CHAPITRE PREMIER

CONDITIONS DE RÉSOLüBILITÉ.

517. Une équation est dite résoluble par radicaux si l'on peut rendre ses racines rationnelles par l’adjonction des racines d’une suite d'éi|uatibns liinômes.

On peut supposer que les équations binômes auxiliaires sont toutes de degré premier; car la résolution d’une équation binôme de degré pq revient évidemment à la résolution successive de deux équations binômes, de degrés P et q.

Nous appellerons groupes résolubles ceux qui caracléri.sent des équations résolubles par radicaux.

518. Th KO R KM E I. — Toute équation abélienne de degré premier P est résoluble par radicaux.

Soient en elTet une semblable équation;

ses racines; 9 une racine pf’”’ de l’unité; r un entier quelconque : la fonction

ç z= [x, fi'x, . . -I- C'r-')>-x^,)r

est évidemment invariable par la substitution (XgX,... dont les puissances forment le groupe de X. Elle s’exprime donc rationnellement en fonction de 9 et des coefficients de X. On obtiendra aisément sa valeur en remplaçant X,,..., par leurs valeurs en fonction de x„ ce qui la réduira à la forme 9). On aura donc l’égalité

:(Mi LIVRE quatrième.

qui ne sera pas troublée si l’on exécute sur scs deux membres rune des puissances de la substitution : on aura donc

«, élant une fonction symétrique de x^, x Xp.,.

€etle fonction étant calculée, il viendra

Posons successivement r=i, i />— ' : on aura p~i équations

linéaires distinctes, qui, jointes à celle-ci :

X, -s X, Xf^, =■ P

(où- P est la fonction connue des coefficients de X qui représente la somme (les racines), permettront de déterminer toutes les racines.

Pour avoir Xp, on ajoutera ces é(|uations, respectivement multipliées par Ô"**,..., I ; divisant ensuite par/;, il viendra

Cette expression contient p — i radicaux de degré p : mais ces radicaux sont des fonctions rationnelles d'un seul d’entre eux, de telle sorte que la valeur de celui-ci étant prise arbitrairement, celle des autres est complètement déterminée. En effet, ta fonction

n’étant pas altérée par la substitution (x„x,... x,,), est rationnelle, et se calcule comme tout à l'heure la fonction 9. Soit a, sa valeur, on aura

519. Théuhème 11. — Pour qu'une équation soit résoluble pai radicaux, dfaul et il suffit que sa résolution se ramène à celle d’une suite d'équations abéliennes de degré premier.

Cette condition est nécessaire. Car chacune des équations binômes de degré premier qui concourent à la résolution de la proposée, peut se ré-

DE U RfiSOLlTION PAR RADICAUX. 387

soudrc à l’aide de deux équations aliéliennes successives (il 7) dont l’une est de degré premier. Quant à l’autre, sa résolution se ramène à celle d’une suite d'équations aliéliennes de degré premier.

Celle condition est suffisante : car les équations abéliennes dont dépend la proposée étant résolubles par radicaux, la proposée le sera.

Voici deux autres énoncés du même théorème :

520. TiiKonKMF. III. — Pour qti une équalion soit rcsohihle par mdicaux. il faut et il suffit que ses facteurs de composition soient tous premiers.

(]ar soient X une équation résoluble par radicaux; G son groupe; N sou ordre. Adjoignons-lui successivement les racines des équations abéliennes (|ui concourent à sa résolution : son groupe s'abaissera successivement jusqu’il ne plus contenir que la substitution i. Soient II, I,... les groupes ré-

duits succe.ssifs; oflfes: Z l’équation abélienne de degré

premier/» telle, que l’adjonction de scs racines réduise le groupe de la proposée h H. Réciproquement l’adjonction des racines de X à l’équation Z réduira l'ordre du groupe de celte dernière, en la divi.sant par ). (378). Mais cet ordre est égal à p (358); et, pour qu’il soit divisible par X, il faut qu’on ail X = /). On voit de même que fc,... sont des nombres premiers. D’ailleurs les substitutions de G sont permutables à H (376); celles de 11 le sont à 1 ; etc. Donc X, p.,... sont les facteurs de composition Je G.

Réciproquement, si l’équation X a scs facteurs de composition X, ix,... tous

premiers, soient G, H, I,... les groupes successifs d’ordres N, et

tels, que cbacuii d’eux soit contenu dans le précédent, et permutable à ses .substitutions. Une fonction des racines de .\, invariable par les substitutions de H, dépend d’une équation Z de degré X et d’ordre X (366 et 370 . .Mais par liypolhèsc, X est premier : le groupe de Z se réduira donc aux puissances d’une substitution circulaire d’ordre. X. Cette équalion sera donc abélienne cl de degré premier. Enfin sa résolution réduira le groupe de la proposée à H.

Cela fait, une fonction des racines de la proposée invariable par les substitutions de I dépendra d’une équation abélienne de degré /x, dont la résolution réduira le groupe de la proposée à 1 ; etc.

521. CoBOi.LxiRE 1. — Tout groupe T contenu dans un groupe résoluble G est lui-même résoluble. Car ses facteurs de composition, divisant ceux <lc G (392) qui sont premiers, seront eux-mémes premiers.

LIVBE QUATRIEME.

o2'2. Corollaire H. — L'cquation générale du degré n n'esl fiat résoluble par radicaux si /» > 4- Car ses facteurs de composition, 2 et ’

lie sont pas tous premiers.

523. tÀiRoLLAiRF. III. — L'équation générale du troisième degré est résoluble par radicaux. Car ses facteurs de composition, 2 et 3, sont premiers.