L.'igrangc la résout comme il suit. Soient

x‘ -t- px’ -t; qx -I- r— O

l'équation proposée; x„, x,,x, scs racines; 0 une racine cubique de l’uiiilé. Les deux fonctions (a-„ 4- 6x, 4- 6’ar,)’, (a-„ 4- 5’jt, 4- îa-,)’, invariables parla substitution circulaire (x^a'iX,), sont les racines d’une équation du .seeonil degré

[/ — (a', 4- 6x, 4- >)ix,y)][y — lx.+ S'x, 4- Sjr,)>]=?o,

dont les cociVieicnts, symétriques en a'a< x:,, Xj, sont des l'onctioiis rationnelles des coefficients de la proposée. Tout calcul fait, il vient

)'*4-(2/)’— 3pq 4- ifr)}- -t-{p-— 3f/)*= o.

Oltc équation étant résolue, soient «,, u, scs racines : il viendra

X, ■+■ 6’x, 4- Ox, =^u,, x,-h X, 4- X, = — p,

d'où

On a d’ailleurs

ÿu, = (x, 4- 6x, 4- 9’x,)(x, 4- 9’x, -i- ûx,) = p- — 3q,

relation qui détermine le second radical en fonction du premier. Substituant cette valeur dans les formules (1), on voit que .r,, x-, seront données par la formule

£Lz}s\

3Stl

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX, en assignant successivement au radical cubique les trois valeurs dont il est susceptible.

524. TnÉoRBMF. IV. — Pour qu'une équation soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que son groupe puisse être considéré comme dérivant d'une échelle de substitutions l , a, b,..., f, g, telles : i“ que chacune d'elles soit permutable au grou/ie dérivé des précédentes; a“ que la première de ses puissances successives qui sont contenues dans ledit groupe soit de degré premier.

Soit en effet X une équation résoluble par radicaux. Soient N,

les ordres respectifs de son groupe G et des groupes H, I,... auxquels il se réduit par l’adjonction successive des racines des équations abéliennes auxiliaires qui servent à résoudre la propo.sée. Soient An..., Ap,... les substitutions de II ; g une substitution de G qui ne fasse pas partie de 11 ; g- la première de ses puissances qui soit contenue dans 11. Le groupe G,, dérivé

de la combinaison de g avec H, a évidemment q y substitutions distinctes.

de la forme ^Ap, où a peut varier de o à 9 — i , et p de i à y ■ .Mais G, est

contenu dans G, dont l’ordre est N : donc q y divise X ; donc, X étant pre-

niier, on aura q = \ et G, = G. Donc G résulte de la combinaison de II avec g, qui lui est permutable, et dont la puissance X, de degré [uemier, est la première qui fasse partie de H.

On voit de même que H résulte de la combinaison de I avec une substitution /permutable à I, et telle, que la première de ses pui.ssances qui fasse partie- de I ait pour degré le nombre premier p; etc.

Réciproquement, si G résulte de la combinaison des substitutions 1.0, b,...,f, g satisfaisant aux conditions énoncées au tbéorème, on aura une suite de groupes

G, H =(i, n, 6, . . ., /) (i, rt, 6), (1, a), 1,

d’ordres N, y. j^»‘"(X, fi,... étant premiers) et tels, que cbacun d’eux

soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions ; X, p,,.. seront donc les facteurs de composition de G; et l’équation correspondante sera résoluble par radicaux. (TiiÊonèBiE III.)

C’est sous cette dernière forme que Galois a signalé la condition nécessaire et suffisante pour la résolubilité par radicaux.

3(« LIVBK OÜATRIÉMK.

525. Théorkme V. — Tout groupe A, isomorphe à un groupe résoluble I., est lui-même résoluble.

Car suil i, a, b, c,... l'cchcllc de substilulioiis dotil L est dérivé ; cliarune dVIle.s étant perimilable au groupe dérivé des précédentes, on aura une suite de relations telles que

6“' aé = </", c-'ac — lfat, c'bc Ina',. . . .

Les sub.stitiitions i, a,p, y,..., respcctivomcnt correspondantes à i, a, 6, c,... dan.s le groupe A, satisferont aux relations analogues

et, par suite, formeront l'échelle d'un groupe résoluble.

Réciproquement, si le groupe A est résoluble, et isomoqihe à un autre groupe I, : si en outre le groupe F formé par celles des substitutions de L qui eorrespondent dans K à la substitution i est résoluble, L sera résoluble.

