LIVRE QUATRIÈME

Cela |)osc, la substitution

S = .V, Ar<"= I [î, 5.t]. + |5.. l. + P„ I

aura pour caractéristique (K’— 6"')’'. ll en sera de même de ses translorinécs

S'=I [Ï,?.C]. c'5T.i.M.!.(ï,4-ô„5, + i.,t]. rl'où les conditions

(7) . (niod. p).

Suit maintenant

l'une t|uelconquc des substitutions de G; elle aura pour carartérisliquc, d’iinc p'.trt

d’antre part

en posant, pour abréger,

/ = T, a. -r- T, y„ u = [gx, + q’y, -h. . -i- 1/‘ i, +

Four que ces deux expressions soient égales, il faut qu’on ait une relation de la forme

ou, en remarquant que c'*,... se réduisent à des puissances de 0 en vertu des relations (7), une relation de la forme

(/aV6','.. .)’= ij.’r'C’, ou cnttn

j étant une raeinc primitive de la congruence

• j’aaS, ou y*aai (niud. p).

Cela posé, si 1 est divisible par 4. on aura

jV-'si;

y sera donc, ainsi que /et ç''^ un entier complexe ne contenant d’autre ima-

[)E LA HÈSOLUTION l’AU HADH AI X. i:i;t

gitiaii'C i|ue i : donc les expi'cssions et en particulier a,, b ne

contiendront d’autre imaginaire que i; et l'on pourra choisir la doiihlc suite A,, B,, Aj, B, de telle sorte que tous ces cocIBcients se réduisent à l’unitc (5ti8).

Soit au contraire I (inod. 4) : j ne sera plus un entier complexe formé avec mais y’s-— i le sera toujours; donc chacune des expressions a]'bi\.. est de l’une des formes /ou /étant un entier complexe formé avec i. En particulier, suivant que les cocflicicnls a,, b,,.., seront de l’une ou de l’autre de ces deux formes, les racines des congruences caractéristiques

JJ (k’— nfr'/sEO, JJ ( k’ —/<;'■’/= o, . (moü. /<),

des substitutions correspondantes A,, B,,... satisferont ou non à la congruence

(8 (niod, /r).

.570. Or la double suite B,, A„ B^, qui, combinée à F, reproduit (1, peut être choisie de telle sorte : t” que les racines des congruences caractéristiques de deux substitutions associées satisfassent ou ne satisfassent pas il la fois à la congruence (8); a“ que parmi les couples de substitutions associées, il en existe tout au plus un pour qui ces racines n’y satisfassent pas.

I® En effet, si les racines de la congruence caractéristique de par exemple, satisfaisaient à la congruence (8), celles de la congruence caractéristique de B, n'y satisfaisant pas, on pourrait dans la construction de G remplacer la double suite B,, A3, B3 par la double suite équivalente A,, A3, B3, dans laquelle la substitution B,, qui remplace B,, aura pour congruence caractéristique la suivante :

Il (k'— 01 0,

dont les racines satisfont à la congruence (8j.

a" Si d’autre part les deux couples de substitutions B,, .\.j. B, avaient des congruences caractéristiques dont les racines ne satisfissent pas à la congruence (8), on pourrait, dans la construction de G, les remplacer par les deux suivants: .\,Aj, B,,\,, .A, B, .5383, A, B, B,, où les racines de.s congruences caractéristiques satisfont à la congruence (8).

On peut enlln supposer la double suite A,, B,, Aj, Bj choisie de telle sorte

que chacun des facteurs a,, b se réduise à 1 ou à y. Ciir soit a, = /j, par

irtt UVRE OUATRIfeME.

exemple; on pourra, dans la consiruclion de G, remplaeer la suirstilution A, par eelle-ei /"'A,, pour lai|uelle le (acleur se trouve réduit à y.

Les facteurs a,, b seront Jonc tous égaux ti i, sauf ceux J' un seul

couple, tel que a,, b,, qui pourront être égaux à i nu à J, mais seront égaux entre eux.

571 . Si a, — b,=: a, = b,= i , la réduction de A,, H,, A,, H, ii leur forme type pourra s’opérer sans introduire d'imaginaire nouvelle.

