Méthode de M. llermite. — Passons à l'équation

Posons

.r'-h A J' -H B*’-e Cx'+ Dar e E = o.

On verra comme au numéro précédent que x s’exprime ralionnellemenl en fonction dc y, et l'on formera l'équation du cinquième ilegré donty- est racine : le m"'”' coellicient de celle équation sera évidemment une fonction

UES mUATIONNELLES. ;t73

onliKi-e, linmogi‘110 el de degré m — i, par rapport aux indéterminées, /,

li,

Proposons-nous de faire évanouir le second, le troisième el le quatrième terme de la transformée. M. Jerrard a démontré qu'H suffira pour cela derésoiiilre des équations du second degré, et une du troisième. En elTet, égalons le second terme à zéro un aura une équation linéaire qui <létermincra l’une des quantités «, l„ t„ en fonction des quatre autres. SultstituanI la

valeur trouvée dans le troisième terme, il devient une fonction entière el homogène du second degré par rapport aux (|uatre indéterminées restantes /, D'aprè.s un théorème bien connu, on pourra lui donner

la forme suivante

0, 5,, 5j, î, étant des fonctions linéaires des indéterminées. Il s’annulera si l'on pose

Ces relations déterminent deux des quantités t, I,, i, en fonction linéaire des deux dernières et des radicaux du second degré y J’

Substituons ces valeurs, ainsi que celle de dans le quatrième terme; il prendra la forme d’une fonction homogène du troisième degré relativement aux deux indéterminées restantes; et si ou l’égale à zéro, on obtiendra le rapport de ces deux indéterminées exprimé par une équation du troisième degré.

.508. 1,’équation enj étant ainsi ramenée à la forme

> ' -+■ dj-H î = O,

comparons-la à l'équation

î'-t- aH‘(i — n*)'i + -I- «') = O,

réduite de l'équation modulaire pour la transformation du cinquième ordre (-i85). On aura y = pj, en posant

•3p‘=a«‘(i — ep'=;j3«'(i — «■),

LIVKK lltOISIEMK.