LIVRE yUATRiEMK

{;i'uu|u- qui cuniicnl F, seront «ionnées par le lahleaii suivant :

5,1^0. ^i/i. •••:■••. itf •il.-" étant des stilisliluliuns qui ne satislassenl à aucune relation <lc la forme et dont la première se

réduise à l’unité (30). Soit d'autre part la substitution qui, combinée à F, reproduit F. Les groupes 1',, F,,..., respectivement transformés de F par les substitutions seront respectivement dérivés de la combinaison du faisceau F, am|uel ^o. ^ sont permutables, avec les trans-

formées respectives de la substitution Ces transformées .sont évidemment de la forme supposons-les égales respectivement à /ÿ, .... Deux cas seront à distinguer :

i"Si les substitutions ne sont |)as toutes différentes, si l’on

a par exemple le groupe F,, dérivé de la combinaison de F avec

la substitution < ou, ce qui revient au même, avec la substitution

, se confondra avec le groupe F,, dérivé de même de la combinaison de F avec Donc et transformeront toutes deux F en F,, et par

suite, iV sera permutable à F. Ko l’adjoignant à F, on aura un nouveau groupe résoluble, plus général que F, car il conlicnl qui est tie la

forme sans être de la forme/.

2“ Si les substitutions ,... sont toutes différentes, elles reproduiront, à l’ordre près, toutes celles de la suite .J». ?, Donc l’une d’elles,

.2,,, par exemple, se réduira à l’unité. I.e groupe F, sera donc dérivé de la combinaison de F et de la combinaison tP*. Cela posé, soit X une substitution de la forme 2,, qui n'a|q)artienne pas à F, et dont les coefTlcicnts soient réels; elle sera écbangeable à toutes les substitutions de F,. Sa transformée par sera de la forme sans appartenir à F, et .sera écbangeable aux substitutions de F (30). On pourra donc l’adjoindre à ce groupe, et obtenir ainsi un nouveau groupe résoluble, plus général que F.

Conslruction du second faisceau.

5.â!t. Les substitutions de la forme ^ contenues dans F, forincnl un groupe partiel , évidemment permutable à toute substitution de F. On pourra donc y déterminer un faisceau G plus général <|ue F, dont les substitutions soient échangeables entre elles aux substitutions F près, et auquel toute substitution de F soit permutable (,5'28). Si ce faisceau (leiit être déterminé de plusieurs manières, nous le eboisirons de telle sorte que son ordre soit minimum.

I.es substitutions de F sont échangeables à toutes celles de G; mais G ne

DE L\ RÈSOIXTION PAR RADK'.ACX. lia

(•«itlienl aucune autre suhsiilutioii jouissant de cetlc propriété. Car s’il existait de telles sub.slitiitions g, g' leurs transformées par une substitution

i|uelcum|ue tic F seraient éebangeables aux substitutions du groupe transformé de G, lequel se confond avec G; les transformées des substitutions F. g, g',... étant ainsi échangeables à toutes les substitutions de G, et faisant il'ailleui> partie de G, reproduiraient, à‘ l’ordre près, ces mêmes substitutions F, g, g' On obtiendrait ainsi un faisceau (F, g-, g',...) jouissant

des memes propriétés que F, et plus général que lui, ce qu’on suppose impossible (555).

Soit donc A, une substitution quelcon(|uc de G, qui n’appartienne pas à F; il existera dans G au moins une substitution II, qui ne soit pas échangeable è mais la transforme en aA,, a désignant une substitution

1 x„ x„. . . ax„ ax,, . . [.

convenablement choisie dans le faisceau F.

Soient A',, B',, a’ les altérations produites par les substitutions A,, H,, a ilans les indices de la première série, considérés isolément. De l’égalité B7' .A, B, = <2,\, on déduira a fortiori l'égalité des opérations partielles B'“' A’, B', et a' A',, et par suite celle de leurs déterminants. Or soit </le déterminant de .V,; B'f'.A’i B', et auront respectivement pour déterminants d et aPrf, fA étant le nombre des indices de la série. On aura donc

A'si (inoil.

Soit donc T une racine primitive de cette congruence; a sera une pui.ssance de t, telle que t„,.

Parmi les diverses manières de choisir les substitutions .A, et B, dans le fai.sceau G, prenons l’une de celles où l’exposant m, est minimum, tout en restant supérieur à zéro. Cela posé, G résultera de la combinaison des substitutions A, et n, mec un groupe G, de substitutions échangeables à A, et à B,.

