RÉDUCTION DU PROBLÈME C

S I. — Groupes décomposabi.es.

502. Soit I. un groupe résolulile, primaire cl général contenu dans le groupe aliélien (dans l’un des groupes hypoaliélicns) de degré Il résulte de la eonihinaison d'une suhsiitulion \V qui multiplie les exposants d’éeliange par g‘ [g étant une racine primitive de la congruence ^ i (mod./i), et d étant an plus égal à a] avec des substitutions altéliennes propres (500). Le groupe A formé par les substitutions abéliennes propres contenues dans I. est évidemment permutable aux substitutions de b; il ne peut d’ailleurs se réduire à la seule substitution i. En effet, si /J = a, il se confond avec b; et si /> > a, b contient la substitution g qui multiplie tous

les indices par ^(590), substitution dont la puissance abélienne

propre et multiplie tous les indires par — i.

595. bc groupe b sera dit décomposahk, si n étant égal a /»>, on peut déterminer X systèmes de am fonctions linéaires des indices, réelles et distinctes, et telles ; i" qu’en les prenant pour indices indépendants les exposants d’échange des substitutions correspondantes à deux indices de systèmes dilTérenls soient tous congrus h zéro; a® que chaque substitution de b remplace les indices de chaque système par des fonctions linéaires des indices d'un même système. . *

bc groupe b étant supposé décomposable, il peut exister plusieurs manières d'y déterminer des systèmes de fonctions joui.s.sant des propriétés cidessus : nous choisirons, pour y appli(|uer nos raisonnements, une de celles où le nombre X des systèmes est nufiùmim.

Soient x„, y„,...;...; x„ y,,...;... les amX fonctions considérées, l’indicateur r variant d’un système à l'autre, entre les limites o et X — i; Cj.,, C,,,. C^,, Cr,, les substitutions correspondantes, bc déterminant formé par leurs exposants d’échange mutuels ne peut être congru à zéro.

LIVRK OUATRltJIE.

Mais (Cj.Cj,),... étant congrus à zéro, par liypollicsc, cc détiTniinanl se réiluira an proiiuitdes déterminants partiels.

it:,.c.i ...

Donc aucun de ces déterminants partiels ne sera congru h zéro.

59i. Clia(|uc substitution de L sera le produit <le deux substitutions partielles N et P, dont la première mnplacc les indices de cba<|ue système par les indices correspondants d'un antre système, et dont la seconde remplace les indices de cba(|ue système par des fonctions de ces mêmes indices f.îlô;.

Ici deux casseront à distinguer, suivant que les substitutions de A se réduiront ou ne se réduiront pas toutes h la forme P.

593. PnEMiKa CAS. — Ce cas ne /leiil se présenter si /> = a, ni si <i= a. (jii si p = i, 1, se confond avec A ; et si /> > 2, mais rf = 2, L dérive de la combinaison de A avec la substitution ", laquelle est évi<lemmcnt de la forme P (590). Si donc les substitutions de A étaient de cette forme, aucune snb.stitiition de I. ne déplacerait les systèmes, et L ne serait pas primaire (51 1).

Soit donc d=.\\ on aura X= 2. Soient en effet un système ((nelconque, le système que \V lui fait succéder, celui qu’elle fait succéder à i,. I.a substitution \V’ fait succéder 1, à i„. Mais on a W’ = S étant une nouvelle substitution de L, i|ui sera abélienne propre, et par suite de la forme P. Doue W’ sera lui-méme de celte forme, et par suite ne déplacera pas les systèmes. Donc .se confond avec Donc les substitutions A et W, dont L est dérivé, permutent exclusivement entre eux les deux systèmes ï.,, i,. Si donc il y avait d'autres systèmes que ces deux-là, I. ne serait pas primaire (311).

