Soit

( ï.{ ) ax‘ -t- 4 ^x' + 6ex’ e 4 dx -i e — o

l’équation générale du quatrième degré. Posons avec M. lierniite

(ï5) / =T oT -i-{«x -I- 4 4) T. -I- +- 4*-r •• Oc) T, H- ' ax' 4 4é.t’ e Oe.r -t- .jrf T„

T, T,, T|, T, étant des coclficients indéterminés : y sera la racine d’une

DES IRllATlONNEl.U’i; ATI

iioiivollf pqiiHlioti (lu ((Uïtrième degré

{ sfi) A r‘ H- 4 6C» * -t 4 Dr h- E o,

(|iie l'un peut eiile.ulel' ainsi (ju'il suit.

Éilevons réi|ualion (aS) successivemeul aux puissaïu-es i. a, '5, et réduisuns au moyen dif l'éqiialion (a.'i) les puissances de x supérieures à la troisième ; on ulitiendra quatre équations dont les trois premières déterminent a-, J-’, a:’ en fonulion rationnelle de v, r’, v" et de T. T,. T,, T- : ces valeurs siilistituées dans la <|uatrième équation donneront r(U|uation eliereliée.

On peut se proposer dt; déterminer les eoellicienis T, T„, T,, l'i de telle sorte que l'on ail

(s-) VE- 4BD + 30=o.

Kireetuant le calcul, on trouvera que le premier memlire de cette rtpialion est le produit des deux facteurs suivants, du second degré en T„, T,, T, ;

I/+ ^(iJ + — - vl‘- 273-^ T.T,- T|),

en posant, pour abréger,

f n'JJ r 4tT;-eTJ ( 4 (/T , T, 4- îcT.T, 4* T.T,.

I =1 ae — \bil -i 3e', J - arr •>- tbiil tiil‘— i-li' — c'.

On pourra donc satisfaire d'une infinité de manières à l'i'ijuation (17,. sans introduire d'autre irraliunnaliié que deux radicaux carrés successifs.

tiette condition étant snpposc'e satisfaite, posons v = — ** dan> l'équation ( ab) ; il viendra

(jS - j t i - VS'^.o,

en posant B’— AC, = S, .\’l> — 'iABC ait' T.

Or cette dernière équation se ramène k l'é(|uation modulaire que donne la théorie des fonctions elliptiques pour la transformation du troisième ordre, laquelle est, comme on sait, la suivante (Jacobi, huridamnila \ma).

37i LIVRE TROISIÈME.

OÙ lacüiisUnlc u dési|{i)n la racine (|ualrièinc ilu module ;

v‘ -f- ? tr — TL liv — = O.

En pffel, dans cette dernière équation, la l'onction anaingiie à AE-4ltl) *- 30

est nulle : si donc on pose e = w — ^ (l'oii w = c -i- ^ il viendra

et réqu'alion aura pour racines celles de IVqiiation aç), multipliées par une même constante p, si p et u satisfont aux conditions

Celte dernière équation est du second degré par rapport au module k =ii‘.

On obtient donc comme résultat de cette analyse le lliéorème suivant :

Tiikorèmk. — Pour réioudre l’équation générale du quatrième degré, il suffira de lui adjoindre les raeines : i " de quatre équations successives du second degré; a” de l’équation modulaire pour les transformations du troisième ordre d'une fonction elliptique ayant pour module la racine de la dernière des quatre équations auxiliaires ci-dessus.

Cinquième degré.