X- ■ «*.((! 4- hu' eu” t

où 7, satisfait k la condition

, , nfn -( il , , „ ,

(n— V/ — - -1 a. ao (niod. 8).

lin second lieu, si l'on change u en e,- sera changé en — (Jvcobi.

Fundamcnia, n"31) : x. le sera en ( — i) * = (— i) ~

'Donc l’équation en x ne change pas si l’on y remplace k la fois u par -> et

DES IHRATIONNEU-ES.

•r par Celle romarquc montre qu’on aura

(n -- i)» — îa,

p. = JJ

arct

De plus, les polynômes a + bu’ + . .. seront réciproques, si n = 5 ou 7 : si au contraire n = 1 1 , ■" ' h- étant impair, les polynômes qui mul-

tiplient les puissances paires de ar seront seuls réciproques, ceux qui multiplient les puissances impaires ayant au contraire leurs eoenicients équidistants des extrêmes égaux et de signe contraire.

Il ne reste plus qu’à calculer a,, a, b Or on a les cocHicients de l’é-

quation en æ exprimés, d’une part en fonction de u, a, b,..., d’autre

part en fonction dex„ et, par suite, en fonction de e,, e* e„ i-

Égalons ces deux expressions, et remplaçons, d’une ))arl h, d’autre part

e, par leurs développements en série suivant les puissances de la

quantité désignée par 7 dans les Furtdamenia : égalant les coeiricients des diverses puissances de 7 dans les deux membres, on aura une série de conditions qui déterminent les coefficients a,, n, b,.... D’ailleurs p, ne pou-

vant être négatif, a, est au plus égal à ^ (n -t- i)v. On peut simplifier le calcul en remarquant que la quantité 1 — «* entre comme facteur dans le polynôme a -+- bu’ t-,.. avec un exposant au moins égal ù ■“ [ " + j’

ij.)

étant le reste de la division de a ’ par n.

On trouve ainsi les équations réduites suivantes : 1“ Si n = 5

X'-, au' (i — n*)’x -i- — «')’(' -•-«•)= O.

les constantes a, ^ étant des fonctions rationnelles de y'S; a“ Si n = 7

x’ -I- a«‘( 1 — M* )'x' — 3/i’( I — H" )*x e ii‘{ I — «')* C* = O,

a, étant des constantes fonctions rationnelles de \ — 7, et Fj une fonction du second degré en «*, dont les coefficients ne contiennent d’autre irrationnelle que y — 7;

;CiJ

5" Si /( = I .

X" Xtt’i I — ?«''• — «*)’•*■’■*- /«■('

K|). r, . (lésignaiil dos foDctions du degré fx en «*, et dont les cocflicietils, de même (]Uo les eonslïmles «. 13, y, ne eoiiliendront d'autre irrationnelle <|ue V " • I •

S III. - Foxctioss iiïpr.nKu.iPTiQyE.'..

iS6. Posons

l)c ta diiision en l’énèral.

.T' •- I . . . -I- y= (x — m,l(x — m,). . .(.X — nij) A’(x), .

,« „ ,/x f . r ‘ îî-'i <l.r f .

.f„ .\(X' Airi • A(X) J„ A(,n ■'

P'aisons varier .r et i d'une manière quelconque, de telle sorte qu'à la liii de rupéralion r, y, A(x'). A(y) reprennent leurs valeurs initiales. On sait (|ue les valeurs finales de a, v seront respectivement égales à

Il - 0, 1’, -t 1. 1* *- à; f‘, + E, I’.. i’- i, Q, ‘ E, 0, 3, Q, i.lj, ;

o',, 5,. o'j. £, étant des entiers dépendant de la loi de variation dex et de )•, et ijue l'on peut rendre ipielconques. Quant auN périodes P,, Pj. P,. P,, Qi> Qî- Qr- Oi- soi't respectivement égales à .\„ — .A,, .A, —

Bs désignant les valeurs des intégrales

rfx.

prises le long des contours élémentaires ('.„ C, relatifs aux points rrili-

qiies m„ ni,, avec une meme valeur initiale du radical A{x).

