Soit i le groupe formé des substitutions

et supposons que Ifs subsiilulinns A, B, U, D aient leurs exposants d'échange inutiiels congrus à zéro, sauf les suivants: (AU)— — (UA), (C.DJs:— (l)Cj, qui seront congrus à 1. A chaque racine de l'équation £ correspondra une décomposition du groupe ,i en deux groupes partiels d’ordre 3*, tels, que leur conihinaison reproduise .f, et que les substitutions de l’un d'entre eux aient leurs exposants d’échange avec les substitutions de l’autre tous congrus à zéro. En effet, on obtient immédialumcnl une première décoinposilion, en prenant pour groupes partiels P, = (A, B) et K, ={C, D): et il est clair que le groupe H, esl formé par l’ensemble des substitutions abélicnnes qui sont permutables à cesdeux groupes, ou qui les transforment l’un dans l’autre Soit maintenant î une substitutiun abélieiiiic quelconque : elle transformera, pardélinilion. A, B, C ,1) en substitutions A„B„ C„ D, ayant entre elles les mêmes exposants d’échange, à un facteur constant près; elle transformera donc P, P' on deux nouveaux groupes partiels P, ={A,, B,), P) =(C,, D,), qui jouiront encore de la |irupriéléquecha(|uc substitution de l’un de ces groupes a SOS exposants d’échange avec les substitutions de l’autre congrus à zéro. D’autre part, la substitution s, opérée dans la fonction 9,, la transforme en line autre fonclion 9,, qui satisfait également à l’équation £. On a doue obtenu une décomposition de en deux groupes partiels P„ P), correspondante à la racine 9,.

.501 . Il faut mainlciiutil prouver qu’à chaque racine correspond une seule décomposition, et réciproquement. Soient s et t deux substitutions abélicnnes telles que l’on ait 9, = 9» : on en déduit 9„-, = 9, (356). Donc it~'= ft, c.sl une .sub.slitution de 11,. Mais A, est permutable aux groupes P,. P',, ou les transforme l’un dans l’autre; s les transforme en Pj, P); donc I = A,i les transformera en Pj. Pj ou en P’, , P,; donc en Iransfurmanl P,, D, par s ou par /, on obtient la meme décomposition. Réeipro(|ucment, .si ces deux transfurinalions donnaient la même décomposition, ts~' redonnerait

DES irrationxeu.es. ac7

la décomposition initiale P,, B',, et par suite appartiendrait à II, : on en déduirait ç„-, = y,, d'où ç, = ç,.

Les racines de C s’ohtcnant toutes en transformant y, par les diverses stili-slitulions de G, il existera quarantc-eini| décompositions, rcspectivemeiil correspomianles à ces racines. Pour qu'il en existât un plus grand nombre, il faudrait qu’il y en eût qui ne cürrcspondi.s.senl à aucune racine, et (|ui par suite ne pussent être obtenues en transformant P,, P, par une substitution abélienne. Mais celte liypotbèse est absurde. Soient en cIVel P. P' les deux groupes partiels d'une décomposition quelconque, une substitution quelconque de Pautre que l'unité : ce grouiie contient tinc substitution S dont l'exposant d’écbange avec n’est pas congru à zéro, sans quoi vi, aurait scs exposants d'échange avec toutes les substitutions ile.f congrus à zéro: résultat absurde; car est de la forme cl si l'on a. par exemple,

a<o, l’exposant d'échange (■•AU) ne sera pas congru à zéro. Soit (=tS) =:«; posons S'~'= ai>, on aura (As!.) = i ; et P, étant d'ordre 3®, est dérivé de -v. et de a!.. On voit de même que P' est dérivé de deux substitutions 2, iva, dont l’exposant d’ccbangc est i . Cela posé, la substitution linéaire (|ui transforme

H, C, D en A, rü., S, (O sera évidemment abélienne.

502. On peut maintenant former sans peine les quarantc-cim| décompositions du groupe ,f. Kllcs sont données par le tableau suivant, où chaque groupe partiel est représenté par deux substitutions dont il est dérivé et >|ui .sont séparées par une virgule, tandis <|u’un point et virgule les sépare de celles de l’aulre groupe partiel appartenant à la même décuinposition.

A, BIV