partie de F, excepté la dernière, qui sera de la forme

II, = I *, y, V ax -h by -I- i, a'x + b'y 4-5', (v ) |,

('elle dernière substitution sc décompose elle-même en deux autres, écban- •

geables entre elles

J 1 X, y, i> nx 4- by + 3, a'x -t- fc'r-4- i, e |.

Nous obtenons donc le résultat suivant :

Proposition III. — Ixs siibslllitlions du groupe I, s' obtiennent toutes par ta combinaison des substitutions de F avec des substitutions telles que IJ, l’J',... :

J , J', . . . étant des substitutions qui permutent les systèmes entre eux, en remplaçant les unes par les autres les racines affectées du même indice e; I, I',... étant au contraire des substitutions qui laissent les systèmes immobiles, en [>ermutant entre elles, simultanément et de la même manière, les racines correspondantes de chacun d'eux.

.■iSO. i" Soient IJ et l’J' deux substitutions de la forme ci-dessus contenues dans le groupe L, IJ.I' J' leur produit. Les déplacemciits d’ensemble que cette dernière substitution f.ait subir aux systèmes seront évidemment représentés par JJ', et les déplacements des racines dans l'intérieur des systèmes le seront par 11': d'ailleurs le groupe dérivé de IJ, l'J',... étant contenu dans L.

DE LA RESOLUTION PAR RADICAUX, esl résoluble : chacun des deux groupes (I, I',...), (J, J',...) isomorphes à rclui-Ui, le sera donc également (525).

a“ Les deux groupes (1, 1',...), (J, J',...) ont leurs substitutions respectivement échangeables entre elles : le groupe (I, 1',..., J, J',...), résultant de leur combinaison, sera donc résoluble (527).

Enfin toutes les substitutions I, I',..., J, J',... sont permutables à K. Les substitutions IJ, I']' l'étant, il suffira, pour établir cette proposition, de montrer que J, J',..., ou, ce qui revient au même, J“', le sont.

Or chaque substitution de F résulte de la combinaison de substitutions partielles fo, déplaçant chacune les racines d'un seul système. Ces substitutions partielles, considérées isolément, font elIcs-mèmes partie du faisceau F(Proposition I).Si nous prouvons que la transformée dechacuned'elles par J*' en fait également partie, J*' sera évidemment permutable à ce groupe.

Soit donc /une substitution qui laisse toutes les racines immobiles, excepté les racines (/j., v, e) du système caractérisé par les indices pi, v, qu’elle remplace respectivement par (fi, y, ç [v]); sa transformée par J*' laisse toutes les racines immobiles, à l'exception des suivantes :

(oft -i- bv ■+■ i, a’n -t- i'y -4- 6', y),

qu'elle remplace respectivement par (afj. -t- iy + â, n'/a-l- b'v ■+- (^, Ç et l'on voit aisément que cette substitution est identique â la iranRforméc de /par

laquelle fait partie de F. '

4® Les observations précédentes montrent que le grou|)C dérivé des substitutions F, I, I',..., J, J',... est résoluble (527) : il contient toutes les substitutions de L; et comme nous admettons qu'il ne peut être plus général, il devra se confondre avec L.

Mais les substitutions de L qui ne déplacent pas les systèmes sont les F;

dans le groupe (F, I, I',..., J, J',...), ce sont les F combinées aux 1,1'

Pour que les deux groupes soient identiques, il faut donc que les substitutions I, ]',... rentrent toutes dans F.

Nous obtenons donc la proposition suivante ;

Phoposition IV. — Toutes les substitutions de L résultent de la combinaison des substitutions F, J, J',. ..

540. Soit A le groupe formé par les substitutions J, J' : ces substitutions permutent les systèmes entre eux, en remplaçant les unes par les autres les

<«H l.l\ ftE QlîATKlfcME.

i-acines corresponclanles; elle» fornicnl entre ces système», considérés chacun comme un tout d’une seule pièce, un (groupe résoluble et pritnilir (53i).

I.e grimpe F est dérivé de sulistilulions qui ne déplacent chacune que les

racines d’un seul système. Soient respectivement I',, F les groupes

formés en réunissant celles de ces substitutions qui déplacent les racines du premier systimie, du second, etc.; F résultera de la combinaison de ces groupes partiels, qui seront tous, résolubles (521).

