Réciproquement, soit
\=|x„ «’.x, c. b',x, -t- J',r, + I (mort, r),
une substitution abélicnne (bvpoabélienne) qui multiplie les exposants d’érbange par pf'. Cherchons à déterminer une substitution eorrélative qui
transforme A,, R en /, A^-B/..., .\(-B^' ....... , /,, g,.... étant des
substitutions de E.
DR U RÉSOLUTION PAR RADICAUX, i" Soit d'aborf] n premier impair: on aura V = PfQ, P étant la sulislilu-
lion qui multiplie ar,, r,,... par p, sans altérer et Q une suh.sti-
lution ahélienne, qui u'altère plus les exposants «l’écliange, et qui, par suite, dérive des substitutions L,,, M,,, N^,, du n“ 220. Or les substitulionsT,
lf«
ont respeclivcmcnl pour corrélatives P, L^, M,», N,,.,; et la substitution V', qui en dérive de la même manière que V dérive de P, L,,, M,,, N^.,, aura évidemment V pour rorrélalive.
2° Soit R =3, (mod.4). I.a substitution corrélalive de L^,
aura la forme
A cela près, rien ne sera changé au raisonnement.
3® Soit7ï=2, />■*— '3(mod.4) et supposons que A,, B, soient de la forme (i5): Vêtant hypoabéliennc de première espèce, sera dérivée des seules substitutions M,,, N,,., (263); et n"* le sera des substitutions corrélatives Xp..,.
4" Enfin, si .A, et H, ont la forme (17), V sera bypoabélienne de seconde espèce, et dérivée des substitutions I,,, M,, U, et de celles des substitutions M^, pour lesquelles p cl v sont >i (278-281). Aux substitutions L,, M,, U on pourra faire correspondre celles-ci :
o=iu.î.-i]'. ('+y6'-)[5.o -r.i.
•m,= I [I iSysL )[Ç, -e ., ï >•. 1.
Aux autres substitutions .M,,, N,,,, on pourra faire correspondre des substitutions oiu^, ayant respectivement les formes (26) et (27). Cela posé, la substitution ■<?, dérivée des substitutions OR,, o, OR^, -Aiij,,, de la même manière que V dérive de L,, M,, U, >1^, N,,,, aura V pour corrélalive.
580. La substitution V>, que nous venons de déterminer, n'est pas la seule substitution de la forme iF^qui ait V pour corrélative; mais il est aisé do déterminer toutes les substitutions qui jouissent de celte propriété.
I4i UVRE Ql ATKlfcME.
Soit i l’une des siibsliluliuns elierdtées : on aura S = élanl une
nouvelle substitution de la forme et qui Iransibinie A,, B en /'A,,
^'13 g',... étant des substitutions de F. Mais ces transfonnées
ont respectivement les mêmes caractéristiques que A,, B,,... : donc g',... se réduisent à des puissances de 5. Soient /'= 6^', g’’= 5"*’,...; on aura i, = A*' B’,'... Zj, Zj étant uiic substitution de la forme et écbanjteabic à A|, B,...., çe (|ui exige évidemment qu’elle soit de la forme
où les divers eocflicicnts représentés par le sjmbole général sont des entiers complexes, formés avec i, et indépendants de |,, |a
Si chaque suite ne contenait qu’un Indice, le dernier indicateur c ne serait susceptible (|iie d’une seule valeur, et pourrait être supprimé sans inconvénient appartiendrait alors au faisceau F; mais, pour plus de généralité, nous continuerons de supposer que chaque suite contient a' indices, u' étant
(juant à la substitution VA*' B’,'..., elle est le produit de substitutions partielles dont l’une est égale à ‘î*. les autres étant de la forme
(to)
où les coefficients sont des entiers complexes indépendants de e.