572. Soit au contraire a, =: b, = j, avec a.. = l>2= i. Dans eette liypolliésc, la réduction du faisceau G à sa forme type, telle i]uc nous l'avons indii|uée, introduirait l'imaginairey. Pour éviter cct inconvénient, nous allons reprendre les opérations avec plus do soin.

Ramenons d’abord simultanément les substitutions .\, à leurs formes eanonif|ues

Les indices de la première série que A,, A, multiplient respecti-

vement par/, 5'* seront de la forme [o|,eJ„-)- j'i |,eJ„. [oï.jE „ et i étant des fonctions des anciens indices, ayant pour coefficients tics entiers complexes formés avec i. I.a suite des indices [ i £ j'„ de la même .série que .\i, .\j multiplient par —y, 0'' sera formée des fonctions |'o£,, s]„~y i Çj e respectivement conjuguées des précédentes par rapport à y. On pourra tl’ailleurs évidemment, sans altérer l'expression des substitutions .A,. remplacer les indices d’une même suite par des fonctions linéaires des imliccs de cette même .“uite, fonctions dont les coefficients soient des entiers complexes, formés avec i et y. Il conviendra seulement d'elTectuersnr les indices des suites conjuguées par rapport à y, cl des séries conjuguées par rapport à f,y, des transformations respectivement conjuguées par rapport !i l'um' de ces imaginaires ou par rapport à toutes «leux.

575. La substitution B,, transformant .V, en A,, 5A,. remplacera en général les indices de la première série et de la suite par des fonctions de ceux de la première série et île la suite Ç,, Kl l’on peut profiter

de rindélcrmination qui reste dans le choix des indices pour faire en sorte que B, remplace chacun des indices fÇ|t)É]'„ par f|, isj'„. D’ailleurs la forme canonique imaginaire trouvée plus haut pour B, montre que son carré se réduit à l’unité. Donc Bj remplacera réciproquement i £j'„ par

DE LA RÉSOLUTION PAR HAD1L.VUX. KW

Pl spta lie b forme

Il est clair que b forme des substitutions A,, A,, IS3 ne sera pas altérée si l’on prend pour indices indépendants, au lieu de ; 000 fooi/,,,... des fonctions linéaires quelconques (à coefficients complexes] de ces memes indices, pourvu qu'on altère de b même manière les indices de chacune des suites O, I,, et qu’on fasse subir en outre aux indices des suites i, |... conjuguées de celles-là par rapport à y, des altérations conjuguées do celleslà par rapport à y. Nous allons profiter de celte indétermiri,ition pour ramener la subslitiilion B, à une forme simple.

.574. Cette substitution, échangeable à A„ H,, transforme A, en 5A,. Klle remplace donc les indices [oooj’„,..., [oo«]'„,... par des fonctions des

indices [iooi'„,..., [ioî('„, Nous allons prouver que les indices peuvent

être choi.sis de telle sorte que ces fonctions se réduisent respectivement à

(« -t- (9y ) [looj'i (a jSy ) [io£ « cl ^ étant un système de soin-

lions arbitrairement choisi parmi ceux de la congruence

(9) st' i-jj’s — 1 (inod. /;).

(Coi> au n“ IU7 b solution île celte congruence en nombres entiers réels.)

Supposons en elTct que les q indices [ooo]'„,..., lo, o, 1/ — 1 )'„ aient pu

être choisis de telle sorte, que B, les remplace par (a ■+• (5y ) (100

(a-)-(îiy)[i, O, (■/— I nous allons prouver que l’indice suivant [oo7)'„ pourra être choisi de telle sorte, que B, le remplace par (« -r jSy) [lo^jnlin effet, l’indice [ooy]'„el les suivants ayant été choisis arhilrairemcnl. soit ç, b fonction des indices [looj'p,...’, [ioi]'„,... que B, lui fait succéder : deux cas seront à distinguer:

1" Si b (onction ç, contient quelqu’un des indices [i , o, y -l- i]'p,... de rang supérieur h q+ \ , sa conjuguée par rapport à y contiendra l’un des indices 0. o, q ij'p,... conjugués de ceux-là; ce sera donc une fonction distincte des q + 1 premiers indices, et on pourra b prendre pour indice indépendant à la place de [o, o, y-(-i]o par exemple. Soit donc O, = [o, o, y (- I f, sera égale à [1 , o, y -h i J'p.

