Soient N, P,, NjPj,... les substitutions de A

N. =r 1 .... art,, yj, I,-'.

les déplacements qu'elles font subir aux systèmes. Le groupe /orme fuir les siibsli/iilions N,, N,,... contiendra au moins une substitution de E autre que l'unité.

En effet, A contient, par bypotbèso, une substitution N, P, (jui déplace les systèmes; la substitution correspondante N, ne se réduira pas ,5 l'unité. Si elle est échangeable è toutes les substitutions de E, on aura a, ■=//,= i, b, =a'| = O, et N, appartiendra à E. Dans le cas contraire, soit .N' une substitution de E qui ne soit pas échangeable ,à N, ; 1. contient une substitution N' P' qui fait subir aux systèmes le déplacement N'. D'ailleurs N' P' est permutable à A; donc A conlienl(N,P,^'‘.(N'P')*'.N,P,.N'P', substitution qui fait subir aux systèmes le déplacement Nj ' N'*' N, N', lequel appartient à E.

602. Le gntupe formé par 1rs substitutions N,, N',,... contient tout le faisceau E. En effet, les substitutions de L étant permutables à A, celles de A le seront a fortiori au groupe (N,, Nj,.,.). Mais elles le sont à E. Elles le seront donc au groupe formé par les substitutions communes à (N,, N,,...) et à E. Si ce groupe ne contenait pas toutes les substitutions de E, il ne serait pas transitif, et par suite, A ne serai^pas primitif (53).

Celles des substitutions N, P,,.,, du groupe .A dont les premTers facteurs

DE LA RÉSOLLTIOX PAR RADICAUX. A.'i7

appRi'lieiinent ii E furnicnt un faisceau C pcrmutalile aux substilulious

<lc I,. Car la transforinec de N, P, |iar une quelconque de ces dernières subslilulions, N'P', appartient à A, et son premier fadeur N'“* N, N' appartient à E. On pourra donc, en formant l’érliclle génératrice du groupe L, faire passer les siibslitutious de i‘ en avant des autres.

(Àtn.sidérons plus spécialement encore, parmi les substitutions de celles qui ne déplacent pas les systèmes : elles forment un faisceau .f, permutable aux substitutions de f. On pourra les faire passer en avant de toutes les autres.

603. Chaque substitution de .f, telle que /, e.st le produit de subslilutipiis partielles altérant respeelivenient les indices des divers systèmes. On verra, rumine au n“ 596, que chacune de ces substitutions partielles est abélicnne propre (kypoabélienne), et qu’c//e est contenue dam .i. On verra ensuite (548-550) que C résulte de la combinaison de ,f avec les substitutions