RÉDUCTION DU PROBLÈME A

S I. — GnOllPBS PRIMITIFS.

Soit L un groupe résoluble et primitif. Nou.s nvons vu qu’on peut y ilélfi miner un faisceau F formé de substitutions échangeables entre elle.s, et perimitabic aux substitutions de L (."iSl). Si cette détermination peut se faire de plusieurs manières, nous choisirons une de celles pour lesquelles l’onlrc de F est minimum.

F contient des substitutions d'ordre premier (30). Soient A l'une d'elles; f> son ordre; B.... scs transformées par les substitutions de L. Le groupe (A, B,...), contenu dans F, a ses substitutions échangeables entre elles; il est évidemment permutable aux substitutions de L. Il sc confond donc avec F; sans quoi l'ordre de F ne serait pas le minimum supposé.

L étant primitif, F sera transitif (53). En outre, ses substitutions sont toutes d’ordre p (la substitution i exceptée). Car soit A*B'’,... l’une d’elles : on aura

( \*B'.,.jr = .\vB'r... =1.

L’ordre de F est donc une puissance de p, telle que p* ( iO).

Enfin chacune de ses substitutions, l'nnité exceptée, déplace toutes les racines : car si riine d’elles. S, laisse immobile la racine a, soient h uniautre racine quele'onquc, T une substitution de F qui remplace a par b-, la substitution T"' ST = S laissera 6 immobile. Donc S, laissant immobile une quelconque des racines, .se réduit à l’unité.

Le degré de l'équation sera p". Car F, étant transitif, contiendra au moins une substitution qui permette de remplacer une racine a par une autre racine quelconque, b : mais il n’en contient qu'une; car s'il en contenait deux T et U, il contiendrait TL'~‘, qui laisse a immobile, sans se réduire à l’unité, ce qui n’est pas possible. Le nombre des racines est donc précisément égal au nombre p" des substitutions de F.

Cela posé, les substitutions de F pourront (V07-i08) se mettre sous la

forme

UE U Rt-JOLUTIOX PAB RA0B:AUX.

cl celles de L, étant permutables à F, résulteront (110) de la combinaisuii de K avec des substitutions de la forme linéaire

1 X, . (IX -i- by -t- . . . , a'x -t- é'j,' -e |.

Kniin le groupe partiel formé par res dernières substitutions sera primaire, par définition.

I II. — Groupes ko.s primitifs.

531. Soit I- un groupe résoluble, transitif et général, mais non primitif. S’il existe plusieurs manières de répartir les racines en systèmes tels, i|ue chaque substitution de 1. remplace les racines de chaque système parcelles d’un même système, nous choisirons parmi ces modes de répartition un de ceux où le nombre q des systèmes est minimum : suit r le uombre de racines de chacun d'eux.

I.es racines pourront être distinguées les unes des autres par deux indices U et P, l’indice u, variable de o à y — i , caractérisant les divers systèmes; tandis que l’indice e, variable de o à r — i , servira à distinguer entre elles les racines d’nn même système.

Chacune des substitutions de L sera de la forme

/= I M, V Cf>(«), '{.(//. e) |.

i" lücrivuns, en regard de chacune de ces substitutions, la suivante X = I « o(«) I

entre q lettres auxiliaires caractérisées par un seul intlice «variable de ti à 1/ — I, de telle sorte que chaque lettre corresponde à l’un des systèmes de racines dn groupe L. Le groupe A formé par les substitutions X, étant évi. demment isomorphe à L, sera résoluble (525). Il sera en outre transitif; car les substitutions de L, permutant transitivement toutes les racines, devront a fortiori permuter transitivement les systèmes. Enfin, il sera primitif; en effet, s’il ne l’était pas, on pourrait, en remplaçant l’indice uniqué u par deux indices U, et u, convenablement choisis, mettre toutes -les substitutions de A sous la forme

*(H) LIVBE QUATBIESIE.

et par suite les substitutions de L sous la forme

I H„ M„ V If, (h,), V.;«, l') |:

d’oii l'on voit qu'en réunissant ensemble toutes les racines pour lcs(|uelles l'indice it, est le même, on aurait, contrairement à notre supposition, une répartition en svstèmes dont le nombre serait inférieur à ç.

