Introduisons la substitution suivante

Nous avons laissé arbitraire la valeur à assigner à l'indice v pour cbacuiie des racines des systèmes pour lesquels le premier indice x est nul ; laissons encore ce choix arbitraire dans le système pour lequel x = o,y = o; mais donnons à chaque racine du système caractérisé par les indices o, i, le même indice v qu’à celle du système o, o, à laquelle B la fait succéder : donnons de même à cha(|ue racine du système caractérisé par les indices o, a, le même indice v <|u'à celle du système o, i , à laquelle B la fait succéder, etc. La fonction f,(x, v) se trouvera réduite à v lorsque x = o pour toutes les valeurs dey, excepte ponry = /( — i. auquel cas elle se réduira à une fonction de e, telle que (p, (e).

Cela posé, B sera le produit : i" d’une substitution B, qui laisse toutes les racines immobiles, à l’exception de celles (o, /»— i, v), dont les deux premiers indices sont o et p-~i, qu’elle remplacera respectivement par ^o, /J •- I , i|>, Te]); a" d’une substitution

la fonetion f\ se réduisant à e pour x = o, quels que soient y et e.

On voit aisément que B, n’est autre chose que l’ensemble des déplacements que la substitution W, qui fait partie du groupe F, fait éprouver aux

PE LA RÉSOLl'TIOX PAR RADICAUX. RiA

racines ilont les deux prcmici's indices sont o c\ p — i ; <lonc K, l'ait partie do F (Proposition I). On obtiendra donc le même, résultat en adjoignant an groupe (F. .V) la substiiulion B, ou la substitution simpliliée B'=Br'B. t'.ctte dernière sub.stitulion devra, de même que- B, être permutable au groupe (F, -v), ce qui permettra de déterminer la foneiion v, e) pour les valeurs de X autres que zéro.

Soit, en effet, donnée la condition

B'-'AB'= A,‘/C) ou .VB'/-'= B',A*,

en désignant par / l'une des substitutions de F. Soit

on aura

B'.t.*= 1 X, y, V X -t- a, y + i, tf,\{x, y, e) |.

Pour que ces deux substitutions soient identiques, on devra avoir d’un côté a = I , et de l’autre

Cette équation peut servir à déterminer de proche en proche la valeur de la fonction f, pour x = p~i, /j — a,..., en partant de sa valeur initiale pour x = o.

Pour X ■= P — i, on aura

B' remplacera ainsi en général la racine (/> — >• J, e) par la racine (/O — > . J' -P it x[°* J "P '• P])- ® i une substitution qui laisse toutes les racines immobiles, sauf celles [p — i, -t- i, e), dont le premier indice est /< — I, et qui remplace celles-ci respectivement par

Posons B'=B"B’,, B" étant une nouvelle substitution; la substitution B"= B'Br* sera de la forme

B'=|x, J-, e X, ^-(-1, ç*,(jr, J-, e) |,

(*) étant permutable à F, toutes les substitutions du groupe (F, A<) sont de la forme X* f.

t'H I.IVRE yUATRIÈME.

la fonction 9' sc réduisant li v pour a" = o cl j* =/> -- i , quels que soient v,

Och posé, la substitution F, fait partie du groupe F. En cFi't. -t étant permutable h F, la transformée

de /■* par «t- fera elle-même partie du groupe F’. Les déplacements qu’elle fait subir aux racini's des systèmes dont le premier itnlice est eonsi-

dérées isolément, font partie de F (Proposition I). Mais l’ensemble de ces iléplaeeinents est précisément If, .

Un obtiendra donc le meme résultat en a<ljoignant au groupe (F, •' ) la siibstiiution K', ou la substitution simplifiée ü".

On voit exactement de même que l’on peut poser B"= B'if, , B" étant une substitution de la forme

dans laquelle la fonction 9' sc réduit a e toutes les fois que x = o ou = /> — i ou =/) — 2; et B', étant une substitution de F.

On obtiendra encore le môme résultat en adjoignant au groupe (F, .1 , la * substitution B" ou la substitution simpliliéc B”.

Eu poursuivant ainsi, on arrivera h une dernière substitution si., où la fonction 9 se réduit à e pour toutes les valeurs de x. Le groupe dérivé de la combinaison de F, A., »ft. sera encore le même que celui dérivé de la combinaison de F, -t., B. *

Nous pouvons donc énoncer le lésultat suivant :

PaoposiTiOK 11. — Affj siihslilulions de E résnllenl de la rornhinanon de F aeec les substitutions de la forme

•i.lB. Soit maintenant

Il = I X, }■, V ax +.by-t- i, n'x h'y + i', i{,(x. y, v) \

l’une quelconque des substitutions du groupe I.; elle doit être permutable il E. On aura donc, entre auties relations, la suivante :

ll-'.tll = une substitution de E, telle que fX'A’,

DE LA BÉSOLimON PAR RADICAIX. «K.

uii, en remarquanl que H est permutable au groupe partiel F,

.t.11 f IlX’itl,»,

y= I X. e X, y, y^{x, y, »’) | étant une substitution de F. Or on a

.Lit = I X, y, V a{x +,r) -4- by-r à, a'{x + i)+ b'y -t 6', ■+ i, v) |,

/'H I X, y, V ax -y by -i- a + X, «'x-t- 6y + o'+ |î, y, y.'{x, y, v)] |.

Four que ces deux substitutions soient identiques, on aura, entre autres équations de condition, celle-ci :

-4 I, y, e)=. {«[x. y, yJ[x, y, e);.

On trouverait de même

/'= I X, V. e X, v, y“(x, y, e) 1 étant une substitution de F.

Ces équations de condition permettent de déterminer de proc.be eii proebe les valeurs de la fonction <^[x, y, v), lorsqu’on connaît sa valeur initiale pour X = O, — O.

On aura ainsi, en posant x = o, v = o,

;{;(i, O, e) = 4i[o, O, y/io, O, v)]. ^

D’où l’on voit que la substitution II est le produit de deux autres : l.a première. G, laissant toutes les raeines immobiles, sauf celles de lu forme (i, b, v], qu'elle remplace respectivement par (i, o, “> ‘‘l):

La seconde

ir= I X, y, V tix -hby-hd, a'x -h b'y -t- d', •|'(x,v, vj |,

où la fonction i}>'(x, v, e) est égale à 'l<(x, v, v) |)our toutes les valeurs dex. y, e, excepté pourx= i,^= o, auquel cas on a

0> e) — 4'(o> Ot e) = |'(o, o. c .

D’ailleurs G fait partie du groupe F. Car la transformée de f par .i-,

en lait partie; les déplacements qu’elle fait subir aux racines du système t, o.

t(X: LIVRE OUATRIÈME.

considérés isolémenl, en IVront partie (Proposition 1) : or ce système de déplacements est précisément G.

On démontrera de même que la substitution H' est le produit de deux au- • tjres, dont l'une, G', fait partie de F, tandis que l’autre, H", est égale .à

I X, J-, e ax -i- éy i à, n'x -i b'y ■+ ô', ,)% •') |,

la fonction <|/* satisfaisant à la condition

Ht, continuant ainsi, on arrivera enfin à décomposer H en une série de substitutions G, G',..., H,, faisant toutes partie de F, à l'exception de la dernière,

H. = I X, y, H nx 4- éy -t- 5, a'x ■+■ b'y ■+ i', ij^ify, h) |,

où la fonction <{<, reste la même pour toutes les valeurs de x.

On décomposera de même II, en substitutions G,, G', H„ faisant toutes