X.(«,e), A[X,(«.cj], A:X,(«, o)],X

En effet, différentions les équations (18) successivement par rapport aux variables indépendantes u, v, il vient

jji vx dx H + v r dy >lx u'-t- y’x dy

' Âtx) du A(v) dit' A(x) du ^ A(y) du'

li -y vx dx (X -I- V,»’ dy /*'-*- >'x dx p' -e v'x dy

” A(x) dv Â(r) de’ ' A(xj dv ^ A(y) de’

relations qui déterminent les dérivées partielles de x et v en fonction rationnelle de X, y, A(x), A(y'), et d’où l’on déduit réciproquement

. , , . . dx , , , , dx . , , , , d)- , , . , , dy

A(x) = (jx-e vx)— -) (u'-i- vx) Aiy) = (u-ev/) ^ -4-(u -l-vy) j- •

Donc et a|^X, J s’expriment rationnellement en

fonction de )o(~> "V ^7’ 7) leurs dérivées partielles.

DES IRRATI0NNE1.LES

Mais 7) soin liées à ).o(«, v), X, («, v) par deux équa-

tions algébriques dont la difrérenliation (après avoir ehassé les radicaux), donnera les dérivées partielles de X, X, exprimées eu fonction

de Xo^7» 7^' X, Xfl(n, e), X, («, e) et des dérivées partielles de ces

deux dernières fonctions, lesquelles s'expriment à leur tour en fonction rationnelle de Xj(a, v), X,{//, e), et des A correspondants.

Les coefficients de S sont donc rationnels en Xo(«, e), X,(«, e), ArX,(u,v)J,

A(),(«, e)j, X„[j|» X, il est en outre évident qu'ils sont symé-

triques en X, etX,; ils s’expriment donc rationnellement en fonction des coeflicients de l’équation qui a pour racines X, et X, lesquels

s’expriment rationnellement en fonction des racines de l’équation de degré r' dont dépend la fonction /J^X, X, J (362).

On peut donc supposer n premier, sans nuire à la généralité de la question.

tSO. Cela posé, cherchons le groupe de monodromie de l’équation N par rapport à ).„(«, e), X, («, c), A[X,(m, c)], A[X,(«, c)]. Faisons varier ces quantités arbitrairement ; lorsqu’elles reprendront leurs valeurs initiales, n, V seront changés en

u-l-5iP,-i-£iP,-l-é, Pj-l-ÉjE,, V é, Q, -t-£i Q; -e 5, Q, -+- £,0,.

La racine (p, q, p, q,) aura été changée dans la racine

le groupe cherché sera donc formé des substitutions

I Pi, îi. Pî, q< Pi -i- ôi, 7i -e- ti, p, -+• i„ q,-*- £, |.

490. Supposons maintenant qu’on ait adjoint à l’équation une de ses racines, telle que (0000). Les racines restantes dépendent d’une équation Z de degré n* — 1, dont le groupe de monodromie F par rapport aux modules m,,..., s’obtiendra 'aisément comme au n" 471. Supposons en effet que rn,,..., restant invariables, »i, varie suivant une loi quelconque : lorsque reviendra à sa valeur initiale, les racines [p, q,p%qi) au-

•IW LIVRE TROISIEME.

ronl été pormulées entre elles par une ceilüino subslitulionrel si l’on motlifio de toutes les manières possibles la loi de variation de w„, renscnible des substitutions obtenues sera le groupe de inonudroinie de l’équation relativement à w».

On obtiendra de même le groupe de monodromie de l'équation relativement à chacun des autres modules m : et l'on aura évidemment le

groupe de monodromie relalil" è en combinant entre elles les

substitutions de tous ces groupes partiels.

Or tout déplacement du point w„ suivant une courbe l'criuée résulte évidemment de la combinaison de cinq déplacements particuliers suivant des courbes fermées Dj,, 0»^, D„,, D„,, D,j enveloppant respectivement chacun des cinq points m,,..., /«,, sans couper les contours élémentaires relatifs aux autres points, avec un déplacement suivant une courbe fermée n’enve- Inppaut aucun de ces points. Ce dernier déplacement n’allcre évidemment pas les périodes ; donc toutes les substitutions du groupe de monodromie relatif à résultent de la combinaison des cinq substitutions partielles opérées par les déplacements Do D,,.