596. Une substitution queh’onquc /, prise dans le groupe A, est le produit de deux substitutions partielles /,, /, opérées respectivement sur les indices des deux svstèmes et i,. Chacune de ces substitutions partielles

sera abélienne propre. Car par exemple, transforme Cj.,, C.j.,, Cj......

en substitutions telles que I) = C). C^.,. . . , D' = (’,;,(^.. C^,, C^,,.... .Mais la substitution /transforme également C,,, C^,,... en D, D',...; et comme elle appartient à A, D, D',... auront mêmes exposants d'écbange mutuels

<|ue Cj., D’autre part, les exposants d’échange de C,,, C,.,... avec

tl,.»--- étant congrus à zéro, par liypothèse, il en sera de même de

DE l,A RfcàOIXTIOX PAR RADK’.ALX. » 4o:i

rcux lie D, D',... avee les ini-mes substilutions. Enfin /,, transformant IV,'”- l'ii flles-inêmes, n’altère |ias leurs exposants iréeliange mutuels. Dune /, est abélienne propre.

Cela pose, soient /„/(./„' /I •••• dkenes substilutions de A : eon-

tiendra chacune des substitutions partielbs ..... On voit en

effet , eomme au n" 547, que le groupe dérivé de la eonibinaison de I. avei: ees substilutions partielles est résoluble. D'ailleurs ses substitutions sont aliélietines. Enfin il serait, contre l'iiypotbèse, plus général que I., si f„ f 'n ••”>/i'/i •••• n'étaient pas eontenues dans I., et par suite dans A.

597. Le choix des indices indépendants j,,...; .t,, v présente un

certain arbitraire. IVenons en effet pour indices indépendants, à la placide a-,, V,,... par exempte, des fonctions quelconques s, «,... de ces indices, l.es substilutions (V, IV...- correspondantes à ces nouveaux indices seront de la forme C^Q...., et, par suite, auront des exposants d’ccbangc congrus à zéro avec C^.,, En outre, il est clair qu’après ce cbangement d’in-

dires, cbaque substitution de I. fera encore succéder aux indices de chaque système des fonctions des 'indices d'un tnéme système. Ees deux propriétés fondamentales du n" 593 seront donc conservées.

Ee choix des indices indépendants restant arbitraire dans le premier système, prenons pour indices indépendants dans le second système les fonctions X,, y,,... que la substitution \V fait succéder à x„. y, Cette sub-

stitution remplaçant respeetivement x,, y,,... par des fonctions de x„. y, on pourra la mettre sous la forme

x„ y„ ■ . - fiT' <? ' x„ y„ . . . ), g- i x„ y„ .

Mais E, contenant g et AV, contient g~' AV’, et cette substitution, étant abélienne propre, appartient à .V; chacun des deux facteurs dont elle est le produit appartiendra également à .V; et E, résultant de la eonibinaison de A avec AA\ résultera également de la combinaison de .V avec

>v =/,“' AV = I x„ 1-, x„ y x„ y„ . . . , gx„ gy„ . . . | .

(Jitant au groupe .A, il résulte de la combinaison des deux groupes par-

On en déduit

t.-.» , UVKE OUATOItME.

liels A,, A,, respcctiveniont fornics des subslilulions/,./ô el des substitutions fi,f\ D’iiillciirs X transforme évidcinincnt ces deux groupes

l’un dans l’antre. Donc I. résulte de la combinaison de ,\ avec un seul de ces groupes, tel que

Remarquons enfin que la substitution X. qui transforme

C,., C,,,..., C,,, C,,,... en gT, , gC^,, . . . , C,., C,,,...

multipliant les exposants d'écbange par g, elia(|uc élément du premier déterminant partiel «lu n" .593 sera égal à l’élément correspondant du second, multiplié par g. Il sulfil donc que le premier déterminant ne soit pas congru à zéro pour que l’autre ne le soit pas non plus.

598. Réciproquement, soient I,' un groupe résoluble et contenu dans le groupe abélien de degré O' son ordre; d' son exposant: A' le groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui sont abélicnnes propres; soient enfin

I x„ y„ ... a.r. -I- jî.r, -t- . . . . *' x, -t- |

les substitutions de A'. On pourra construire ainsi qu’il suit un groupe ré- .soluble L, contenu dans le groupe abélien de degré p"".