a® Le jtroupe A étant primitif, il résulte du § I : i” que ^ est une |)tiissanee/»" d’un nombre premier p; 2“<|u’on peut remplacer l'indice unique «

par n indices x, y variant chacun de o à /> — i, et choisis de telle sorte

que les substitutions de A soient toutes de la forme linéaire

I X, r, . . . flx -t- 6^-1- ... -t- at, fl'x 4- t'y |;

en outre, cc groupe A contiendra toutes les substitutions du faisceau

Supposons, pour fixer les idées, que n se réduise à a. Les substitutions de I. prendront la forme

I X, .r, V ox 4- ty-+- a, o'x ■+■ h' y + p, o(x, /, v) |,

V Considérons en particulier parmi ces substitutions celles de la forme I X, c X 4- a, .r 4- 3, (?(x, )•, c) |.

elles forment évidemment un groupe E auquel toutes les autres sont permutables. tin pourra donc les faire passer en avant lorsque l’on construira l'échelle génératrice de L (526).

/{“Considérons plus spécialement encore les substitutions, s'il en existe. (|iii ne iléplaccnt pas les systèmes ; elles sont de la forme

cl sont comprises parmi les E. Elles forment évidemment un groupe K au- «luel toutes les autres sont permutables. On pourra doue les faire passer en avant de toutes les autres.

535. l’norosiTioN I.— S’il existe des sul/siiiultons ¥ qui ne déplacent pas les systèmes , soit f l’une d'elles, qui s’obtienne en exécutant simultanément rertains déplacements /„, /,,... dans l’intérieur des divers systèmes So, S,, . . .

DE U HÈSOLLTION PAR RADIC.\fX DU

entre les racines qui les composent. Chacune des substitutions partielles considérée isolément, devra faire partie de F.

r.ii dït'l, soit /' = y’o/'i ••• une autre substitution de F; les déplaccineiils ■ que la substitution Jf' lait éprouver aux racines des syslcmcs Sgi S,, • • • seront respectivement /o/’o'/i/i* I-e groupe F, contenu dans L, étant ré-

soluble, chacun des groupes partiels (/i. qui lui sont isoinorphes, sera résoluble (525); d'ailleurs ces groupes, déplaçant chacun de son côté des racines différentes, sont échangeables entre eux : le groupe d dérivé de leur combinaison, est donc ré-

soluble (527).

Toutes les substitutions de L sont permutables à comme elles le sont à F. Soit en effet l une de ces substitutions : la transformée de / par /, l~'/l = l~'f„l.l~'/,l..., doit faire partie du groupe F. Donc les déplacements qu’elle fait subir aux racines dans chacun des divers systèmes font partie du groupe .f. Or les déplacements relatifs aux systèmes auxijiiels / fait succéder Sj, S,,... sont respectivement /'*/„/, Chacune de

ces substitutions fait donc partie du groupe d.

Le groupe dérivé de la combinaison de 3 avec les substitutions de I, sera donc résoluble. Il serait d’ailleurs, contre l’hypotbèsc, plus général que I., si toutes les substitutions ,f n’étaient pas comprises dans C, et par suite dans F.

La proposition est donc démontrée.

536. Adjoignons maintenant successivement aux substitutions de F les autres substitutions du groupe, en commençant par celles dont E est dérivé. I.a première sera de la forme

On peut simplifier cette forme. En effet, les diverses valeurs de l’indice c peuvent être réparties d'une manière entièrement arbitraire entre les racines de-cba(]uc système. On peut donc admettre : i" qu'on laisse celte répartition arbitraire dans tous ceux des systèmes pour lesquels le premier indice x est égal à zéro; a“ qu'on donne à chaque racine du système caractérisé par les indices i, r, le meme indicée qu'à celle des racines du système caractérisé par les indices o, y, à laquelle A la fait succéder: 3° qu’on donne de même à chaque racine du système a, v, le même indice qu'à celle du système i.y, à laquelle A la fait succéder, etc., jusqu'au système /> — i,j. La fonction p(x, y, c) se réduira donc à v, (piel que soit y', pour toutes les va-