Cela posé, la figure ci-jointe montre que le déplacement D,, pouvant se

faire sans déformer les contours élémentaires C,, C,, Cj, n'allèrc pas les intégrales A J, A,, .\,i quant aux contours élémentaires C», C,, ils sont transformés en de nouveaux contours tels que H„ H,, qui se réduisent respectivement aux deux suites de contours élémentaires C,C,C„C, C, cl C„C,C„. Par suite, A„, A, sont transformées en

A. - A, — K, -f A.= 3 \.- 1 A„ A. — A, A, = lA, - A..

Les périodes P, = A, - A, et P^ = A, - .A, seront donc transformées en 3 A. aA -(ïA. - A,)= P„ a.A. - A, - A. ïP, P., et les autres périodes resteront inaltérées.

DES IllRATIONNELLES, :Kît

On voit (le la intime manière que le déplacomcnl D„n transforme

A, en 3 A. — 4 A, + 4Ai — • • ■ ()'"‘a A,,

Af en — îA, f 4 I — 4 '/'“'A*.

et laisse les autres intégrales invarialiles. Substituant les valeurs finales des intégrales dans les expressions des périodes, et tenant compte de l’équation {19). on obtiendra les valeurs finales P,, Pj, P,, P, de ces périodes, exprimées linéairement en (onction de leurs valeurs initiales P,, P,, P,, P,.

On obtiendra de la niême manière rallération produite dans les périodes,

en supposant (|uc les points m restant immobiles, le

point r»p décrive un contour leriné autour do point m,,.

Quant aux valeurs linales Q', , Q'j, Q'^. Q', des quatre autres périodes Q,, Qj. Qj, Q, après chacun des déplacements ci-dessus, elles s'exprimeront (ividcnimcnt en fonction de Q,, .... Q, de la même manière que P, , . . . , P, en fonction de P P,.

401. Après chacun des déplacements considért's, on aura l'identité facile il véritier

I*'. Q', - Q'. P, - P' 0’. - Q', P, P. 0. - Q, P. -t- Pi Q. - Q P..

Supposons maintenant qu’on imprime à un déplacement représenté' par une combinaison quelconque des cinq déplacements simples D.j; puis à m, un déplacement représenté par une combinaison (jiielcon- (|ue des déplacements élémentaires I),o, l),,...., D, 5 ; etc. Ce système d’opé;rations transformera

/, P. -I- ô', P, H- •/, Pj -r ô“ P,, y, P, -h i', P, y, P 1 i] P..

(üt’,, étant des entiers constants), et Q Q, en fonctions analo-

gues de Q,,..., Q,. D’aillcuis la fonction P, Qj — Q, Pj I’, Q, — Q, I’,, n’étant altérée par aucune des opérations partielles dont se compose celle (|ue l’on considère, restera identique à elle-même ; d’où les conditions

.Substituons maintenant, dans l’expression des racines {p,fj,p2'h)> ô !•'

;i(HI LIVnE TROISIÈME

place de P P,, Q Q, les valeurs de leurs transformées : celte opé-

ration reviendra évidemment à opérer sur les indices de ces racines la substitution

, /».. '/. a, /». c, 7. -J- o'i /'> t- b\ p. -t- </', I/, h‘,p, — rf', q,

( ïo) . , ^ ^ ^ ^ J, ^ ^ ^

les coefficients a',,..., rfj étant respectivement congrus à «' j (mod. n).

et satisfaisant par suite aux relations

b', c\ -e n, rf', — b', r, == «'(/’ — fc' c’ -1- n', </' — A', c' 'c i , c, A' -i- //", - c. fc’ — o' il', c, b\ «■ il', — c’,b',^o,

c, a’, 4- a, c\ — c, n, ™ b', il', —ii',b’,-v- b', il', — »,

qui montrent que la substitution S est ahélienne.