En effet, soit C une substitution de G, qui transforme .A,, B, en t'B,; CA”, B", =C' les transformera en t'*'""’ A,, t'"’'"'B,. On peut dispnsi-r îles indéterminées u, v pour rendre les ex|)Osants s -h um, t — cm positifs et moindres que m : mais par hypothèse ils ne peuvent être moindres que m sans s’annuler. Donc C' sera éehangeablé à A,, B,. D’ailleurs C = r.'B7".\7' dérive de la combinaison de C' avec A, et B,.

Si G, contient des substitutions qui ne fassent pas partie de F, aucune d’elles ne sera échangeable à toutes les autres : car elle serait échangeable à

til UVRE QUATRIÈME.

toutes les substitutions de G, ce qui ne peut être. Mais si A„ B, sont deux quelconques de ces substitutions, on aura une égalité de la forme

Choisissons A,. B,,... de telle sqrte que suit minimum, sans être nul; on verra comme tout à riicure que G, résulte de la combinaison dt -A,, Bj avec un groupe G„ dont les substitutions sont écbangcables à A,, B,, A,, B^.

On peut continuer ainsi jus(|u'à te qu’on ait épui§é la suite des substitutions étrangères à F qui sont contenues dans G; et l'on arrive enfin à ce résultat :

Tiii;oRé.Mi:. — /.e faisceau G résulté de la combinaison de F arec une double suite de substitutions, .A,, B,; .A„ Bj;...; A,, B,, telle, que chacune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une des relations suivantes :

B7' A,B, =rr-.A„ B,' A,B, = t-.A„. ..

5fi0. Les exposants m,, m„... divisent p. Car on a, par exemple, (B';)-A.B'; = t*.‘A„

et l'on pourra di.sposer do u pour rendre m, u congru à m' I mod. p), m' étant le plus grand commun diviseur de m, et de p. Si m, ne divisait pas p, m' .serait moindre que m,, ce qui 'est impossible, par bypotlièse.

Soit donc p = m, o', = wij Jj = Les substitutions' .A*', B*'. .A*,', B’,’,...,

étant échangeables à toutes celles de G, appartiendront à F.

Les nombres d„... sont tous égaux à un nombre premier u. Supposons en effet (|u'il en soit autrement, et soit n un nombre premier, qui divise un ou plusieurs des nombres o',, dj,.... Supposons, pour fixer les idées, qu'il divise seulement d,, et soit, pour abréger, d, = en, p = en = m, en.

Les. substitutions Aj, BJ , F et leurs dérivées seront échangeables à toutes celles de G, aux puissances près de t'. En elfet. A], par exemple, est échangeable aux substitutions F, .A,, .A], B,,..., et B, la transforme en t"''.A, = T* .A,. Elles sont seules à jouir de cette propriété : car toute substitiitiob de G peut évidemment se mettre sous la forme

/étant une substitution de F; et les substitutions A,, B la transforme-

DE U nÉsoi-irrioN par radiomx.

ront icsiieclivement en r""'P'S, Donc, pour que S soit pcnmi-

labie à toutes ces substitutions aux puissances près de t', il faudra qu’on ail

— m,^,s3s,e, »i, a, «t, e, —m,^ = s,e, . . (niod. f*), ^

s,, t,, s,, étant des entiers.

Multiplions CCS relations par rr, il viendra, en rcinan|uant que f» = fi, — r m, sem, a, œ— TT/n, |3,s;rm, 3t,œ. .rao (mod. ft).

Donc -ii- = ( divisera 3, et .£=!?, divisera sSj et jta„ et comme J,

est premier à r, il divisera et a,, etc. Donc A B,',... appartiendront à F, et S sera dérivée des substitutions F, A’,. B‘, .

Le groupe H = (F, .A', . B',) est permutable à toutes les substitutions dc'T. Car le groupe H', transformé de H par une substitution quelconque f** prise dans r, a ses substitutions échangeables à celles du faisceau G', transformé de G. aux puissances près de t'p’, transformée de t'. Or G' = G; il'autre part, les puissances de t'p’ sont des puis.sanees de t'; donc les substitutions de ir sont échangeables à celles de G. aux puissances presder'; donc H', qui d'ailleurs est contenu dans G, se confond avec H. De plus, les substitutions de H, étant contenues dans G, sont échangeables entre elles, aux F près. Le faisceau H jouira donc des mêmes propriétés que G, tout en contenant moins de substitutions, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Pour échapper à cette conclusion, il faut évidemment que tous les nonibres Jj,... se réduisent à n; alors H = G.

