Plaçons ici quelques définitions

Une substitution abélicnne sera dite abèlienne propre, si elle n'altère pa.s les exposants d’échange.

F) On serait en droit d'exiger que non-seulement L, t.', mais encore A, A' fu.<senl primaires (o84). Mais cello rondltioD n'est pas nreessaire i la réeolutiilité du groujK- f. En la m'-gligeanl, nous n'avons donc à craindre d'autre inconvénient que d'obtenir |H>ur I' des groupes non généraux, ou formant double emploi avec d'autres. Nous indiquerons plus loin le moyen île parer avec rertilude A ce défaut.

IW LIVRE (Jl'.VI RILME.

Si n = 2, toule sul>slitiiiion abélicnno, et nulainmcnt tonte substiuiiioii liypoabéheDne, siéra cvidemiiietit abéKennc propre.

Deux groupes contenus dans le même groupe abélicn seront dits senthlabtcs [improprement semblables), si l’on peut les transformer l’un dans l'autre par des substitutions abélieunes propres (impropres).

58il. 0/1 obtiendra le m/me groupe 1’, à la notation près, en employant pour groupes auxiliaires, à la place de L (ou de L'), l'un quelconque L, des groupes qui lui sont semblables.

Soient en effet F, .\,, B, ,V, , B', a,,..., G G„ les

substitutions de F ; i , S S„, S' les substitutions correspondantes de L;

S la substitution abélienne propre qui transforme 1. en f,,, « sa corredative, construite comme au n“579. Le groupe I',, construit à l’aide du groupe L,,

aura pour substitutions F, A,, B,,..., A',, B’,,..., G,,...,

G„, G'. D’ailleurs s est permutable au faisceau F, A,, B et échangeable à .V,, B',,... ainsi qu’à G G», G'. Donc le groupe transformé de I'

par s n’est autre que F,. On pourra donc, par un simple changement d’indices indépendants, réduire les substitutions <le F à la forme de celles de I’,. et réciproquement (172).

.'V90. On pourra déterminer comme il suit l’ordre de F.

Soient g une racine primitive de la congruence g’^~'^i (mod. n); V,. Vj,... les substitutions de L: g’‘, g\-.. les facteurs par lesquels elles multiplient les exposants d’échange : L contient la substitution W = V"’...,

qui les multiplie par . Cela posé, on pourra profiter des indé-

terminées m,, nij,... pour que a, m, -i- a, m, -h . . . se réduise à d, jilus

grand commun diviseur de n — i . Supposons a,=de,, a,=de

r. — i ~ de; on aura V, — \V'‘ S,, V, = W'-Sj,..-, S,, Sj,... étant des substitutions de L qui soient abéliennes propres. Suit maintenant c un entier quelconque compris entre o et e — i . A chaque substitution S, contenue dans L, et qui n’altère pas les exposants d’écbange, correspondra une autre substitution W‘S, qui les multiplie par cfréeiproqucment. Soit donc w l’ordre de L; celui du groupe partiel formé par celles de ses substitutions

, f.» dfe

qui sont abeliennes propres, sera — = •

Le nombre que nous appelleron.s VexposanI du groupe L, est au plus égal à 2. En effet, la substitution qui multiplie tous les indices par g, et les exposants d’échange parg^, étant échangeable à toute substitution linéaire.

riE i.v RÉsoi.imoN par raok acx. im

esl conicmie itan$ L, s^nns quoi on poui'rail l'adjolmlrc à ce groupe, pour foriiier un groupe .‘inaluguc mais plus général, ce qui esl contraire à notre liypollièsc.

On voit (le uièiiic que (lé.'ignant une racine primitive de la coiigruonce g'"' ' - I ( mod. r'), et d' un entier au plus égal à 2, les sulislitutions de I.' seront de la forme \V'‘'S', , \V' étant une subslilulion de 1/ (|ui multiplie les exposants d’échange par g"^' , et S', une suhstilution ahélienne propre. L’ordre du groupe partiel formé par ces dernières suhsliiulious sera ^ ■ «' étant l’ordre de I.'.

.591. Soient maintenant = une substitution qurlconi|uc de P. \V‘S,, \V'‘ S', ses corrélatives; elles multiplieront les exposants d’échange par/;f; mais elles les multiplient parg*'*, on aura donc

(3b) /» = "-*(1110(1. ît) 3 (mod. a').

Récipro(]uemcnt, soient r, P trois entiers quelcon(|ucs qui satisfassent aux relations S,, S', deux substitutions abélicnnes propres quelcon-

ques prises dans les groupes L. I/, une snbstilulion quelconque de la forme ^ , cl ayant l’unité pour chacune de scs corrélatives : le groupe P contiendra les substitutions de la forme V^,, (|tii ont pour corrélatives \V‘S|. \V'‘'S',. Soient donc X- le nombre des valeurs de (s -'mod. v) qui permettent de satisfaire:) uncielalion telle que (3G),/lc nombre de manières de choisir la substitution S,, /' le nombre île manières de choisir la substitution S',, q le nombre de manières de choisir la substitution ; l’ordre tJ de P sera kll'q.

Or nous venons de trouver / = -1^, /' = !Î.—-. D'autre part, la sub-

slitulion =/A*' A *' H/'... a évidemment {/»''— 1) a’ s"’’ formes distinctes correspondant aux divers systèmes de valeurs de/", 11,,...', a',,

fi\ Enfin soient les diverses puissances de />qui sont congrues

à la fois à des puissances de suivant le module n et à des pui.ssances de g'’’*' (mod. rr') : il est clair que sera l’une de ces pui.ssances. On peut d’ailleurs disposer des indéterminées /«,, le manière à ré-

duire l'cxpre.ssion précédente à t? étant le plus grand commun diviseur de

|0,,p2 D'ailleurs !? divise v; car/P étant congru à i^^**‘(mod. n) (561)

et à is^"*(mod. n') (58.3), v est l’un des nombres de la suite/»,, /Sj,

4;i« LIVRE QUATRIÈME

),t‘s diverses valeurs de i» qui pcrmellenl de saiisfaire aux rclaiions de la forme (36) seront <lonc les sui^anles : o. â ~ ')

On aura donc i = d’où

V, . .. ni. . iifi't.tl’W

ÜK l..\ RÉSOLUTION PAR BAniCAOX.

LSI