Soit, comme au n"219, H le groupe formé par les substitutions qui satisfont aux relations ci-dessus : le groupe cherché F est contenu dans H; mais l•éciproqucmcnt, il contiendra toutes les substitutions de H, si n est impair. Kn effet, il contient les suivantes :

S. = I p., </., P„ q, />. ' Iî„ q.. p„ q, |.

s, I p„ q,, p„ q, p„.q, — tp„ /'„ q, |,

1 P<, q<i Pu 7> Pu 7.1 /'. -i-»7>. 7> !•

S,= I p„ 7„ Pu q, Pu 7„ Pu q, — 2p, 1,

Si= \ Pu q„ Pu 7r p. -I ï?. — ip=, q„ Pu »7. — a/'i -r 7> I*

respectivement correspondantes aux déplacements 1),,, l),j, D,,, D„, D,,. Mais toutes les substitutions de H sont dérivées de celles-là. En effet, soient V une substitution de 11, à,p, + c,q, — a\p, 4- c',7, la fonction qu’elle fait succéder à/>,. On voit aisément, comme au n*’221, qu'il existe une substitution U, dérivée de S,, ..., Sj, qui remplace également/), parcelle fonction; et Fou aura V = UV,, V, étant une nouvelle substitution de H, qui laisse/), invariable. Les coefficients deV, satisfaisant aux relations (ai), elle remplacera 7, par une fonction de la forme fi,p, + 7, -h ^,p, -h (fi7j. .Mais il existe évidemment une substitution U,, dérivée de S,,..., S,, qui opère ce même remplacement : et l’on aura V, = F, V„ V, étant une nouvelle substitution de H, (|ui laisse />,, 7, jnvariables, et qui, par suite, se réduira à la forme

I Pu q<, Pu 7. Pu q„ a,p, + y,q., ^p, 4 «.7, |,

DES IRRATIONNELLES, avec, la rondilion a, — |5, y, == i . Cela posé, il exisie une subslitulion l',. (I(‘rivéc de S,. S,, qui remplace /j, par «j/», -i- 7,9, : cl l'on aura V}= l'jV,' V, étant une nouvelle substitution de H, qui laisse /),. q„ p, invariables, et (|ui, par suite, en vertu des relations (ai), se réduira ù une puis.sance de S,. Donc V = L’U, l'jVj o.sl dérivée de S,, S,, S,, S,, Sj, ce qu'il (allait démontrer.

Soit au contraire n = 2. Les substitutions S,, S„ S,, S,. S, se réduisent à l'unité; cl l'on voit immédiatement qu'il en est de même des substitutions correspondantes à chacun des autres déplacements élémentaires des points /Tl, Le ÿ;roupc de monodromie ne contiendra donc que la substitution I ; et les racines de l'équation seront toutes des fonctions monodromes de m,,..., /n,.

492. Oierclions maintenant le groupe de monodromie P, de Z relativement aux coedîcients a,..., J du polynôme A’(x). Pour cela, supposons que. CCS cocHicicnts, apres avoir varié d’une manière quelconque, reprennent leurs valeurs initiales. Les modules ru, reprendront, à l'ordre

près, leurs valeurs initiales, mais pourront avoir été permutés entre eux. I.e groupe P, contiendra donc, outre les substitutions de P, celles qu’ou obtient en faisant varier les modules /n, de manière à les permuter

entre eux de toutes les façons possibles.

Or sqpposons qu’on fasse varier deux modules consécutifs, de

telle sorte que le point vienne à la place qu’occupait m^,, et réciproquement; combinons en outre ce mouvement de telle sorte que le point /Wp*, passe entre l’origine des coordonnées et le point rn^. Les contours élémen-

taires P.,.,,, Cp .seront évidemment transformés en Cp et en un nouveau contour II, réductible à la somme des trois contours Cp, Cp,,, Cp. Donc .Ap*,, Ap seront transformées en .Ap, aAp— Ap*,, les autres intégrales restant invariables. On en conclut aisément la valeur finale des périodes, et la substitution correspondante entre lés racines (pi'/iPaqij^ et l’on voit immédialenient que cette substitution appartient au groujie H.

(iela posé, il est clair que toute substitution opérée sur les modules peut

/iO

Mvm; inoisil-ME.

.s'obtenir en combinant des transpositions telles que Donc tout

inouveincnl des puinl.s-niodules qui les raniltic, à l’ordre priis, à leurs places initiales résulte de la combinaison des mouvements ci-dessus avec ceux étudiés plus liaut (490). I,a substitution opérée sur les racines par chacun de ces mouvements composants appartenant à 11, il en est de même de la substitution opérée par le mouvement résultant. Donc les substitutions de T, a|iparliennent au groupe H.