561. Posons = 6; 5 sera une racine primitive de la congruence

6'âsi (muet, p),

et l’on aura

D’ailleurs F doit contenir la substitution

I ar„ X,,... 0x„ Ûx„... |,

que nous avons désignée, pour abréger, par 6. Pour que cette substitution soit réelle, il faut que 0 soit un entier complexe, ne contenant (Vautre ima-

I*: I.IVRE ÜUATRIEME.

$;inairc que i : d'oii la condUion

(mod. ;>),

qui, comparée à la rclalion i, montre que 7: dhisc /t' — i- »

502. l'ordre de chacune des siibsliliitions de G est premier à p. En elTet.

si G contenait une substitution S d’ordre pq, il contiendrait S*, qui est il'orilrc p, et par suite n'appartient pas à F. Soit donc S’ = A’,’...; l'un

au moins des exposants, a, par exemple, serait ^u(inod.n). (àïla posé, H7'S’B, serait d'ordre p, et d’ordre pn; résultat absurde, ces deux substitutions devant être identiques.

503. Supposons maintenant, pour fixer les idées, que a se réduise à 2.

I.es deux substitutions .\, étant d’ordre premier à p, et échangeables entre elles, on pourra remplacer les indices .r,, x,, x, ,... par d’au-

tres indices indépendants lo*"-' v,. s,.... choisis de telle sorte que

et .soient ramenés simultanément à leurs formes caiioui(|ues. I.es nouveaux indices J,, a,,... qui rem|)lacent x,, x' seront des fonctions

linéaires de x,, x',,,..., dont les coefficients .s’exprimeront rationnellement

en fonction de 1, et des facteurs a,, b a„ b,,..., par lesquels .\, et A,

multiplient respectivement v,, a ces facteurs étant eux-méiues les ra-

cines de congruences dont les coefficients sont des entiers complexes formés

avec/(l76). Quant aux indices/,, a, leurs expressions se déduiront

des précédentes en changeant x,, x’„,..., i, a,, b,,..., «j, en r,,

»■: Id;',..., a(, b(,... (22).

Les substitutions A',, appartenant à F, on aura

la />7 SB. . . , a”,i2s6',... (niod. p;.

Les facteun a,, b ne different donc tes uns des autres que par des puissances de 5 ; de même pour a.^, é,

564. TnKoai:.vit. — Soit p' le nombre des indices y,, v',.... de la série y„,

que les substitutions A, et .Aj multiplient respectieerrrent pur a, et a,.

t'ette série contiendra p' indices a'„ que ces mêmes substitutions multi-

plient respectivement par a,b'‘, a,(r<, £, et £, étant des entiers queleoruptes moindres que n.

En effet, la substitution B®,' B’,', transformant respectivement A,, A, en 6^' A,, 6*'AJ, remplacera les indices/*,/',,... par de.s fonctions linéaires ç.

DE U BÈSOLUTION PAK RADICAUX. lil

5',... (les iiuliees s,,..., telles, que A, et A, les multiplient respectivenient par r<,5-> et Mais A, multipliant eliacun des indices y,, s„... par un Taetcur eon.stanl, ne pourra multiplier une fonction de ces indices para, 4i'', que si cette fonction contient seulement les indices que A, multiplie par ce facteur. On peut faire un raisonnement analogue pour .\j. Les indices î,, qui figurent dans les fonctions f, ç',..., seront donc multipliés par a, 5*' et dans les substitutions A, et Aj. D’ailleurs les fonctions 9, 9',..., en nombre fi', doivent être ilistinctcs pour que le déterminant de ne soit pas congru à zéro. Donc le nombre u" des indices

z\ dont elles dépendent est au moins égal à >j.'.

On verrait de même c]ue donc f*' = 11".

Les indices V», z,,,... se partagent donc en suites également nombreuses, et correspondant chacune à un système de valeurs de |,. Pour les mettre •en évidence, nous désigncron.s les indices Vo, par le .sym-

bole général l.e],, i étant un indicateur variable de o à [z'—i, et qui servira à distinguer les divers indices d’une même suite, £,, ï, des indicateurs variables d’une suite à l’antre, entre les limites o et :: — i, et run indicateur variable d’une série à l'autre.