Kerivons à la .suite des indices r,, v«.... d’autres indices en nombre égal,

.r,, et supposons que les exposants d’échange des substitutions Q, ,

avec (ij,, (y..... .soient congrus à zéro, et que leurs expo.sants d’écbange mutuels soient égaux à ceux des substitutions Cj.,, C,.,... respectivement multipliés par g~' . Le déterminant des exposants d’échange des

substitutions (’.j.,, Cj.,, C,,,..., étant le produit de deux déterminants

partiels, égaux à un facteur constant près, et dont le premier u’est pas congru à zéro, ne, sera pas congru à zéro. Cela posé, le groupe formé des substitutions

^ •» ,Vi» • • ♦ ^if ^1» « • •

jointes à la substitution

X= 1 x„y„... x„y gx„ |,

forme un groupe de substitutions abéliennes : car les substitutions de A, sont abéliennes propres, et X multiplie les exposants d’échange par g. &>

DE LA KÉ?f>LmOS PAR RADILAUX. Lk'.

groupe csl résoluble. Eu efl'et, X Iranslurmc en un groupe A, formé «les subslitu(ion.s

r„ n, ... XX, -h 3 P, s- . . . , x‘x, + -P • 1

Or A', étant contenu clans I/, est rc'solubic. Scs isomorphes A,, A, le seront égnlement Mais leurs substitutions sont écbangeablccs. Le

groupe ( A„, .V,) sera donc résoluble (327); et en lui adjoignant ,\, (|iii lui est permutable, on aura encore un groupe résoluble.

L'ordre O du groupe I. est égal à ip — i)ü, Q étant l'ordre du groupe partiel A furiné par celles de scs substitutions qui sont abéliennes propr<‘s (590). Ces dernières substitutions dérivent de la combinaison de A, et de avec .X'’"'. .Mais X'’"'. multipliant cliaquc indice par — i , est le produit de deux substitutions partielles, multipliant respeetivement par — i les iii-

iliees x„, v„,... et les indices x,, y et qui appartiennent respectivement

à ;V, et à A|. Dune .V se réduit h (A„, .V,) et contiendra IV’ substitutions, 11’ étant l'ordre de A'. On a d’ailleurs

il'iV

1! = — ^ - , (I ou O =

590. Pour que le groupe L construit romme il vient d’étre indiqué soit général, on devra naturellement prendre L' aussi général que possible dans son espèce. Mais, de plus, d' doit être égal à a. Car supposons que L' contint une substitution S' qui multipliât les exposants «l’échange par g. Cette substitution étant permutable à A', la substitution S, qui altère les indices ■T„, r„,... de la même; manière que S', et qui en outre altère de la même

manière les indices x,, ..serait permutable à cbaeun des groupes A„

A, et échangeable à .\. Elle serait d’ailleurs abélienne, car elle multiplie tous les exposants d’échange par g. On pourrait donc l’adjoindre au groupe L, et obtenir ainsi un groupe plus général, L ne contenant évidemment aucune substitution qui multiplie les exposants d’échange par ^ sans permuter les deux systèmes,

La détermination du groupe L se trouve ainsi ramenée à celle du groupe L'. Ce dernier peut être lui-même décomposable; mais comme d' est égal à a, on ne pourra retomber sur le premier cas de décomposabilité que nous venons de discuter.

600. Secoxd cas. — Supposons maintenant que le groupe L ne soit pas

IM UVBE QUATRlIiME.

clpi’oniposable do la façon indiquée ci-dessus. Il pourra l'étre d'une seconde inanière, qui nous reste à discuter.

Soient N'P, N"?',,... les sulisiitutinns de 1., N', N',... et F', P',. . clani respectivement des formes N et P (5!)f). Les déplacements opérés sur les ), systèmes par les .substitutions N', N",... forment un groupe A, résoluble et primitif (.546). Donc X c.st une puissjuice il’un nombre premier ir. Soit, pour liver les idées, X = 7r’. Remplaçant l'indicateur unique r par deux indicateurs ç, >!, variables de o à r — i, A résultera (.533 cl 546) de la combinaison :

t° D’un faisceau E du substitutions remplaçant le système (|, t;) par le système (Ç -t- », r, -h fi): les constantes », p, variables d'une substitution à l'autre, prenant chacune toute la suite des valeurs o t: — i (mod.?:);

2" D'un groupe H. dont les substitutions le remplacent par le système (a%-h br,, a'S-h h'r,), a, b, a', b' étant des entiers constants pour une même substitution.