La substitution 2 est donc le produit de par deux autres substitutions, appartenant respectivement aux formes » et
581. Nous avons vu (557) que le groupe F résulte do la combinai.son d’une substitution de la forme ‘JC^^avcc un groupe partiel I" formé de substitutions qui ne iléplacent pas les séries. D’après ce qui précède, tin aura i/s'C', «' et G' étant respectivement des formes s et F; quant anx substitutions de F, elles seront de la forme se, et pourront se réduire à la forme ,s ou à la forme F, si l’une des substitutions composantes appartient au faisceau F, formé des substitutions communes à ces deux formes.
F'ormons l’échelle de substitutions génératrice du groupe F', de telle sorte que les substitutions du faisceau F soient les premières introduites ' 52Gj. Soit
J",, - • S. Fl S« F*
DE LA HfSOl.üTION PAR RADM AUX. 1K<
tclli! ciliellc. stilisfilitliom P,, considérées isolèmem,
apparliendronl à F.
Kn efffi, nous allons prouver que le groupe
est l'csuinhic; comme il eontieni F, qui esl résoluble et général, il se con- Ibnilra avec lui. Il suffit pour cela de faire voir (|uc cliacune des snb.slitu-
linns s c, P„, 'Ts'G'est permutable au groupe dérivé
des précédentes; nous allons le montrer, par exemple, pour la dernière ilc ces substitutions. I,es substitutions s, P,,..., s„P„, formant
Fccliclle d’un groupe résoluble, on aura par exemple
f'„ étant une substitution de F. On en déduit, en remarquant que les .substitutions de la forme G sont échangeables à celles de la forme .s.
Or le premier membre de cette égalité est de la forme F; le second est de la forme s : d’ailleurs les seules substitutions communes à ces deux formes sont celles de F; donc les deux substitutions ci-dessu.s appartiennent à F. Soit leur valeur commune : les transformées de P„ et de s„ par ‘f*P'*' seront respectivement égalesà p;”...pr'/J| et ; elles appartiendront donc au groupe dérivé de/,./, s G P,„ ce qu’il fal-
lait démontrer.
.Î82. /.c groupe F’ contient des substitutions de la forme P. autres que celles de F. Supposons en cITet qu’il en soit autrement; nous allons voir, comme au
n" 558, que le groupe F, exclusivement dérive des substitutions F, s
s„, <f*s'G' ne peut être général.
Soient f,. /,,... les substitutions île F; P,/„, G, /,,...; P,/„, G,/,,...;... relies de la forme p. Les groupes F„, F transformé-s de F par les substitutions F,. G .seront respectivement dérivés des substitutions F, S
•S,, auxquelles les transformantes sont échangeables, jointes aux transformées '1*-s'G,,/j,... de la substitution î^s'G'.
Ola posé, si l'on a P,, = p,,. on obtiendra un groupe résoluble plus général que F, en lui adjoignant la substitution G, Pp', qui lui est permutable (558). Si au contraire toutes les substitutions P,., G, .... sont distinctes,
IH LIVHK Ol^ATRltMK.
l'une d’elles, G,, par exemple, se réduira à l'unilc. Soil alors \V une sulisiitiilion de la forme G, qui n'apparlienne pas à F, et dont les eoeffieients soient réels : on pourra adjoindre à F la suljslilution G,\Vf7‘ , ()ui est éelian- ;,'(;able à toutes ses substitutions.
58;j. I.e groupe formé par celles des substitutions de F qui sont de la forme C est évideniinenl permutable à toutes les substitutions de F. 0« /xmira €lanc (biS) y déterminer un faisceau is',plus général que ï, permnla- Ide a«j; siihslilulitms de F, et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux K prés. .Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le choisirons de telle sorte que son ordre soit minimum. Raisonnant comme précédemment, nous verrons successivement :
i" Que G' résulte de la combinaison de F avec une double si/iile A', , If, ....; A', , R7 dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres, sauf à son assiKiée, à laquelle elle est bée par une relation de la forme
6 désignant la substitution de F qui multiplie les indices de la r-v i"'”' série par O'i' : le facteur 6' étant une racine de la congruence
.'Si) I (inoij. p),
et lî' un diviseur premier de p'’ — i (.559-561 ).
