CHAPITRE III

RÊDL’CTtON DC PROBLEME B.

S I. — GbOI.PES llkCUMi'OS.\nl.KS.

.iVi. Soit n = ).m : un groupe contenu diuis le groupe liné.'iiiu de degré p" .sein dit dècompnsahle, si l'on peut déterminer X systèmes de m fonctions linéaires des indices, réelles et distinctes, et telles, i|ue eliaqiie substitution du groupe remplace les fonctions de chacun de res systèmes par des fonctions linéaires de celles d’un même système.

.jiS. Soit I. un groupe résoluble, primaire et général de degré pf. Supposons-le décompos.able ; s'il existe plusieurs manières d’y déterminer des systèmes lie fonctions jouissant de la propriété ci-dessus, nous elioisirons, pour y appliquer nos raisonnements, une de celles oit le nond>re X des systèmes est minimum (en restant > i).

Soient X,, y,,...;...; y',,...:... les X/n fonctions considérées. Nous les

prendrons pour indices indépendants, et, pour éviter toute eonfusion, nous appellerons l'indice r, qui varie de o à X — i, suivant le système auquel appartient la fonction considérée, V indicateur de ce système.

r.ba(|ue substitution du groupe L, telle que ,

est le produit de deux autres :

dont la première remplace les imiiees de chaque système par les indices correspondants d’un autre système, et dont la seconde remplace les indices* de chaque système par des fonctions linéaires de Ces mêmes indices.

.541). Soient NPi N'P',... les substitutions de L: les déplacements d’en-

DE U HfeSOLL’TlON PAR RADICAUX. ill

sctnitic opùrt's sur les systèmes par les substitutions N, N',... furmeiil un proupe .i, éviilemment isumurplie à L, et, par suite, résoluble.

A sera transitif : car, s’il ne l’était pas, on pourrait grouper les systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux <{uc les substitutions de A permutent entre eux : cela posé, il est clair que les substitutions de L remplaceraient les indices appartenant aux systèmes d’une même classe par des ronctions linéaires de ces mêmes indices; donc L ne serait pas primaire (Ii2j.

A sera primitif : car, s’il ne l’était pas, on pourrait grouper les systèmes en systèmes plus généraux, ou fypersystémes, tels, que chaque substitution de A remplaçât les indices de chaque hypersystème par les indices d’un même liypcrsyslème. Los substitutions P, P' de leur côté, remplaecnt les in-

dices de cliai|ue sy.slème par des fonctions linéaires d’indices appartenant à ce même système, et, a fortiori, au même hypersystème. Les substitutions .\P, N'P',... remplaceraient donc les indices de chaque liyper.système par des fonctions de- ceux d’un même hypersystème. Le nombre des byper.systèmes étant inférieur à X ne serait plus le minimum supposé (515).

A étant primitif, le nombre X des systèmes sera une puissance exacte d'un nombre premier ;i (533). Soit, par exemple, X = s’. Si l’on remplace l’indicateur uni(|ue r par deux indicateurs ?, -n variant chacun de o à n — i, A résultera (533) de la combinaison ;

I" U’tin faisceau Ë dont les substitutions remplacent le système (|>;) (lar le système (§ -+- a, »j -t- fi), a, fi étant des entiers constants qui changent d’une substitution à l’autre, et prennent cliaeun toute la suite des valeurs o,...,7i — I (mod. n):

D'un groupe H dont les substitutions, permutables à E, remplacent en général le système (ir,) par le système (a£ ■+■ ô/j, -I- b'r,); a, b, a', b' étant des entiers constants pour une même substitution.

Si l'on considère dans le groupe L les substitutions dans lesquelles les déplaeemenls des systèmes sont représentés par une des substitutions de E, on voit qu’elles forment un faisceau £, auquel toutes les autres sont permutables. C.ar, soient M — NP l’une d’elles. M, = N,P, une autre substitution de L : la substitution Mr' MM, opérera sur les systèmes le déplaeeinent N~‘N.N,. Mais .N fait partie du faisceau E, auquel N, est permutable : donc iNVNN, appartient à E, et Mi^'M-M, à f. On pourra donc, en formant l'échelle génératrice du groupe L, faire passer les substitutions de C en avant des autres (526).

