I ..., r„ x'r aCa-,», a'r'ar,^., -e

(*] Si Tun avait a, ?' ne contiendrait d'autre aubatitution que i'unité, re qui inadmi.^ «Hibk*. On doit donc eidurc celle hypothè»;.

DE LA RÉSOLUTIIIN PAH BADICACX.

DU, en n'écrivanl que les iiulices de la première série, ce qui suffit,

I x„ XX, + ^x‘^ , XX, 3' jtJ + . r ].

Il est clair que chacune de ces siihstitutions est de la forme 'fêlant la substitution qui remplace chaque indice par son conjugué de la série suivante, et ^ une substitution qui ne déplace pas les séries.

556. Cela posé, si chaque série ne contient qu'un indice, les substitutions

de la forme ^se réduiront toutes à la forme /, et seront échangeables entre elles; la substitution <f étant d’ailleurs permutable au faisceau ç formé par ces substitutions, le groupe dérivé de la combinaison de <f cl de 9 .sera résoluble. Mais il contient F, qui est général, par hypothèse; donc il se confond avec lui. Donc le (groupe F ne pourra être détermine que d'une seule manière, et sera formé de l'ensemble des substitutions 'f<' .

557. Supposons au contraire que chaque série contienne plusieurs iii-

tlices. Soient an., = .anj = <£'*’• .J,,... les diverses substitutions de F;

d le plus grand commun diviseur de v, p,, p,. Le groupe F résultera de la combinaison d’une substitution de la forme ^avec un groupe partiel F’, dont les substitutions ont la forme Kn elïct, F contient la substitution

■)î, = an', ';>n laquelle est évidemment de la forme et l'on

peut disposer des indéterminées a, , «j...., de telle sdrle que a,p, -+■ a,p,-F... se réduise à d (mod. y) (2). Cela posé, soit d = r, s, = r, p, =.... On aura évidemment on, = on, = ... ne déplaçant pas les

séries.

Le faisceau F contiendra toutes les substitutions de la forme f. Car soit 9 le faisceau formé par l’ensemble de ces substitutions; elles sont échangeables entre elles; d’ailleurs les substitutions de F, étant de la forme sont permutables à 9. Donc le groupe F, dérivé de F et de 9 est résoluble, et 9 peut être pris pour son premier faisceau. Mais, par hypotbèse, F, ne peut être plus générai que F; donc il se confond avec lui. De même, F est contenu dans 9, et comme il ne peut être moins général, par hypothèse, il se confond avec lui.

558. Thkobkme. — Le groupe F contient des substitutions de la forme autre que celles deï. Supposons en effet qu’il en soit autrement; nous allons prouver que F ne peut être général.

Soient/,,/,,... les substitutions de F; les substitutions formant un