Soient en effet i, a, (3, y,... l'échelle de substitutions dont A est dérivé; I,/.... celles dont F est dérivé; a, b, c les substitutions de L, arbitrai-

rement choisies parmi celles qui correspondent nfspcctivement à «, |3, y,.... Le groupe L sera dérivé des substitutions i, a, b, c,,.. cl sera résoluble.

Fn effet, soient s une substitution quelconque de L. e celle qui lui correspond, s' la substitution dérivée de a, b, c,... de la même manière que a l'est

de a, p, y On aura r = 3*9, étant une substitution de L, qui ail pour

correspondante l’unité, et qui, par suite, est dérivée de 1./,.... Donc s est dérivée de a, b, c,....

Il reste à prouver que celte échelle caractérise un groupe résoluble. Prouvons par exemple que b est permutable au groupe ilérivé de 1, /,..., a. Le groupe A étant résoluble, on a une relation telle ijuc — a”, ün en

déduit b-'ab = aq, q ayant pour correspondante l’unité, et par suite étant dérivée de i,/, — De même, b~*/bay»ul [tour correspondante l’unité, est dérivée de 1,/,.... Donc i est permutable au groupe (1,/,..., a).

526. TnéonéiuK VI . — Sid est un faisceau de substitutions contenu dans le groupe résoluble L. et permutable à toutes ses substitutions, on pourra toujours choisir l'échelle des substitutions 1 , a, b, c,... dont l'adjonction successive reproduit le groupe I„ de telle sorte que les substitutions de -i soient les premières introduites.

ÜE LA HÊSOLUTION PAR RADICAUX. JSll

Supposons en effet, pour fixer les idées, que le groupe dérivé de i, fl, !» ne contienne aucune substitution de -f (sauf l'unité, qu’il contient ^nécessairement), mais que l'adjonction d'une nouvelle substitution c en introduise une : c étant permutable au groupe (i, fl, b), celte substitution pourra être ramenée à la forme c'm, m étant une substitution du groupe {..fl, A) (37).

i" Celles des subslitulions du groupe (i, a, b, c) qui apparlienneut à .T se réduisent aux puissances de c'<m. En elTet, considérons l’une d’elles : on peut la mettre sous la forme c*m,, où //i, désigne une substitution du groupe (i, fl. b).

Or on a généralement (37)

m, étant encore une substitution du groupe (i , a, b). On sait d’ailleurs qu'il existe une puissance de c qui fait également partie de ce groupe, et que l’exposant p. est premier. On pourra donc déterminer le paramètre a de telle sorte que -t- (mod. pi); et la substitution ém,{c^mŸ fera elle-même partie du groupe (\,a,b). Ü'ailleurs elle fera partie du faisceau -'f, si c’'m en lait partie ainsi que c^rn\ et comme, par bypotbèse, ce faisceau n’a aucune .substitution commune avec le groupe (i, a, b), saut l’unité, on aura

e*ni,(cJm)' = I , d’où e^ni, =: (c'ni j—,

a“ foutes les substitutions (i, a, h,c) sont permutables au faisceau f dérivé de c'^m et de ses puissances. En effet, le faisceau /', transformé de f par l’une quelconque de ces substitutions, doit faire partie à la fois du faisceau ^ auquel cette substitution est permutable et du groupe (i,a, h, c); il se confond donc avec /.

3“ Il résulte de là que le groufte dérivé de l'échelle de substitutions suivante : t.c^rn, a, b est résoluble. D’ailleurs ce groupe est identique à celui dérivé de I, fl, b,c. En effet, d’une part, la substitution dérive de la combinaison des substitutions fl, /.i, c; d’autre part, c dérive do la combinaison dec''/n, a, b. En effet, soit = i (mod. ix), on aura

c^m cm*, d’ûù c =

m' étant une substitution dérivée de i, a, b. Chacun des deux groupes contient donc toutes les substitutions d’où l'autre est dérivé.

;ini LIVBK OL'ATmi-ME.

Atljoignbns inainlenant au groupe partiel {t,c''m,a,b) une nouvelle substitution d. Supposons, pour fixer les idées, que celte adjonclion introduise de nouvelles substitutions de la forme .f. Soit d^'n l’une d’elles, n étant une substitution dérivée de c'm, a, h.

