions S"'V'S''

évidemnicnt distinctes des précédentes: car si S"’V'S'’' était égal à S*" VS'', on en déduirait, contre l'Iiypotbèse, V'= Donc H' contiendra

an moins a-^(n — i)’ substitutions qui ne soient pas des formes (it). S’il en contient dasantage, il en contiendra au moins 3-^(n — i)’, etc.; il en

contiendra donc en général r-^{n — i)’.

Le groupe H' contient en outre celle des substitutions de G' qui sont de la forme | x', y ax', dy |, lesquelles, ayant pour déterminant i, se réduisent aux n — I pui.ssances de S : enfin, s’il contient une substitution A de la forme | x', y by, exf |, il contiendra celles des substitutions de G' qui sont de cette forme, lesquelles se réduisent aux suivantes AS"", en nombre n — i .

iS3. Ifonlre de W esl donc égal à

H — i + r ^(h — i)’ ou à a(n — i) r.^(n — i)’,

suivant que U' contiendra ou non la substitution \ = | or’, y, — x' ).

Mais cet ordre est égal à n’ — i , ce qui montre que la première bypotlièsc est inadmissible, lorsque n > 1 1 : car « — i-t- {/» — i)’ est plus grand

que n’ — I , si r J 3, et plus petit, si r < 3. La seconde hypothèse elle-ménic ne sera admissible que si r = a : auquel cas H’ sera formé exclusivement lies substitutions suivantes :

Il Sp= 1 j:', y gfx, g-fy |, \ x\ y gry, - g-'x' |,

(la) j S”VSc = I x', y aax’ -f- allée, a-’ll"cj:' + x~'dy |,

( S"'V'Sr’ = \ x', y a'n'x' + a'tt'ft'y, a'"'lt'-'c'x'-e x'-'d'y |,

où p, a, a', R, R' sont des entiers variables d'une substitution du groupe à l’autre, ces deux derniers étant résidus quadratiques de n; et où a, b, c, d, . n', b', d, d' sont des entiers donnés, satisfaisant aux relations

aU — 6c s a'd' — b'c' ïj i ( mod. n ),

et tels, qu’on n’ait pas à la fois a^dszo, ni 6 = c = o, ni a'= rf'= o, ni 6's:c'= O, Donc sur les quatre cocllicients a, h, c. d un seul peut être con-

;t.\0 LIVRE TROISIÈME.

j;ru à zéro; si l’un d’eu.v est cfleclivemenl congru à zéro, on peut admellrc 'que c’est d\ car k cause de la symétrie qui existe entre id et j, on peut admettre que c'est c ou d. Mais si c~n, H' contient la substitution

AV I x', y — bx' -e fl)-, - dx' |,

où c’est le quatrième coelHcient qui s’annule, substitution que l’on pourrait prendre ii la place de V dans tout le raisonnement.

Cela posé, la substitution

1 jr' (afl’ -t- a-'K''cè)a:' -f- ( aRifl -t- )■ I XV =; S"\ SeV =: ' " U

I y (aflf (allie -+-«■'(/’ ) r I

appartenant à H’, doit être de l’une des quatre formes (la).

Si elle est de la première forme, on aura

(13) aRin -t- a~'db m. xnc a“'R~'C(/= o.

Si elle est de la seconde, on aura

(14) afl’ -+- a“'R-'cft = allie a~'</’rs O.

Si elle est de la troisième, on aura, en remarquant que dans lessubslilutions de cette forme le produit des coelTicients extrêmes est égal ii ad,

,i,T) (afl’ -+• a '‘R“'ci)(aRit -4- x~’d", ^ad.

Si elle est de la quatrième forme, on aura de même

( i6) (an’ a~'R~'ci)( ail ie a“‘</’)3= a’rf'.