Eniin ces mêmes intégrales prises le long d'un contour enveloppant tous les points critiques sont milles; d'uù les relations

DES innATlOSNEIXES

■IXi

OuBiU aux fonctions inverses

elles satisfont à une équation du second degré dont les coefficients sont nmnodromes en u, u', et rc|)reiinenl les mêmes valeurs, ainsi (|ue A [x) et Af v). lorsqu'on y remplace u, v par « ô', P, + c r J, Q, -i- CjOi-

lùifin, les fonctions

sont les racines d’une équation ilu second degré dont les coefficients sont rationnels en X,(«,.e,), AfXo(«,, e,)1. J., (ii,, e,}. ArX,(i<,, e,)J, )h,{«„ e,),.... D’ailleurs les deux symboles ).o. X, ligiire-ront symétriquement dans ces coefficients. (.Ixcom, Journal de Crelle, t. IX et XIII.)

i87. Il résulte des propriétés fondamentales que nous venons de rappeler que Xo(«, c), X,{«, v) sont les deux racines d’une équation .X du second degré, dont les coefficients sont rationnels par rapporta

^'(s’ ^)’ ^[^‘(7!’ 7i)]’ '‘.'■''Métriques par rapport aux symboles ).« et X,. Réciproquement, substituons dans l’équation \ la valeur de Xo(k, v), et celle de X, («, e), supposées connues. Nous obtiendrons deux

équations algébriques .\,, X,, qui serviront à déterminer

Soit «g, «, un système de solutions de ces deux équations ; a,\ a, en sera évidemment un autre, par suite de la symétrie des équations par rapport aux deux inconnues. On obtiendra donc la même équation finale E, quelle (|uc soit celle des deux inconnues iju’on élimine entre les deux équations ci-dessns; et les racines de cette équation peuvent se grouper en couples, en réunissant ensemble les deux qui vérifient simultanément les équations Xg, .\|.

Toute substitution du groupe de l’équation E rcni|ilacera les deux racines d’un même couple par deux autres racines, liées entre elles par les mêmes relations (356), et qui, par suite, appartiendront elles-mémc.s à un même couple. Donc l’équation n’est pas primitive, et se décomposera en équations du second degré par la résolution de l’équation N, dont dépend une fonction symétrique arbitrairement choisie des deux racines d’un mémo couple.

LivRK TH0IS1ÈMI-.

(k-tlc équalion auxiliaire, après radjonction des radicaux A[).,(u, v, , AiX,(«,e)J, sera du degré n'. Caf soil/j ^ )J une de scs

racines : les syslèiiics de valeurs de «, e pour lesquels X,{«. v), X, («, v). cl les A correspondants reprennent la inênic valeur sont donnés par les forinnlesM -1- p, P, -t q, P, t /J, Pj + <7jP,. v-i-p,Q, H- y.Q, 9,^..

on p,, q,, p^, q, sont des entiers quelconques; substituant ces valeurs dans la fonction /, on obtiendra autant d'expressions distinctes que la variation des entiers/),, q,, p,, q., fournit de systèmes de restes différents par rap- |)ort à n. On aura donc en tout n* racines, qu’on pourra désigner par le symbole général (p, q,p, q,).

i88. Si n est un entier composé, tel que rc, la résolution de l'équation N, de degré n', revient à celle do deux équations successives de degrés r* et î*.

Kn effet, la fonction îi )’ *' (n’ d’une é(|uation S de

degré s', dont les coefficients sont îles fonctions rationnelles de ^)’

(r’ ?)’ 7)]’ (7’ 7)]’ PS*' 'apport à >,„et à

■Mais A|^X„|p, 1 et Aj^^X, s'ex|)riinent rationnellement en X,(«, ej.