On démontrera exactement comme tout à l’heure :

i" Qu’aucune des substitutions introduites avec d, à l’exception de celles qui dérivent de la combinaison dec'</n et de d’‘n, ne fera partie du faisceau J:

a" Que toutes les substitutions (i, c^m, a, b, c) sont permutables au faisceau dérivé de c<m et d^n;

’i® Que les substitutions ijcf/n, d^‘n, a, b forment réchelle d’un groupe résoluble identique au groupe (i , a, b, c, d).

Continuant ainsi, on voit qu’on pourra modifier l’éebelle génératrice du groupe I. de manière à'fairc passer en avant tontes les substitutions de à mesure qu'elles seront introduites. Le tbéoréme est donc démontré.

.027. TiiKORKMii VII. — Soient L, L des f;roupes résolubles, et tels, que

les substitutions de eliaciin d’eux soient permutables aux groupes suivants : le groupe (1., L,,...), dérivé de leur eombinaison. sera résoluble.

Il suffit évidemment d’établir le tbéoréme pour le cas de deux groupes,’ I., I.,. Soient I, a, b,.., et i, a,, b,,... les échelles de substitutions génératrices des deux groupes L, L,. Les substitutions de L étant évidemment permutables au groupe L, et l’étant au groupe L,, par hypothèse, seront permutables au faisceau •'f formé par les substitutions communes à ces deux groupes, On pourra donc supposer l’écbcllc i, a, b,... construite de telle sorte que les substitutions de ^ soient les premières introduites. Supposons, pour fixer les idées, que .f soit dérivé des substitutions i, a. Les substitutions I, a„ b,,..., b,... forment une échelle dont (L, L,) est dérivé, et qui satisfait évidemment aux conditions du Théorème IV.

528. TnéonÈMK VHI. — Soient L un groupe résoluble; un groupe eontenn dans L et permutable à toutes scs substitutions (ce peut être L lui-méme) ; •'* un faisceau contenu dans le groupe 4^ et ne renfermant qu'une partie de ses substitutions, et qui, de plus, soit permutable à toutes les substitutions de L : on pourra déterminer un faisceau (? jouissant des propriétés suivantes : i“ il contient toutes les substitutions de .7, jointes à d'autres substitutions ; a® il est contenu dans e ; 3“ il est permutable à toutes les substitutions de L: /|® deux quelconques de ses substitutions g et g' satisfont à une relation de. la forme gg'— g'gf, f désignant une substitution du faisceau 3,

DE LA RÉSOLITION PAR RADICAIX.

Nuus exprimerons d’une manière abrégée celte dernière propriété, en ilisani que les substitutions g et g' sont échangeables, aux substitutions ^ prés.

Démonstration. — D’après le tbéorème précédent, nous pouvons former l’échelle t , a, b, c, d, e génératrice de L, de telle sorte que les pre-

mières substitutions introduites soient celles du groupe , et, parmi ces dernières, celles du faisceau S. Supposons donc, pour fixer les idées, que le faisceau .f soit dérivé des trois premières substitutions de la série, i,a, b% le groupe contenant par hypothèse des substitutions qui ne font pas partie de la substitution suivante c fera partie de ce groupe.

Adjoignons mainteuant à i,a, 6 la suite des substitutions c, d, e, cl formons la série des groupes partiels successifs

.529. Nous établirons d’abord la proposition suivante :

Si dans l'un de ces groupes partiels, { \ , a, b, c, d) •= H par cx'emple, on ■ peut déterminer un faisceau T jouissant des propriétés suivantes : i“ de contenir toutes les substitutions de .f, jointes à d'autres substitutions ; 3° d'ftre contenu dans tl; 3" d’être permutable à toutes les substitutions du groupe partiel H ; 4“ d'avoir toutes scs substitutions échangeables entre elles aux .f prés, on pourra déterminer, dans le groupe partiel suivant, , a, b, c, d, e) = \, un faisceau r, jouissant, par rapport àce nouveau groupe, des mêmes propriétés, et l'on pourra s'élever ainsi progressivement d'un groupe partiel à l'autre, jusqu'à ce qu’on ait reproduit le groupe L et le faisceau correspondant ç, dotit l'existence se trouvera ainsi démontrée.

Si le faisceau F correspondant au groupe partiel H peut être choisi de diverses manières, tout en satisfaisant aux quatre conditions fondamentales, nous choisirons pour notre démonstration une des manières pour lesquelles le nombre de ses substitutions est minimum.

