X.,[-r/:t.t)./'a.v>> .V/iU:./' JV.î.e.e

l’autre, 11,, laissant tous les indices invariables, sauf ces mêmes indices j-,,,

V,,,..., qu’elle remplace par .Vir,.---)' '!'or,(A-„,. ,v„J

(ieltc dernière substitution est contenue dans ,f. Car ce faisceau, conlenaui /', contiendra les substitutions partielles /ùu’---’ fit--- formées par les altérations que/' fait subir aux systèmes (txi) (o>;),... (Proposition 1 ). I,a

substitution 11,, transformée du produit de ces substitutions partielles par la substitution A-', permutable à appartiendra également à cc faisceau.

On trouvera de même IP = IP H’, ; II" ne différant de IP que par le cliangeineiit de Xi,,, Yjr,.-" en X„,, Yor,.-”. et H', étant une substitution de.f, Ctmtinuant ainsi, un arrivera à décomposer H en un produit de substitutions appartenant toutes à / sauf la première H""", i|ui ne différera de II que

par le changement de Xt,;, Y|r,,... en X,,,, Yj,,

D'ailleurs, IP-*'' faisant partie ilu groupe I., sera permutable à c et ii -f.

DE U RÉSOLUTION PAR R Vl*:AljX. tl*

Oii aura donc une rclalion delà forme

/" étant une sulislitution de .f. Parlant de eette relation, et opérant comme précédemment, on décomposera 11'*"'' en un produit de sulistitulions appartenant toutes il .1, sauf la première, ,‘i, qui différera de H’’'"*’ par le cliangement de X„,. en X„,, Y„ cl qui, par soile, sera égale au pro-

duit des deux sulislilutions

1=1 ar-,, 7^, X„(j-î„ >!„■•■). V»(ar!,..nv |.-

Nous ulitenons donc le résultat suivant :

Proposition III. — /.« sttlislilulions du groupe \. >t' obtiennent toutes par ta combinaison des substitutions de i avec des substitutions telles que IJ, l’J',...; J, J',... étant des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par les indices correspondants d' un même système ; et I, 1',... des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, fonctions dont les coefficients sont les mêmes pour tous les systèmes.

551. Le groupe llJ, rj',...)étanl contenu dans L, sera résoltilde (521 ). Les groupes dérivés respedivcmenl des substitutions partielles I, I',..., et J, J',..., ‘étant évidemment isomorphes à celui-là, seront résolubles. U'aillcurs leurs substitutions sont échangeables. Uonc le groupe A ri>sultant de leur combinaison est résoluble (527). Enfin ses substitutious sont permutables à ÿ. En effet, IJ, i'J',..., appartenant à L, sont permutables à J; pour prouver (|uc I. r,..., J, J',... le sont, il suffira donc du prouver que J, J',..., ou, ce (|ui revient au même, J”', J'"',... le sont.

Or chaque substitution de résulte de la combinaison de substitutions partielles/, /„..., altérant respectivement les indices des systèmes (oo) {pv},..., et qui, considérées isolément, font partie de ^

(Proposition I). Si la transformée de chacune d’elles par J"' en fait également partie, J“' sera permutable à ce groupe. .Mais la transformée de/,, par exemple, par J“‘ laisse tous les indices invariables, sauf ceux du sy.s- Jème {f[p, vj), qu’elle altère de la même manière que/, altérait

les indices du système (,uv). Elle est donc identique à la transformée de /, par laquelle appartient à

Les substitutions du groupe résoluble A étant permutables à S, le groupe

us UVRK OUATRIÈME

1. 1'...., J, J',...) sera résoluble (527). Mais il eonlient L, rl, par hypollicse, ne peut être plus général. Il se confond donc avec lui. Enfin, les sub-

slituiions I, I' ne déplaçant pas les systènirs, font partie de F. On a

donc ce ré.soltal :

l’noposiTioN IV. — Le groupe L résulte de la combinaison de # aeee les substitutions J, J',

552. Les déplacements d’ensemble opérés sur les systèmes par les substi-

lutions J, J',..., forment un groupe primitif A (5i0). D'autre part, i est dérivé de substitutions (jiii n’altèrent cbacune que les indices d'un seul système. Soient respectivement F#, F les groupes partiels formés parcelles

de ces substitutions qui n'altèrent que les indices du premier système, <lu second, etc. Ces groupes sont 1rs transformés d’un seul d’entre eux, tel (]uc F,, par les substitutions dérivées de A et sb. En effet, ces substitutions permutent transitivement les systèmes. Soit S celle de ces substitutions qui fait succéder le premier système au second, par exemple. Elle transformera les substitutions de F„ en d’autres substitutions, également contenues dans i, et n’altérant que les indices du second système : ces transformées .sont donc contenues dans F,. Réciproquement, toute substitution dont la transformée n’altcre que les indices du second système ne devra elle-même altérer (]tie ceux du premier système, et sera’ contenue dans F„ : F, sera donc précisément le groupe transformé de F, par S.