Considérons plus spécialement encore les substitutions, s’il en existe.

tli LIVRE QLATRIÈME.

qui ne déplacenl pas les systèmes : elles formeiK un faisceau .i, emitenu dans E, cl évidcmmcnl peniiulaltlc à ses siibslituliuns. On pourra les faire passer en avant de toutes les autres.

.'>i7. Une substitution quelconque /, prise dans le faisceau .f, est évideiumcnl le produit do substitutions partielles n’altérant respcclivt;-

ment que les indices du premier système, ceux du second, etc.

l’iioposiTiox I. — Soient f» J\ *• les diverses suhslilutions de -f;

•f contiendra chacune des substitutions partielles f„,

Les groupes [fa, fl [f„f\ ••••) évidemment isomorphes au

faisceau -f, sont résolubles (525). De plus, leurs substitutions, altérant des indices différents, sont échangeables. I.e groupe .f' dérivé de leur combinaison est donc résoluble. Il est d'ailleurs permutable à toutes les substitutions de L. Soient en effet / une de ces substitutions; /=/,/i-., une sulistitution quelconque de -■?. La transformée

appartenant à ^ , les substitutions partielles correspondantes appartiendront à .f'. Mais ces substitutions partielles sefont respectivement / 'fl,.... En effet, la substitution /,, par exemple, laissant tous les indices inaltérés, sauf ceux du premier système, l~'f„l laisstrra tous les indices inaltérés, sauf ceux du système auquel / fait succéiler le |ireinier. De même pour les autres substitutions /“'/,/,.... Donc la transformée par/ d’une .substitution quelconi|ue de •7', telle <|ue appartient à 3' , ce qu'il fallait démontrer.

Le groupe dérivé de la combinaison de i' avec les substitutions <le L sera résoluble; d’après ce qui précède. Il serait d’ailleurs, contre rhypolhèse. plus général que L, si toutes les substitutions de i' n’étaient pas contenues dan.s L, et par suite dans -f.

5i8. Adjoignons successivement au faisceau .f les autres substitutions du groupe, en commençant par celles de C. La première, .\, remplacera lc,s indices du système (|>î) par des fonctions des indices du système (| -f i, r,). Il existe d’ailleurs dans le choix des indices un certain arbitraire dont on peut proliier pour simplilier l’expression de cette substitution; car il est clair qu’on peut prendre pour indices indépendants, à la place des indices de chaque système, des fonctions linéaires quelconques de ces indices, sans

DE I„\ RfS0r.UT10N PAR RADICAl’X 11;|

• altiR'oi' b pi'oprièlé l'ondamentale du groupe [., qui eonsi.sic en ce que ses suhslilulions font succéder aux indices de chaque sysléuie des Ibnclions des iiuliccs d'un même syslème.

Laissons le choix des indices arhitrairc dans les systèmes ((»]}, dont (.c premier indicateur est zéro. remplace les indices j,,.,... du système (0/7) par des fonctions des indices du .système (i /;). Prenons ces (onctions pour indices indépendants, et désignons-les par x,,,, j,,, .\ rem-

placera de même ces deruiei’s indices par des i'oiictians des indices du système (a»î). fonctions qu’on peut supposer être respectivement les indices y' On continuera ainsi jusqu'au .système (re — 1, »j), dont A

remplacera les imlices par <les fonctions linéaires X,,, Y,,... des indices du système (o>5).

Cela posé, ,\ sera le produit des deux siihstitiitions

* " I .r,,, Xi,, Ai,,. . X,, \^,..., .. |,

-t. = I . . . , xt,,, xu..„ .n • • • |.

dont la première fait partie de i. En ciTet, la suhstilution \", laissant les systèmes immohilcs, fait partie de .i. Les altérations qu'elle fait subir aux indices des systèmes (orj), considérées isolément, font partie de i (Proposition I), Mais on voit immédiatement i]uc est formé par ren.semhic de ces altérations ; donc. \, fait partie de .T.

Le groupe dérivé de -f et de A peut donc être également considéré comme dérivé île -f et de ,v .