D’ailleurs b forme canAiique imaginaire trouvée plus haut pour B, montre que .son carre multiplie tous les indices par — 1. Donc B,, remplaçant (oo</)o par fi,n, y 4- ij'p, remplacera réciproquement f'.o. ÿ par — [ooyj'p, et son conjugué [o, o, y -t- 1 J'„ par — [ioyj'„.

in<i LIVRE OUATRIÈME.

Jj'lii post‘, soient c, il deux entiers arbitraires : on pourra prendre pour indire indépen<lnnl, à la placo de ooy]',, la Ibnelion

(a ?y) te - '/y)[oo </]', -e (c -I Ilj)[i>, O. 7 -4- iT.,

t|ue 11, remplace par sa conjuguée multipliée par a -i- [ij.

a” Si f, ne contient aucun des indices [i, o, 7+ ij‘„ elle rontieniira

rindice [107 car sans cela B, remplaçant les q+ 1 indices [oooj’„,,.., '^007 j'„ par des runctions de q indices seulement, son déterminant serait congru à zéro. Soit donc

«y)['«v/.-^('H- »y)(i. 0, 7 -lï,

BJ remplacera l’indice [ooyJ'„ par

Mais elle doit le multiplier par —1; d'où les relations

("I r nj]{m — |

(m H ny)(r-jy)-4-(r-i- */)(« — ]îy) = o.i '

ou, en cITectuant les calculs et égalant séparément à «les termes réels et les termes imaginaires,

(10) ni’ -e n'î-- — I ,

(11) { ni ’ «) r -r (n • ,î)i^ O,

(iz) ( n — (3) r — (ni — a) J o.

Cela posé, un pourra prendre pour indice indépendant, à la place de [007/1,, la fonction

(a + *y)|[oo7T. +(c -e </y)[o. o, 7 — 1]'. -e . . .

que B, remplace par sa conjuguée, multipliée par a -r fij, pourvu que l'on ait

(n -f bj)(m H nj)s3{a- hj) a ‘ ?,j),

r + sJ -!-(« + 3y)(c -4 (fj)^{ni + «y)(c — ./y) (niüil. /<),

d'où ^

(13) {m — x)a — (/I -+ -,S) sz(« ~ ^)<i (or a) Aësro,

(14) /• 4- (« — «I ) c — ( j3 4- (j3 — « ) c 4- (a 4- w) r/lE ü,

DE LA RÉSOLCTION PAR RADICAUX

575. On pourra Inujnur.o satisfaire à ces relations; car les (leu.v relations (i3), dont le déterminant est congru à zéro en vertu des relations (9) el (10), SC réduisent à une seulè, qui détennine le rapport de <1 à h. De même, les relations (i4) se réduisent, en vertu des relations (9), (10), (1 1 % (la) à une seule, qui détermine l'un des entiers c,- rf, en fonction de l'autre.

•Admettons donc que B, remplace en général l’indice 00s par (a + ,^y)[i(>£j',; et soit ç la fonction par laquelle elle remplace l'indice 'oieJ',; B,Bj remplacera [<>osJ‘„ par et BjB, le remplacera par

+ 1 Donc ç est égal à cette dernière. cxpre.s.sion. Donc B, rem-

place en général fo£,sj'„ par [a + jS/)[i ÇaelV. et comme son carré est égal à — I, elle remplacera réciproquement ''iê,£]'„ par (« — On

aura donc

B. = I [5, S.rï. (« -t- H- ?.. cT. |.

Nous prendrons alternativement pour indices indépendants les quantités f £, ^5... t]'g ou les quantités [Ç, Ej... eJ„ dont elles dépendent (57"2) et qui ne contiennent plus d’autre imaginaire que i; rapportées à ces nouveaux indices, .A,. Bj ne changeront pas de forme: mais A,, B, deviendront