Considérons maintenant la substitution linéaire

\ =r I x„ V,,. . . «'.X, -t- c, V, -e . . , fc',x, -t- </', )■, -e | (mort. r).

La relation (t<)) monli'e que son déterminant n'est pas congru à zéro; lu relation (ai) qu’elle est abélicnne (217 , et multiplie par/j'' les exposants d’érbange des sub.siitutions

AV S'..v ■ . = I X,, . X, -r a,, .V. -t- j5 \.

lin outre, si s est égal à 2, et /*' congru ii 'i (nfod./|;. l’iiue des deux relations (a3j, (a4) sera satisfaite. Si c’est In première, V sera livpoabélienne de première espèce; car, en substituant dans la relation (a'i) les valeurs de X|, Y,,... données par les relations (20) et égalant les coellieienls des diverses variables x,, v,,..., on obtient iminédiateinent, sauf le .signe de quelques termes (lequel est indilTércnt par rapport au module a), les relations qui caractérisent les substitutions livpoabélieunes de première espèce f2()2j. On voit de même que si la relation (a.'i) est satisfaite, V sera bvpoabélienne de seconde espèce.