5f9. Introduisons une nouvelle suhstitution H, qui remplace les •indices Xj,,, Je,,,... du .système (|>)) pm* 'b-s fonctions de ceux du système {|, Tl -I- 1). Les coelïicients de ces fonctions peuvent dépendre de »j: représenlons-Ies donc généralement par

X!,(x;.,„, ruM..- ■). )

Le choix des indices est encore arhitrairc dans tous ceux des systèmes dont le premier indicateur est nul. Laissons subsister cette indétermination dans le syslème où les deux indicateurs sont nuis. B remplace les indices de ce syslème par des fonctions des indices du syslème (oi); on peut admettre que ces fonctions aient été prises pour indices indépendants et désignées parxo,, J, B remplacera de même ces derniers indices par des

fonctions des indices du système (<>a). fonctions qu'on peut supposer être

Ui LIVHK Ol’ATKIKME.

rcsiiecliveinetil On continuera ainsi jusqu'au sysléuic (o, 7: — t), •

dont les indires seront remplacés par les fonctions ),

^ yo»*" •)•

■ t>la posé, D sera le produit des deux substitutions ;

ytot • • •

( JT»*» • ■

• Jf!.,. yî,. • • •

dont la première, qui n'altère que les indices du système (00), lait partie de a. lin eflèt, la substitution laissant les systèmes immobiles, fait partie de La substitution partielle B,, formée par les altérations que B" fait subir aux indices du système {00), en fera' également partie (Proposition I }.

l,c groupe dérivé de â, -v, B peut donc également être considéré comme dérivé de A, B'.

Cela posé, la substitution B'“'A*'B'A remplace évidemment les indices ilu système (£>;) par des fonctions de ces mêmes indices : elle appartient donc au faisceau Désignons-la par/ : on aura

. BA = -iB/,

égalité qui permet de déterminer les fonctions X, Y Soit en effet

/= 1 ■ - • . Xîv ro rtv • ■ ■). +ô( •»!„ ,»•£„ ■ . .

Égalant les expressions que B'.c et Aiis'/font succéder à X{,, j;, et

écrivant, pour abréger, x,y,... à la place de arj,.,.,»,, il viendra

Xî^i.tl y, . . J = y, • • • ), Yït(a^*y»* *1, •••]»

Vi„.,'jr,y,...l = +!,tXo(-r,y,---). Vî,(x,y,...), ...],

D'ailleurs X„,{x, y,...), se réduisent à .r, y,../, d'après

ce qui précède. On aura donc

DE LA RÉSOLLTION PAR RADICAUX. Afi

Ola posé, on aura cvulemnienl B'= B' R',, B" étant une substitution

iJcntifiuc à B', sauf le reini)laccment des fonctions },

' ).•■• l>ai' J'i.n* B', désignant la subslitur

tion qui remplace par 7,,,,...). sans

aliérer les autres iniliees. Or B', fait partie «le .f ; car ce faisceau, contenant /, contiendra (Proposition I) les substitutions partielle#/,» qui al-

tèrent respectivement les indices des systèmes {015) de la même manière que/, sans altérer les autres indices. Il contiendra donc la substitution

• • • » •*’u» y'ii* • • •

produit de ces substitutions partielles. Il contiendra enfin sa transformée par laquelle est identique à B’,, en vertu des relations (1).

On peut décomposer de même R" en un produit de deux substitutions, dont l'une. B',, appartiendra à l'autre. B*, étant jdentique à B", sauf le

c.liangcmcnt de J,.,.».,,...). Y„, ),... en

Xa.iH-H”” Poui’suivant ainsi, on arrivera enfin à décompo.scr B en un produit de substitutions dont la dernière .sera

lit. ] ..., Tî,, .., T:.,.,., >‘(.,+ 1,-.. |,

les autres faisant toutes partie de F. l.c groupe 4‘, dérivé île .i, ,L, B, pourra donc être également considéré comme dérivé de.f, ,L, iB. : d'où la proportion suivante :

Proposition II. — Le faisceau C résulte tle la combinaison du faisceau .s avec les substitutions