D’ailleurs, si n est impair, T se confond avec II ; donc T,, qui contient T, se confondra liii-mémc avec H.

493. Supposons maintenant n = 2. Il est évident que F, est isomorplie au groupe I d’ordre D = i .a.S.éj.S.ti, formé par toutes les substitutions

possibles entre les modules: et son ordre sera Ü étant l’ordre «lu groupe

partiel L forme par celles des substitutions de I (|ui ont pour correspondante l’unité dans le groupe F, : en outre, L est permutable aux substitutions de I (67). Mais les seuls groupes contenus dans I et permutables à scs substitutions sont ce groupe lui-même, le groupe alterné d’ordre et celui’

(|ui est formé de la seule substitution i (81). Donc l’ordre de F, est égal à I, il 2, ou à IJ. .Mais on voit immédiatement la fausseté des deux premières liypotbèses. Donc F, a pour ordre ü, et sera isomorphe sans meriédrie à I.

On peut remarquer qu’ici encore, F, se confond avec II : car il est contenu dans ce dernier groupe; en outre, les ordres respectifs de ces deux groupes, Û et (a'— i)2’(2’— 1)2, sont égaux. Mais cette coïncidence fortuite n’aurait plus lieu pour les functions liy|ierelliptiques a plus de quatre périodes.

494. Passons à la recberebe du groupe algébrique de l’équation .N, en supposant connus les modules et les quantités Xo(«, c), X,(k, c), A X.fu, e)J, A[X,(«, v)J. Ce groupe contient (390) le groupe de monodromie du n" 489, et ses substitutions lui sont permutables. Donc elles résultent (119) de la combinai.son de ce groupe avec des substitutions linéaires. Si l’on adjoint à l’équation la racine (oooo), son groupe se réduit au groupe partiel G formé par res dernières substitutions. D’ailleurs les substitutions de G sont permutables à celles du groupe de monodromie F, = 11 (391). On en déduit qu’elles sont abélicnncs.

Fn effet, soient T une quclcon<|uc dos substitutions de G:

-1- -I ll\p, 1- C,(/,

UES IRUATIONNF.U.ES. 36.-|

la foiu'ltuii «jii'ellt! fail succéder à /i, : H contient une substitution L’ qui produit le même rem[daccmciit (221 ); et l’on aura T = UT,, T, étant encore permutable it II et n’altérant pas /),. Soit

l.n cueiricient <?', ne pourra être congru ii zéro; car, s’il l'était, y, et (T, ne pourraient être à la fois congrus à léro (le déterminant de T, ne l’étant pas); et T,, transformant la substitution

p„ q, en

qui ne fait pas partie de II, ne serait pas periiiulabic à ce groupe.

Cela posé, II contient une substitution U, qui remplace p,, g,, par />,,

^p, -t- r/l -t- ^/’s + ^ Soit d’ailleurs V la substitution qui multiplie //,.

r/a par â', sans altérer />,,/>»: on aura T, = U,YTj, T, étant encore permutable à H (car U, et V le sont], et laissant />,, q, invariables.

Soient a'/», -t- c\q, -t- a\p^ -+- c\qt, h\p, + d]q, + h\p^+ (i’r/, les fonctions que T, fait succéder à />j, q, : on aura a, = c\ = />" s = o. tiar .si l'on avait, par exemple, <o, la transformée de B par T, n'appartiendrait pas à II, comme cela doit être.

Cela pose, II contient une substitution U, qui remplace />,, q,, p, par/i,, q,, d^p, + c\qj\ et l’on aura T,= UjTj, T, étant encore permutable à II, et de la forme

D’ailleurs, II contient la substitution

dont la transformée par T,,

doit appartenir à II; donc r/j = i, et T, est abélieniic. Mais l), U,, V, U, le sont évidemment : donc T le sera.

't95. Supposons maintenant qu’on adjoigne à l’équation N, outre les qitan-

3<>l LIVRE TROISIÈME.

lilés précédentes, les expressions oit l’on posera

sueccssivenienl r = o ou i , p = o. i , a, 3. Après cette adjonction, le groupe eonlient le groupe de monodromie du n“ 489; mais il ne contient aucune autre .subslilulion.