Adjoignons la substitution suivante e; supposons-la non permutable à F; car, si elle l'était, la proposition serait immédiatement démontrée pour le groupe I. Soient F' le faisceau transformé de F pare; F" le faisceau transformé de F", etc. La série de ces faisceaux sera nécessairement limitée, car soit e“ la première puissance de e qui appartienne à H; elle sçra, par hypothèse, permutable à F. Donc F*i‘’= F.

Cela posé : i“ le faisceau F, dérivé de l’ensemble des substitutions F,

•'KH UVBE QUATRIÈME.

I”,..., contient toutes les substitutions 3, jointes à d’autres substitutions : cela est évident, puisqu’il contient toutes les substitutions de P.

a° Il est contenu dans le groupe , car les substitutions I' sont comprises dans ce groupe, et leurs transformées F', F”,... par les substiiiitionà e, e’,..., permutables à , y seront également comprises.

Il est permutable aux substitutions de 1. lün effet F est permutable aux substitutions de II; F', transformé de F par e, le sera à celles du groupe transformé de H par e : mais ce groupe transformé est identique au groupe Il : donc F' cl <le même F",... seront permutables aux substitutions de 11. D’ailleurs c transforme F en F', F' en F",.... Le faisceau F, est doue permutable à toutes les subslitulious de I.

.'i° Enfin les substitutions de F, sont échangeables entre elles, aux i prés.

En elïel, soient, eu premier lieu, tieux substitutions-/, 5', appartenant à un même faisceau partiel, F' par exemple. Posons

yi' =. ô'y'o,

étant une substitution inconnue à déterminer : cette équation, transformée pare**-', donnera

Les deux substitutions font partie du faisceau F : elles

sont donc échangeables entre elles, aux i prés; fera donc partie du

faisceau Sa transformée ç par qui est permutable à fera également partie de ce faisceau.

Soient maintenant deux substitutions -/ appartenant à des faisceaux partiels différents F et FL La substitution -/ faisant partie du gidupe II sera permutable au faisceau F. On a donc

(? étant une substilutinn de F. On en déduit

Or la substitution -/ ' fait partie du groupe II, dont les substitutions sont permutables au faisceau F'. La transformée de '/ par -f', -/ci'-/*', fera ilune partie de ce faisceau, et, comme en fait partie de sou éùlé, dy ' en fera partie également. D’ailleurs et y font partie du fais<;eau F. La substitution tf-y-'.sera donc commune aux deux faisceaux F cl F'.

DE U RÉSOLUTION PAR RADKUUX. 3ii:>

Mnis les substitulions communes h ces deux faisceaux ne sont autres <|ue les .'f. En eflcl, d’une pari, les substitulions de .É faisant partie de 1’ et la subslilulion e les transformant les unes dans les autres, elles feront toutes partie de l". D’autre part, P et P' n’ont aucune autre substitution commune; car ces substitutions communes, faisant partie de P, seraient évidc'minent échangeables entre elles, aux .f près, et seraient toutes contenues dans ; elles formeraient un faisceau A contenant toutes les substitutions de A, jointes à d’autres substitulions; enfin A sérail perinulable à foules les substitutions de H, car chacune de ces dernières substitutions, étant permutable à la fuis à P cl à P', transformerait les substilutions de A, communes à ces deux groupes, en substitutions également communes à ces deux groupes, et qui, par suite, reproduiraient, à l'ordre près, celles de A. Le faisceau A, qui contient moins de substitutions que P. jouirait donc- des mêmes propriétés fondamentales, ce qui est contraire è notre point de départ.

On aura donc

ir'=f D" ^=/y. doù y/=v7y = /•//„

/,/, désignant des substitutions convenablement choisies dans le faisce.m

530. Cela posé, le premier groupe partiel (i, a, b, c) contient toutes les substitutions de .f, jointes à c ; il est contenu dans il est permutable à ses propres substitutions; enfin celles-ci sont échangeables entre elles, aux près. lAir ses substilutions sont toutes de la forme cT", où / désigne une des substitulions de i\ et c étant permutable aux ,f, si l’on pose en général

la substitution

9 = ( c‘7'. cy )-' . &f. e*'/’ = =/,

se réduit à une substitution de .f.

Le faisceau P correspondant à ce groupe |iartiel sera donc ce groupe luimême : en s’élevant ensuite de proche en proche par la méthode qlie nous venons d’exposer, on démontrera le théorème.