Les substitutions .V,, prendront la forme

D’ailleurs celte forme ne sera pas altérée, si l’on remplace les indices d'une suite quelconque par des fonctions linéaires de ces mêmes indices (on aura soin d’altérer parallèlement les indices homologues des séries conjuguées) : car chacune d'elles multiplie par un même facteur les indices d’une même suite, et par conséquent leurs fonctions linéaires. Il reste donc dans le choix des indices un certain arbitraire dont nous allons profiler pour simplifier l’expression des substitutions R,, B,.

56.â. C.omniençons par B, ; cette substitution, transfurmaiit .A,, eiiSA,, Aj, remplacera les indices [£, 5j£]o de la suite £,, par des fonctions des indices de la suite 1, Çj. Les indices indépendants restant arbitraires dans 1^ suite o, on pourra prendre pour indices indépendants dans la suite, 1, £, les fonctions que B, fait succéder aux indices de la suite o, |j; pour indices indépendants dans la suite 3, les fonctions que B, fait succéder à ceux de la suite 1, £,, etc., jusqu’à la suite r — t, f,, dont B, remplacera les indices [ît — 1, ilg par des fonctions f, pt,--- des indices

de la suite o, £,.

44« UVRE quatrième.

Cela posé, B”, remplacera en général l'intlice foÇ, «], par Çti mais elle appartient à F (560); donc = rf'oE, ijo, d étant un coefficient ronstaiil. Posons en général

= avec h^ssd (mod. p),

B, remplacera la fonction f£, £, t]'„ par b, [|,4- 1 , Ç.. Éj*.

Donc en prenant ces fonctions pour indices indépendants, et supprimant les accents, qui deviennent inutiles. B, prendra la forme

566. Passons à la sulistitulion B, : elle remplace les indices de la suite H,, Ç, par des lonctions de ca;ux de la suite £,, f,-*- i. Considérons en particulier les indices des suites pour lesquelles £, = o. Par des cliangemenis d’indices convenables, exécutés dans chacune de ces suites, on pourra faire en .sorte que B, remplace tout indice [o|, c], de l'une de ces suites par

O, £j -t- I , {],. b, étant un roefficienl constant. Ce changement d’imiiees n’altérera évideinnienl pas les expressions de A,. A,. Il n’altérera pas non plus celle de B,, pourvu qu’il soit accompagné de changements analogues, effectués sur les indices de chacun des groupes de suites qui correspondent aux diverses valeurs de

Cela posé, soit f la fonction par laquelle Bj remplace f£, £, ej, : B- B‘; et B" B; remplaceront respectivement par £, -i- i,6i„ et par

b\f. .Mais ces deux substitutions sont identiques. B, étant ùchnngeahie il Bj. Donc se réduit à -t- i , e], et Bj est de la forme

Nous obtenons donc le théorème suivant :

Thkobkme. — Les substitutions .\,, B,, .\,, peuvent se ramena à ta forme

et, pur suite, les substitutions de G seront de la forme

567. i.e calcul des coefficients a,, o,, b„ 6, a demandé la résolution de diverses congruences, ayant pour coefficients des entiers complexes formés

DE LA RÈSOLCTION PAR RADICAUX. iiti

avec I. Celte résolulion pourrait nécessiter rintroiludion tie nouvelles imaginaires. Il est essentiel d’éclaircir ce point; nous y parviendrons par les considérations suivantes :

Soient S une sub.stitution de G, qui n’appartienne pas à F; .S, S',... ses iransfonnées par les sulistilulions de F. Chaque substitution de P transCormera les substitutions S, S',... les unes dans les autres : car supposons que la substitution T, appartenant à P, transforme S' en S"; soit tl la subslitiilion de P qui transforme S en S'; UT transformera S en S"; donc S" fait partie de la suite S, S'

Il résulte de là que les substitutions de P sont permutables nu faisceau (F, S, S'....). Donc ce faisceau contiendra toutes les substitutions de G, ijiii est, par hypothèse, parmi tous les seconds faisceaux possibles, celui dont l’ordre est minimum.

Considérons en particulier la substitution A, et ses transformées

.A’,, D’après ce qui précède, l’une au moins de ces transformées ne .sera

pas contenue dans le groupe (F, A,) moins général que G. Soit

cette transformée : elle aura le même caractérisiiquë que A, (172;.