Eu eflet, toute fonction 9 des racines de N peut se mettre sous la forme j’ '}' étant une fonction rationnelle et symétrique,

dont les coeiricienls s'expriment rationnellement en fonction des quantités adjointes (486 et 488). Désignons par ce que devient cette fonction

en y changeanfu, v en

ï< -i- 4i P, •+* £i P, -t- 4, Pj -t- fî Pi, V 4iQi -f- iiQj -4- 4,Q, -+- c,0,.

Faisons le même changement dans l’égalité 9 = ij/ : il viendra, en suppo- •sant que la fonction 9 soit invariable par ce changement, 9 = d’où

expression qui est une fonction symétrique des racines de l’équation de degré n' à laquelle satisfait la fonction è>, et qui, par suite, est rationnelle.

L’équation est donc abélicnne, et se résout à l’aille de quatre équations abélionnes de degré n.

496. Supposons enfin U = O. L’équation proposée aura l’une de scs racines égale à l’expression rationnelle /(o, o). Supprimant cette racine, il restera une équation du degré n* — 1 ayant F pour groupe de monodromie par rapport aux modules, et F, pour groupe de monodromie par rapport à a,...,/ (490-492). Quant à son groupe algébrique, on voit comme au n“ 494, que ses substitutions sont linéaires : elles sont en outre permutables à F,= Il : donc elles sont abéliennes (494).

497. Tous les raisonnements faits dans ce paragraphe pour les fonctions hyperelliptiques à quatre périodes s’appliquent sans dilliculté aux équations à ik jiériodes. Remarquons toutefois que dans le cas où n = a, le ' groupe F, ne contiendra plus en général qu’une partie des substitutions

de H, ce ijui infirme la démonstration du n° 494.

498. On peut déduire de ce qui précède une conséquence remarquable, exprimée par le théorème suivant :

TiiÉonèMF.. — Un groupe quelconque de degré q esl isomorphe sans mérié-

DES 1RRATI0NNEU.es. 3tir.

<///<? (i un gtvupe de degré a’* — i , à substitutions linéaires abéliennes, k étant le plus grand entier contenu dans • •

Si lo théorème est vrai pour le groupe I formé par toutes les sulistiluliuiis possibles entre 7 lettres, il le sera évidemment pour tout groupe L éouteiiii dans celui-là. Car soit l’ le groupe isomorphe à 1 dont on suppose rexislcnee : le groupe L'. formé p.ir celles de ses substitutions (|ui correspondent à celles de L, sera isomorphe à I. sans mériédrie.

(àda posé, considérons le polynôme

S'{x) = xs -t- axf-‘ •*-...z=’x — nio). . .(a: — m^,),

et les fonctions abéliennes à ii périodes auxquelles il donne naissance. I.a liissection de ces périodes dépend d’une équation dont le groupe de monodromie par rapport aux eoellîcient.s a,... (après l’adjonction d’une de ses racines) est contenu dans le groupe ahélien de degré 2’* — 1, et isomorphe sans mériédrie au groupe I formé par toutes les substitutions possibles entre wi, m,, { 492-i93). Le théorème est donc établi.

Abaissement de l'équation de la trisection des périodes dans les fonctions à quatre périodes.

199. Celle équation E. du degré 80, a son groupe contenu dans le groupe abélien G (490) dont l’ordre alJj est égal à 2(3* — i)3* (3*— i)3 (219-221 j. Celles de ses substitutions qui se réduisent h la forme

forment un groupe II, dont l’ordre u sera égal à ^ > 3’— 1 1’(3’— 3yC En

effet, pour qu’une expression île cette forme représente une substitution ahélienne, il faut et il sulFit qu’on ail

n,d', — b\c,ssn\u", — b",e’,^o (inotl. 3),

relation qui permet de choisir a',, rf) , b',, c, de (3“ — i)(3*— 3) manières différentes (I23j, puis a',, r/^ , ôj, c\ de ^ ' manières seulement,

à cause de l’égalité des deux déterminants.

Si l’on adjoint au groupe II la substitution ahélienne

,m UVItE TKOISIEME.

lin nliiit'iiilru un nouveau groupe II,, d’orilre an. Une fonction 9, îles racines de li, inviirialdc par les sulislilutiuns de II,, dépendra d’une éi|ualion f

de degré = /|5 (30GJ. Le groupe de celle équation se déterminera facilement ainsi qu'il suit.