a" Que les p' indices qui se déduisent l'un de l'autre par la rariation de r imlicateur c peuvent être remplacés par d'autres indices indépendants, qui se partagent en suites, en réunissant ensemble les indices, en nombre
p"= que A' A',, multiplient par les mêmes facteurs : et quVn choi-
,'issant convenablement les nouveau.r indices, et remplaçant i indicateur unique i par ff' indicateurs ri,, n,,... rariables de. o tt is‘ — t, et un indicateur (' variable de O tt p" — I, on pourra mettre les substitutions A',, B',,..., .sous ta forme suivante :
à moins que l'on n’ait p'::z.3 (mod. /|) etn'= a, auquelcas .A', et B’, fmurrout avoir, au lieu de la forme précédente, celle-ci :
.HJ,.
DE I.A HÊS0LUT10N l'AH RADICAVX. li.‘i
( Voir les n" 562-576.) Il esl clair d’ailleurs qu'on peut ramener ces substitutions aux formes types ci-dessus en opérant séparément, et de la même manière, sur cliacune îles suites d'indices qui correspohdent aux divers systèmes de valeurs de £,, En agissant ainsi, les expressions des substi-
tutions K, .A,, B,,..., s,, s„... nesernnt évidemment pas altérées. Il faudra seulement y écrire [£, , à la place de
Ü" Qu'à chaque substitution de F, qui transforme A',, B',,... en /;.\,--b;'..., é'. .A/'Bf. correspond une substitution
appartenant au groupe abéiien (et dans certains cas à i'un des groupes hypo~ abèhens) de degré (577-578).
5" Que chacune des substitutions F,, Fj,..., E' est le produit de deux substitutions partielles, ayant les formes suieantes (579-.5S0) :
Va^.[5, .
5® Que les deux substitutions partielles dont c,, Gj,... sont le produit appartiennent au groupe F (.581); que si F contiendra des substitutions
de la forme ("i^), autres que celles du faisceau F (582); que parmi ces substitions on pourra déterminer un second faisceau G", analogue à Vt et à IF; etc.
584. Supposons, pour fixer les idées, que u.“ se réduise à l’unité. Les sub- ' stiliitionsde la forme (35) se réduiront à celles de F.
Soient maintenant une substitution quelconque de F : on pourra
lui déterminer, comme aux n'”578 et 583, deux substitutions corrélatives V, V', appartenant respectivement aux groupes abéliens (bypoabéliens , de degrés tt”, rt'”', et y multipliant les exposants d’écbange par^(mod. z}. |>f(mod. n'). hes deux groupes A, respectivement formés par l' ensénible des
substitutions \ et par l'ensemble des substitutions étant isomorpbes à F. seront résolubles. De plus, ils seront primaires.
En effet, si A, par exemple, n’était pas primaire, il existerait des fonctions ç, f,... des indices .r,, y, en nombre moindre que ces indices, et
que cbaqiie substitution de A remplacerait par des fonctions linéaires de 5,
4»! LIVRE yUATIUÊME.
9' CellfS (les substitutions de la l'urinc
.IVlfcî'. . 1 J-,, K.- . . X, 4- «I, V. 3ii- • • |.
(lui n'altërent pas ces fonctions, formeraient un faisceau Ü permutable à toutes les substitulions de A. Les substitutions de T', permutant entre elles l((s substilution.s aux F près, de la même manière que celles de A
permutent les substitutions seraient pcrmulablcs au faisceau dé-
rivé de F et des substitutions formées avec A,, B,,..., comme celles de I)
le sont avec .1,, ai,, Ce faisceau étant contenu dans G, et moins général
(jiie lui, un tel résultat est inadmissible (55B).