Ici deux cas seront à distinguer, suivant que n est un nombre premier impair ou égal à a.

5(»8. Premier c.\s : it firemier im/>air. A, a pour caractéristique

la multiplication s’étendant à tous les systèmes de valeurs de t, î,, ï,. r. Or multiplions ensemble les fs facteurs correspondants à une même valeur de

et dont ^ = e sont égaux à af' — K, c à («,5}''— K, etc.: il viendra

la multiplication ne s’étendant plus qu'aux diverses valeurs du r.

Quant à C', caractéristique de , deux cas seront à distinguer, suivant que [i,, sont ou non nuis à la fuis.

i“ Si jS, = ^, = O, on aura

4;tn UVRE OI-'ATRItME.

Griiii|ioiii> comme (oui à l'heure les fadeurs qui corrcspondeiil à une même valeur de r : on aura e de ees facteurs égaux à K, e égaux à (eS)'’'' K, etc. lîn effet, A', n’appartenant pas au faisceau F, l’un au moins des exposants «j, par exemple a,, ne sera pas congru îi o(mod.;:). On pourra donc choisir arhitrairemenl e cl |j, ce qui pourra se faire de e manières ililTcrcnles, et déterminer ensuite Ç, de telle sorte que «,?j

SC réduise à o(mod.Tr), p étant un entier arbitraire. Ou aura donc comme tout à l’heure

a" Si /2|, ne sont pas nuis à la fois, considérons les rr indices [1,4 /np,, £, -t- m^j, s],.,... que .V, permute circulairement. I.e facteur de C' correspondant à ce groupe de rr indices sera

Faisant le produit des expressions analogues correspondantes aux divers grou(ies d'indices, on trouvera encore pour C' la valeur (4).

I,es deux caractéristiques C, C devant être égaux, on aura une relation de la forme

(niod. /().

Ola posé, la substitution

S- A’,Arr'=| 15.E.*;. 5.4-i3„ e). i

aura pour caractéristique (i — K”)'*'; et il en sera de même de ses ti’ansformées

S'=I [?.?.£]. c'Ot.s, 4 a„ 5. -t-3., i], I,... par les diverses substitutions de F; d’où l’on déduit

c'’si ( mod. .

Soit maintenant

T=/A',B; AVBi = I [£.$.£]. /oViVa'.‘éÿO’.l.-'.'.(4, 4 a„ £[.

une quelconque des substitutions de G; elle aura pour caractéristique (5) J*] \{fa\b‘ aYbYl'''-h.'/.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. Wl

■Mais d’autre pari T apparlicnt.au groupe dérivé de F, S, S',... (ôOTj. Soit T = 9 étant une substitution de F, qui uuilliplio par 9 les

indices de la première série : T aura pour caractéristique

Four que les-expressions (5) et (G) soient égales, il faudra qu’oii ail une relation de la forme

ÿ’'*! *1 uù o','fcv

étant un entier. On aura une relation analogue pour tout système île râleurs de r,, i»,, T„ U,. Donc toutes les quantités de la forme a\ l>\' a\' bi‘,' , et en particulier é,, <ii, fc,, sont des produits d'entiers complexes ne eonienani d'autre imaginaire que i. Donc la réduction des subslilulions H,. Hj à leur forme type a pu se faire sans introduire d'imaginaire nouvelle.

On peut supposer que les coellicients a,, b,, a„ bj se réduisent à l'unité.

Car F contenant les substitutions a,, b, G pourra être considéré comme

dérivé de la combinaison de F, non plus avec les substitutions A,, H,, Itj. mais avec celles-ci af'.V,, 67 'H,, «7'. A,, b~'\\-,, où les coefticienls ont disparu.

.569. Skcono cas : n = 3, d'où 5 = — 1 . a pour caractéristique

Si |5| = = 0, A', aura pour caractéristique

Dans le cas contraire, le facteur de C' corres[)ondanl au groupe des deiiv indices £,Çît],, fÊ, -hli,, Sj-t- |î,, £% que permute entre eux sera

en posant, pour abréger, m = », j3, -i- «, ,3j, et remarquant que rmi a car le nombre ?r= a divisant p'— 1 (.561), p est impair.

La condition C = C' donnera comme tout à l'heure

— (moil./i).