Récapitulant ce qui précède, on a ce théorème

TuéoaèHE. — St l'on n'a pas à la fois /)''=3(mod. 4) c/ ir = a, on pourra, sans altérer l'expression des substitutions de F, et sans introduire d'imaginaire nouvelle, mettre A,, B,, .V,, Bj .A„ B, sous la forme

Si l'on a />''s=3(mod. 4) et s = a, .A,, Bj,..., conserveront encore la forme (i5): mais .A,, B, auront, suivant les cas, soit la forme ci-dessus, soit celle-ci t

a, j5 étant un système de solutions [arbitrairement choisi) de la congruence

1 (mod./)).

En prenant les expressions [?,£,. ..s/„= [o?,.. . tj, -t-y 5‘' (1 i o /'""c

ns LIVRE yUATRlEME.

mtUces intié/ieiulaiils, on n altérera pas la forme de Aj, Ilj...., cl Von réduira A|, H, à la forme suicanlc

Vin de la réduction.

577. Soit iiiüiiituiianl V une substitution queluom|Uc île I'; les suli.stitutions .V|, H',, A',, B'j,... translbrrnécs de .A,, B,, A,, Bj,... par <>, appartenant au faisceau G, seront do la furine ;

/,A'; ii;. A". it';'<..., g, A;'.»-;'. V',-b;'...„/,A"'ii*';a*'.b;'.... ^.a;. b;, v,. ii,'

/'• O" /j* Si"" désignant des substitutions de F, qui multiplient respectivement les indices de la /■-+- d'"'' série par la [luis.sance // des facteurs

Si' fit Si transf'urmées satisfont d’ailleurs aux conditions suivantes :

i“ 1-0 faisceau G = (F, .A',, B,, Aj, B,,...) a toutes ses substitutions de la tonne /A’'B’,' A j'B'ï...; son transforme (F, .A',, B',, A,, B’,,...) a ses substitutions de la forme /'.Ai'’B,'' A/'B/'...; mais ces deux faisceaux sont iden-

ti<|ucs; donc, quels que soient f, a,. jS,, ot„ on pourra déterminer

V|, a'j, le manière à satisfaire à l'identité

('«) /'A',’iR.>....=r/A^Bi'....

.Substituons dans le premier membre les valeurs de A',, B’,,...; faisons ensuite passer en avant les facteurs A,, puis les facteurs B,, etc., en remarquant que les substitutions .\,, B sont toutes échangeables entre elles,

aux F près; la relation (i8) prendra la forme

d'où

y- V-t',.. . . .«/WB; . . .,

-• é,j\ -i- .. h\ X, -h rf'.r, -f- . . . 3 ( inod. r:).

reialions (|ui ne pourront être toujours satisfaites que si l'on a ' c. ... I

(ii() t/'i il\ ... (iiioil. r).

2" On a entre les substitutions 0, .A,, B,,... l'égalité

A:' Bp.. . Av B’, . . .-r 5' '.-•.r.+"-AvBv... V.' IL;...,

DK LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 13!t

qui devra subsister entre leurs Iranslbniiées 6', A', , II’,.... par i?. Or soit = on aura 5' = 5'’’. D’autre part, posons