Nous obtenons donc le résultat suivant ;

PnnposiTiON V. — Le groupe L résulte de la combinaison d'un groupe résoluble A, dont les substitutions permutent primitivement les systèmes entre ear (en remplaçant les uns parles autres les indices correspondants', avec un groupe résoluble F,, dont les substitutions n altèrent que les indices du premier système, quelles remplacent par des fonctions linéaires de ces mêmes indices.

553. Pour que L .soit primaire, il faudra que F„ le soit par rapport aux indices qu’il altère (311). Si F„ est décomposabic , on pourra opérer sur ce groupe comme sur le groupe initial L, et y répartir les indices en soussystèmes tels, <|uc F, résulte de la combinaison de deux autres groupes résolubles : l’un A„, permutant les sous-systèmes entre eux d’une manière primitive, et en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants; l’autre F„,, dont les substitutions n’altèrent que les indices du premier sous-système, qu’elles remplacent par des fonctions linéaires de ces indices, et à l’égard desquels F,,, sera primaire.

DE LA BÉSÛLIÎTION l’AR RADICAUX. IID

li's indices de cbacjuc système en soiis-sysli-mes. en groupant ensemble ceux dont les correspondants dans le premier système appartiennent à un même sons-système, tiliacunc des substitutions de A remplace évidemment les indices <le eba(|ue .sous-système par les indices correspondants d’un même sous-système : il en est de meme des substitutions de A„, (|ui permutent entre eux les sous systèmes ilu premier système, sans altérer les autres. I.es substitutions du groupe (A. A,) jouiront donc de la même propriété. I.e groupe I, résultera donc de la combinaison d'un groupe (A, A„). dont les substitutions permutent les sous-systèmes entre eux, en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants, avec un groupe Too, dont les substitutions n'altèrent i|ue les indices du premier sous-système.

Si r„, est encore décomposable, on continuera ce mode de raisonnement, jusqu’il ce qu’on arrive à un groupe indécomposable, ce qui aura toujours lieu. Car le nombre des indices du groupe à considérer va toujours décroissant : si donc on n’est pas arrêté par la rencontre d’un groupe indécomposable, on arrivera rinalement à un groupe ne contenant plus qu’un indice, et par suite indécomposable.

Nous obtenons donc le tliéorènic suivant :

rnéoBÈ.iiE. — Soil I. un groupe résoluble, primaire et général, mais décomposable, de degré /»" ; les indices indépendants pourront être choisis de telle sorte, et groupés m àmen\ systèmes {n étant égal à ni).), de telle façon, epte le groupe I. résulte de la combinaison de deujc groupes résolubles partiels :

1“ L’un, (a, Ao,...)= D, dont les substitutions permutent les systèmes entre eux, en remplaçant les uns parles autres les indices correspondants ;

a" Le second, f, dont les substitutions n'altèrent rpie les indices du premier système, rpt elles remplacent par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, et par rapport auxquels Y est primaire et indécomposable .

L’ordre de L jcr« liO’, U et 0 étant les ordres respectifs de D et de F (H08).

55V. Pour que I. soit primaire, il est nécessaire et sudisant que Ü soit transitif (31 1 ). Pour qu’il soit aussi général que possible, il faut en outre que chacun des deux groupes I) et F soit aussi général que possible dans son espèce.

I.a détermination de I. se ramène <lonc à celle de I) et de F. La première de ces deux questions n’est autre que le problème A, mais avec un abaissement considérable dans le degré du groupe, qui se trouve réduit de//' à )., diviseur de n. Nous avons vu {Chapitre II) comment ce problème se réduit à son tour au problème II. Ün peut donc le considérer comme résolu.

liO LIVRE QUATRIEME.

Il reste à construire les groupes résolubles, primaires et indécomposables, tels <|uc r. Cette question fera l’objet de la section suivante.

§ II. — GnOUPBS IMOIXOMPOSAnLKS.

ConsUuction du premier faisceau.

553. Soient F l’un des groupes cberchés, de degré F son premier fais'ccau, choisi aussi général que possible. Le groupe F étant primaire, F ne contiendra (]ue des substitutions d'ordre premier à p (188). Prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent toutes scs substitutions à la forme canonique (nC); piii.s. groupons dans une même série ceux des nouveaux indices qui sont multipliés par un même facteur dans chacune des substitutions de F, et dans un même .système les diverses séries conjuguées. Les indices ne formeront qu’un seul système : car, s’il eu était autrement, ou pourrait remplacer dans chaque système les indices imaginaires par des iiiilices réels ( 178); et les substitutions de F remplaçant les indices de chaque système par des Idnctions linéaires tics indices d’un même système (193), ce groupe serait non primaire, si ses substitutions ne permutaient pas transitivement les systèmes; primaire, mais décomposable, si elles les permutaient transitivement.

Cela posé, soient y le nombre des séries, fi = celui des indices de

chaque série; x,, x'^,... les indices de la r -i- série; i une racine d’une congruence irréductible do degré y; a, a, ^,... des entiers complexes formés avec l’imaginaire i. Les substitutions de F seront de la forme

et celles de F, remplaçant les indices iFune mémo série par des fonctions linéaires des indices d’une même série (192), et les indices conjugués par des fonctions conjuguées (1 i9) seront de la forme