STI

il’oii l’itti ilr'iluil. Cl) posant ^ = m,

<lii peu! rlioisir arliili'aircinent le signe du seeniid luemiire de celle dernière éi|u:ilion, ijui sera du (|iiatrièine degré en u' = k.

(.iela posé, x est une fonction ralinnncHc de /, /,. i, et de v, i)ui Itiiniénie s'expriniu ratiunneileinenl en fiinrlion de ^ el de : : enlin : est une liinelion rationnelle des racines île l’équation iiiodiilaire en e et de v ‘>.

50!). MclhudetUM. Kroncckcr. — .M. Kronecker et après lui M. liriusclii uni indiqué pour résoudre l'équalioii générale du einquiènie degré par les funelinns ellipliqucs une nouvelle inélliode que nous allon.s exposer.

Suit l''(|]= O l'équation générale du ciuquii'ine degré; el désignons ses l aeines par rindice v variani de o à ^ (iiiod. 5j. Nous avons vu (1 1(>) que Imite sulistilulion entre ces raeincî^ peut être mise sous l’une des deux ronue.s analytiques suivantes :

I V nv j, I > «V Il r \.

Si l'un adjoint à l'équation proposée la racine carrée de son diseriiniiiant. son groupe se réduira au groupe alterné (J, formé des sulistilulioiis

I »' n v-e i |, I V ta'v hf-¥- e |, leM|uelles dérivent évidemment des trois suivantes :

désigné par la substitution | ■/ |. Désignons en général par la trans-

DES IUUAT10NNF.U.ns.

On en eoneliil (|ne les six quantités

' r. 1 K, -t- n, V S — II, 4 II, !

(3ii, ■

J T, — ( Il . II, — II, -« II, v^5 — II, II. / ,

I e, ^11. i- II, -I II. — II, ii,\ 5 — II,)’.

X, — ' U. — II, I- II. 4- II, — II, 4- II, V’ !ï

sont Iranslbmiées les unes dans les aulies par eliaeiine îles sulislitutiuns I V V 4- I |, j V /|V |, I V 3v* I dont (< est dérivé. Dune l'équalion du sixième degré qui a ces quantités pour racines a ses eoeriieicnis invarialdes par loiiles les substitutions de (■ : ces eoeftieients s'expriment doue rationnellement en fonction de la racine carrée du discriminant de l'{|). La résolution de cette é(|uatiun, faisant connaître des fonetions des racines de F(|)=o, (|ui primitivement u'étaient pas rationnelles, abaisse le groupe de cette dernière; mais elle est simple : donc elle sera complètement résolite.

.510. La réduite du sixième degré à laquelle on vient de parvenir présente entre ses racines des relations re.inarquable.s : posons en effet

A, vS — II. y 5 4- II, +- II, *- II, 4- II, 4- II,, i A, ^5 = II, 4- p‘ii. -j- p’ii, -f p'ii, ■+- P II,,

^ A, y5 = II. I- pu, 4- p’ii, 4- p*ii,4-p'i'.,

P étant une racine cinquieine de l'unité satisfaisant ;i la condition

on déduit immédiatement des relations (3o) celles-ci

ifx m — A,y5, ya*, —— A, -e A , -t- A,, y ~ V, -j- p A, -* ■ p* A ,, yx, = A, 4- p’A, -t- P'A„ y'x, = A, -H p>.\, -t- p’A„ y r, = A, ♦ p‘ V, 4- p A„

:i76 IJVBE TROISIEMK-

«•I lïn <'‘iiii)iiianl A„, A,, A,, on aur:i le« (rois rolatiuii.s

( ' i ^ J, -♦ V ^>1 f/yJ: H- P y Xi •+- |i* y J-, = IJ,

y >. 1- o’v'.r, 4- pyGT, + -(- p’ "= «•

• Lo pmiiier inenilire île rL-<|tu<lion (jui ilonno x,, ost égal à

! iT — T^){x — x„).. . . Reinplaraiit x„, x„ . . . par leurs valeurs en A,, A,, A^. et pusanl

n = 8A;A,A,-î\; A; V^-t- AJ AJ - A,(\| AJ).

<; = 32oa; a; a;-i(3oa: a; a;-4-2oa; a; \;,^(1a; v|

-4A,(3î\;-»nA;A, a.4- 5aîa; (a;-i- \;)+ a;* ♦- a;-,

on aura pour cette é(|uation

(3>| (.r — A)‘(x — 5 A)+ i«U(.r — A| — t;(x — A 4-5(lt=— \t = o.

511. Celte équation se ramène elle-inêine à une équaliotulu cinquicnic ilegré ne contenant que les puissance.s impaires de rinconniie. Posons en et Ici

J. = — '•> K-r.- -r.) (■*■-. — x—Hx-,». — x„,)J’,

et remplaçons x,. x,„... par leurs valeurs en A„. A,, A,, il viendra en général

en posant, pour abréger,

C. =. - A, (4 a; - A, A.), C =: a A. A . - A C,= A.(4 A:- A, A,), C. = - îA. AÎ- Aît.

Les quantités z,, z„ z, sont les racines d'une équation du cinquième degré

Soit n le discriminant de l'équation en x : on aura évidemment

DES IRRATIONNELLES

r/5 - Pour calculer les autres coenicients on les exprimera en fonc-

tioii (it‘ Sa,..., 3,, puis on v remplacera ces quantités par leurs valeurs en A®. A,, A, : on obtient ainsi, en tenant compte des valeurs de A, H, C,