585. Héciprmiuement, .soient I., L' deux groupes ré.solubles et primaires', lespeclivcmcnl contenus dans les groupes abéliens (liypoabéliens) de degrés n”, .Associons leurs substitutions de toutes les manières passibles, de telle sorte que deux substitutions associées V, V' multiplient les exposants d’écbange par des facteurs respectivement congrus à une même puissance de/». Soient (mod. ;r), /)f(mod. k'J ces facteurs. \ chaque systetne de substitutions associées, tel que V, V', on pourra faire correspondre tine substitution ■(;' de la forme dont V, V' soient les corrélatives, /j? groupe Y formé par les substitulions ainsi déterminées, jointes aux substitutions F, A, , B A', . B’, sera résoluble.
Kii effet, soit A le groupe fortné par celles des substitutions de L qui sont les corrélatives de celles de F. Ce groupe, étant contenu dans L, sera résoluble (521 ). Il est d'ailleurs isomorphe à F: ce dernier groupe sera donc résoluble, si le groupe F, formé par celles de ses substitutions qui ont pour première corrélative l’unité est lui-même résoluble (525). Or soit A’, le groupe formé parcelles des substitutions de L' (|ui sont les corrélatives de celles de F,. Ce groupe, étant contenu dans L', sera résoluble (521 ). Il est d’ailleurs isomorphe à F,: ce dernier groupe sera donc riisoluble, si le groupe Fj formé par celles de ses substitutions (jui ont leur seconde corrélative égale à l’unité est lui-méme résoluble. Or soit une substitution
de F,. Ses corrélatives se réduisant à l'unité, le facteur />*■' par lequel elles mnliiplient les exposants d’écbange se réduit à i (mod. ît) et à 1 (mod. rt').
Cela posé, la substitution tP' transforme .\,, B, A',, B',,... en .A'j'^ = A,,
B, A , B' : elle aura donc l’unité pour chacune de ses corrélatives. Il en sera donc de même de donc transformera A,, B,
A(. B" en/, A,, g, B /,’ .V,. g^'.B', /„ g ,/,’ , g étant
des substitutions de F. Pour que ces transformées aient mêmes caractéri.s-
DE LA KÈSOLLTION PAH HADICALX. U7
ii(|ues que A,, R,,.. , A’,, B', .... il I'huI que/,, g,,... sc réduisent » des pnissanres de 0, telles (|ue 0^<, (580) et/| , g',,... à des puissances de 5'.
telles que 0'*', 5'"*’’ Ün en déduit = A"' BV--- A'*' B', / étant
une substitution de la forme échangeable à A,, B A',, B', et <|ui.
par suite, appartient à F.
Or il est clair que le groupe (F, A,, B,,..., A',. B',,...) est résoluble, et permutable aux substitutions telles que T^', (|ui d’ailleurs sont érbangeablcs entre elles. Le groupe F,, dérivé de la combinaison de ces diverses subslilutions, est donc résoluble.
586. Il semble au premier abord qu’il y ait une certaine indétermination dans la manière de construire le groupe F; car on peut déterminer de diverses manières une substitution ayant pour corrélatives deux substitutions associées quelconques, telles que V, V'. .Mais de quelque manière qu'on Iri détermine, le groupe F sera le même. Soient en effet V, é>, deux substrtulions ayant chacune V, V' pour corrélatives. On aura V, =V^,, étant une substitution de forme -.j^, ayant pour corrélatives l'unité, et, par suite, dérivée de F, A|. B A',, B',,... (585). Le grôupc F contenant dès le début
de la construction ces dernières substitutions, il est indifférent de leur adjoindre'ensuite la substitution Voit la substitution V>, : car, dans l’un et l’autre ras, F contiendra V* et
.587. On voit par ce qui précédé que la construction du groupe F revient à celle lies groupes auxiliaires L, L'. .Aux diverses manières de déterminer ces groupes correspondent pour F autant de groupes dilTérents. D'ailleurs, notre recberclie étant bornée aux groupes les [dus généraux de la forme F, on devra supposer que L, L' sont les groupes les plus généraux de leur espèce (“). Leur détermination conduit donc au problème C.