531. TiiEoaéMK IX. — l'uur quun groupe 1. soit résoluble, il faut et il suffit qu on puisse former une suite de groupes i, P, G, H,..., se terminant par I„ et jouissant des propriétés suivantes : i" chacun de ces grou/>es est contenu dans le suivant, et permutable aux substitutions de L ; a" deux quelcone/ues de ses substitutions sont échangeables entre elles, aux substitutions prés du groupe précédent.

3!lfi LIVRE QUATRIÈME.

Supposons en effet que L soit résoluble. Posons, dans le tbéorème prété- (lenl, <= L, et prenons pour le faisceau i la substitution unique i. Nous en conclurons l’exislenee d’un faisceau plus général F, également perinutable aux substitutions de L, et dont les sub.stitutions sont échangeables entre elles. Prenons ensuite ^ = F, nous conclurons de tnéine l'existence d’un faisceau plus général G, contenu dans L et pérmutable à ses sdbstitntions, et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux F près; etc.

Réciproquement, supposons que le groupe L remplisse les conditions indiquées au théorème. Soient a .une substitution d'ordre premier, ehoisie arbitrairement dans F; b une substitution de F, autre que les puissances de a, et telle, que la première de ses puissances qui se réduise à une puissance de a soit de degré premier; c une substitution de F, non contenue dans le groupe (a, b), et telle, que la première de ses puissances qui fasse partie de ce groupe soit de degré premier, etc. Soient de même a, une substitution de G, non contenue dans F, et telle, que la première de ses puissances qui fasse partie de ce groupe soit de degré premier; etc. Il est clair que Féchellc des substitutions i, a, b, c,..., a,,... satisfait aux conditions du Théorème IV. Donc L, qui en dérive, est résoluble.

.532. Supposons que nous ayons formé, pour un degré donné, le tableau de tous les groupes résolubles et transitifs les plus généraux. Ghacun d’eux caractérisera un type distinct d’équations irréductibles résolubles par radicaux. Les groupes résolubles et transitifs, non généraux, caractériseront des types d’équations plus spéciaux, et contenus dans les précédents comme cas particuliers. Soient en effet I. un groupe résoluble, tran.sitif et général; \ un groupe résoluble et transitif contenu dans L. Si une équation a pour groupe A, toute fouction de ses racines invariable par les substitutions de A, et a fortiori toute fonction invariable par les substitutions de L, sera exprimable rationnellement. L’équation proposée satisfera donc à tontes les conditions qui caractérisent les équations dont le groupe est L. Pour que son groupe se réduise à A, elle devra satisfaire en outre à d’autres conditions accessoires, étrangères à la question de résolubilité par radicaux.

En cherchant à déterminer les divers types généraux d’équations solubles par radicaux, nous. sommes donc conduits au problème suivant :

Problémc a. — Construire ejcpUcitcment pôiir chaque degré donni les tbvers groupes résolubles, transitifs et généraux.

DF. I.A RÉSOLUTION PAR RADICAL. N :i<>7

Ce problème se lie étruilement aux deux suivants :

PROiii.èMR B. — Construire les groupes résolubles el primaires les plus généraux, contenus dans le groupe linéaire.

PnoBi.èMR C. — Construire les groupes résolubles et primaires les plus généraux, contenus dans les groupes abélien ou hypoabéliens.

Nous verrons en effet que la solution de cliaeun de ces trois problèmes pour un degré quelconque, lorsqu'elle ne s’obtient pas irninédiatement, dépend directement de la solution des mêmes problèmes pour des nombres beaucoup moindres. La métlicdc que nous établirons pour cet objet donne en même temps la solution des autres questions suivanles :

I® Déterminer les ordres respectifs des groupes obtenus; *

a® !xs énumérer;

3“ Ixs répartir en classes, genres, ordres, etc.

(ietie métiiodc est essentiellement fondée sur le théorème i.K. Nous nous élèverons progressivement à la connaissance des groupes eberebés en construisant successivement les faisceaux F, G, H,.... Celte marche présente les avantages suivants ; d'une part, les propriétés particulières à cliae.uu de ces faisceaux facilitent sa délerininalion; d’autre part, les substitutions de I. étant assujetties à la condition d’étre permutables à chacun de ces faisceaux, le champ des rcclierclies se limitera de plus en plus à chaque pas fait vers la solution. Cette simplification n’aurait |ias lieu, si l’on prenait pour point île départ le théorème IV, ainsi que le faisait Galois.