Donc la congruence

( [a Rifl -f-a“'(/i] [aa’-l- a~' ll"'ei] [(aa’ -t- a*' R~'ci)(allic + a '</’)— nd \

^ I X [( *fl' -t- a“' R ' ei)(alt ie -t- a“'</') — o'(/']=3o

sera satisfaite dans tous les cas, et quels que soient a et R. Or supposons II donné; si d~o, l’équation est du sixième degré en «; si ef^o(mod. n), ilu douzième : donc elle ne peut avoir plus du six ou douze racines distinctes. Mais elle est satisfaite pour les n — i valeurs de « inférieures à n ; donc « — I “ I a, d'oü i3; l’Iiypothèse n — i3 n’étant d’ailleurs admissible ((lie .si rfjo (mod. n).

DES IRRATIONNEUJîS. ' ;I5I

Celte hypothèse doit être rejetée dans tous les cas. Car la coniçruence (17) ayant douze racines distinctes, le facteur aa“ -+- or' R^'cüi, égalé séparément à O (inod. n}, donnerait deux racines distinctes. Donc sur les douze valeurs de a, il en est deux pour lesquelles la substitution W se réduirait à la forme AS'’, et ((ui, par suite, satisferaient aux relations (i4)- Mais on déiliiit de ces relations, en éliminant « et U,

n’rf’s h'c'={ai/ — 1)', «i'oii 1 — 2/11/ æ o.

On aurait de mcnic 1 — 2a'rf' = o; d’où adssa'ti'. Mais alors la congruence (17), ayant deux facteurs égaux, n’aura pas douze racines distinctes, comme cela devrait être.

L’existence du groupe H' est donc impossihic, si « > 1 1 .

484. Au contraire, si n = 5, 7 ou 11, le degré de l’équation modulaire pourra s’abaisser d’une unité. Ce résultat remarquable, découvert par (ialois, a été retrouvé depuis par M. Hermite et par M. Betli. On peut le vérifier sans aucune difTiculté. en montrant qu’il existe un groupe II contenant la n'*”" partie des substitutions de G.

I® Soit en effet n = 5 : on pourra prendre pour II le groupe dérivé des substitutions

3" Si n = 7 ou 1 1 , on prendra pour H le groupe dérivé des - substitutions des formes suivantes

az |.

où a, h sont des résidus quadratiques do n, variables d'une substitution à l’autre, et g une racine primitive de la congruence g"~' = 1 (mod. n), dont toutes les puissances impaires de degré inférieur à n — 2 vérifient la congruence

/rfff-'-Or + '][g’r’— («•+ i)r-n]so (mod. n).

On pourra donc poser, si n = 7, g’ = 3 ou 5; si n = 1 1, ^ = 2 ou (>.

Il est bon de remarquer que le groupe H n’est pas primitif: car si l’on répartit les racines en couples, en groupant ensemble celles dont l’indice a respectivement pour valeurs o et » , i et g, g' g',..., les substitutions

rrf U\TIE TROISIÈME.

(le II jouiront seules, parmi celles de G, de la propriété de remplacer les let- Ires de chaque couple par celles d’un même couple.

Si rt = 5, posons

si n z= -, posons ^ = 5. cl

Si n = I ! . posons ^ = a, et

i'.)(e, — Ci)(t'. — !'.)((', — (^.He, — — e„).

La fonction .r, sera évidemment invariable par les substitutions de H : elle dépendra donc d’une équation de degré n, dont les coefTieients sont des

fonctions rationnelles de u cl de la quantité adjointe \f{— i) ’ . Soit

F(.r. «) = O cette équation : scs autres racines x a-„., s’obtiendront

en opérant successivement sur a;,, les puissances i n — \ de la substilu*

lion I I î 4- I |.

•i85. M. llcrmite obtient comme il suit les coefficients de celle équation.' Il remarque que si l’on change u en tu, i étant une racine huitième de l’unité. chacune des valeurs de v sera multipliée par et chacune des valeurs de X par i * . Donc l’équation en x ne change pas si l’on y remplace

à la fois u par lu, et x par t * x. Donc le premier membre de cette équation est composé de termes de celle forme