Désignons maintenant par
tes rarini'Sile € respectivement correspondantes à ces substkntions; d'après ec que nous venons de voir, chaque suh.stitution abélienne transformera ces racine.s entre elles de la même manière qu'elle transforme les décompositions correspondantes.
.\insi, par exemple, la substitution
Iransformant A, B, C, D en A, AB, C, D, sera permutable aux deux groupes f A, B), (C, D); donc elle laissera invariable la racine i qui leur correspond: (le même pour les racines a''ct 3. De même elle transforme (AD, B), (CB, DI en (.\D, .\B), (CAB," D), groupes évidemment identiques aux suivants : ' AD, BD’), (CAB, D); donc elle rctiiplace la racine par la racine 5; etc. Continuant ainsi, on peut écrire sans dilTieulté les déplacements opérés entre les racines i , a,..., 43 par la substitution ]/>,, q,,p„ q, />,, -xq,, p„ xq^ ( et par les autres substitutions I.,, L,, M,, M,, N,,, dont G est dérivé (219-220/. et vérifier que chacune de ces substitutions permute les unes dans les autres les vingt-sept cxprcs.sions
■ fio, 37, 7, ai, 3a),
L^ig, 41, i3, 6, 30,
■ (il, 3g, 5, a4, 38),
{17, 3ti, 3', 23, 32), (19, 4«, 4< 33, i4).
(il, 38, 33, 29, 6),
en désignant par (1 , 37, 34, 4' . 45) une fonction des racines de C invariable par les substitutions qui permutent exclusivement entre elles les cinq racines ù 37, 34. 4>. 45. mais variable par toute autre substitution, et par (a, j3, y, (f, e) la fonction analogue formée avec les racines «, (5, y, d, £.
I.cs vingt-sept expressions ci-dessus, que nous désignerons, pour abréger.
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DES llinATlONNELLES.
SfiO
|)it(- n. It, c, d, e, /, f(, h, i, k, /, m, n, p, q, r, s, l, u, m', n\ //, //', r',
/', «' (l(‘pcii(li‘n( donc il’unc ■équation X (lu vingl-scplièmc degré. D’ailleurs, cliiieune dc.s racines (, a /|5 entre dans trois de ces expressions : for-
mons le produit du ces trois expressions, puis ajoutons cnsemi>le les ipia-
rante-eimi produits relatifs aux racines i , a .'|5 : on voit sans peine (|ue
la rouetion ainsi formée,
9 = nbe ade /j'/»,
sera identique à celle du n" 4H.
50i. Le groupe de l'équation X est formé des substitutions qui u'altèrent pasç. Kn effet, soient S une substitution quelcon(|ue de U; aunequelcoii(|ue des racines i, a,..., 4^: (Scelle par laquelle S la remplace; il est clair
(|uc S remplacera celles des exprc.ssions a, b «' qui contieiinetU a par
celles (|ui contiennent /3; elle transforuierà donc les uns dans les autres
les divers termes de q. Donc une fonction de a, h u' invariable par les
substitutions qui n'allèrent pas cette fonction, ne sera altérée par aucune substitution de G, et par suite sera rationnelle.
Réciproquement, toute substitution qui n'altère pas 9 appartient au grou|»e de X. En effet, suppo.sons l'équation X résolue. Le groupe G sera réduit à celles de .ses substitutions qui ne déplacent pas a, b,..., cl ijui, par suite, laissent invariable cbacun des term(*s abc, ade Is'p. Ces sub-
stitutions laisseront invariables les racines 1, a,..., 4^ respectivement communes aux facteurs de ces divers termes : donc elles transformeront eu ellemême cbacunc des décompositions de .f qui leur corr((.spondent. On en déduit immédiatement que ces substitutions se réduisent à celles (|ui multiplient tous les indices par un meme facteur constant ±1. Donc l'ordre de E. qui était égal à aü^,, se trouve réduit ii après la résolution de .X. Donc le groupede cette dcrnicrcéqualion avait pour ordre iij, ou 37.10.8.6.4, nombre total des substitutions qui laissent 9 invariable.
L’équation X a donc le même groupe que l'équation aux vingt-.sept droites des surfaces du troisième ordrei
D’ailleurs, ses facteurs de composition sont a et Car l'é(|uatiou E a
pour facteurs de composition a, ^Ü,, t; apres 1a résolution de X elle n’a plus que a pour facteur de composition. Donc la résolution de X équivaut a celle de deux équations simples, ayant pour ordres a et