I.os groupes F,. F,,... sont les transformés d'un seul d'entre eux, tel que F,, par les substitutions En effet, ces substitutions permutent

transitivement les systèmes. Soit S celle de ces substitutions qui fait succéder le premier système au second, par exemple. II est clair que la transformée par S d’unc substitution <]Uclconque de F, appartiendra à F,, et qitc, réciproquement, toute substitution dont la transformée appartient à F, appartient elle-même à F„ : donc S transforme F, en F,. Le groupe L est donc dérivé des seules substitutions à et F„.

51 1. Soient réciproquement A et F, deux groupes résolubles quelconques formes comme ci-dessus ; le grou/>e résultant de leur combinaison sera résoluble.

En elTet, les premières substitutions de A, telles que transformeront respeelWement F„ en une suite de groupes analogues, l'o, F,,... déplaçant respectivement les racines de chacun des systèmes. G's groupes déplaçant des lettres différentes, leurs substitutions seront mutuellement échangeables : .ils formeront donc, par leur réunion, un groupe résoluble, F, auquel les substitutions seront évidemment permutables. Les autres substitutions de A le seront également (539), Le groupe L, dérivé de F et <lc A, ou, ce qui revient au même, de F„ et de A, sera donc résoluble.

Pour que L soit aussi général que possible, il faudra évidemment que les deux groupes A et F« aient été, chacun de son eété, choisis aussi généraux que possible. Enfin, le groupe F„ doit être transitif. Car si ses substitutions ne permettaient de faire succéder à une racine donnée qu'une partie des racines du premier système, ces substitutions combinées à celles de A ne permettraient de lui faire succéder que ces mêmes racines et les racines correspondantes des autres systèmes. Le groupe L ne serait donc pas transitif.

liemarque. — Si A et F» contiennent respectivement li et O substitutions, F en contiendra évidemment if, et L en contiendra ÛO’, toutes de la forme

dy» 7 où d, 7„, 7, sont respectivement des substi tu tions arbitrairement

choisies dans les groupes A, F„, F

DE LA Hf»)LLTIO.N PAR RADICAL. tCi!»

5V2. l'Ài l'ccaiiiiuliiDt cc qui itrécèdc, on obtient le tbéoièiue suivitiil ;

TiiéoiiéMr. I. — Soient L un grou/>e résoluble transitif et général, mais non primitif, de degré M : q le nombre des systèmes {dans celle des répartitions,s’il en cariste plusieurs, pour laquelle ce nombre est minimum); r le nombre des racines de chaque système. Le groupe L résultera de la combinaison de dcu.t groupes partiels :

I" l'n groupe A dont les substitutions déplacent tes systèmes d'un mouvement d'ensemble, sans altérer l’ordre des racines dans chacun d'eux ; les déplacements lies q systèmes formant un groupe résoluble, primitif et général:

■1° l'n groupe f„ laissant toutes les racines immobiles, sauf celles d'un seul système, le premier par exemple, qu’il permute entre elles, et à l'égard desquelles il est résoluble, transitif et général.

L'ordre, de l, sera WO’': D et 0 étant les ordres de A et de I',.

5i3. Si r„ n’est pas primitif, (|ue y, soit le nombre des systèmes, fn =

le nombre îles racines de eliaeiin d’eux, le groupe l'o peut à son tour se déeomposer en deux autres A„ et r«,. ilont le premier permutera les q„ sysliMnes entre eux d'une manière primitive; l’autre permutera entre elles les r„ racines d’un même système : si ee dernier n'est pas primitif, on pourra poursuivre la rédurtion, etc.

On obtient ainsi le lliéorème suivant :

Tiikoiikjie II. — La détermination des groiqres résolubles, généraux et transitifs, mais non primitifs, de degré .M, relatifs à une décomposition quelconque du nombre .M en facteurs successifs q, q„, q„„ se ramène à celle des

groupes primitifs A, A„, A„„,... de degrés q, q„, q,„

llcmarque /. — Pour ijiie cette détermination soit possible, il faut que cbarun des fadeurs 7, f/u,... soit une puissance de nombre premier (533).

llemarque II, — Soient respectivement U, i2,„, ... les ordres de» groupes A, Ag, Ago,...; celui du groupe non primitif formé au moyen de ceux-là sera évidemment

tio