I ..., Xî

et que I. résulte de la combinaison de 3 avec des substitutions IJ, l'J',...; J. J',... étant des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par les indices correspondants d’un même système, et I, I',... des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, fonctions dont les coefficients sont les mêmes pour tous les systèmes.

60i. Chacune des substitutions J, J',... est abèlienne propre {hypoabèlienne). Car elle est le produit de transpositions efléctuées entre deux systèmes. Chacune de ces transpositions est une sulistiiution ahéliennc propre {hypuabélienne). Soient en efl’et S l'une d’entre elles; H„ et H, les deux systèmes qu’elle permute: C„, (T„,... et C, , les subslitutious respeetive-

meni correspondantes aux indices de ces deux systèmes; M, M,,... celles qui correspondent aux autres indices : S transforme

Mais parmi les substitutions il en est une qui remplace H, par II,,

et qui transforme ainsi C„, C*„,... en C,, C', Donc(T„, C^.... ont mêmes

exposants d’échange mutuels (et mêmes cararlèrcs) que C, , C", D’ailleurs les exposants d’échange de C„, Cr„,... avec C,, C,,..., .M, M et

ceux de C, , C, .... avec M, M sont congrus à zéro. Il en est de même

Vi« LIVRE QUATRIÈME.

•les exposants (réeliange îles sulislitiiliuns tran.sforméc.s. F.iifin S Iransforninnl en ellcs-inêines les siilistiuilions M, M,,... n’altère pa.s leurs exposants (l’i'rliange inuluels (ni leurs raraclères).

005. groupe I, contient les mihsiitutioin I, 1',.,., J, J',.... (^ar le groupe

(lérivé (les suhsiilutions J, I, I’ J, J',... esi rêsolulile (ôôl). Ses sulisli-

lulinns soûl uliéliennes (liypüalM’Iiennes); car IJ, J, J'.... rélanl,

I, I'.... le seront. Enlin il eoniient L, el ne peut être plus gcuiéral que I.,par liypoilièse.

(>0ü. Les sulistitulions J, J',... furnienl le groupe désigné ei-dcssus par A. yuanl aux sulisiitutiuns dérivées de -T, I, I'.... qui ne déplaeeni pas les .syslèmes. chacune d’elles est le produit de substitutions partielles altérant respectivement les indices d'un seul des systoines A,, A de manière à ninl-

liplier les exposants d’échange des suhstiiutions correspondantes par un racleur constant, qui sera le même pour tous les systèmes (et à ne pas altérer leurs caractères). Soient L„ = (/„ <».••■) le groupe foriné par

celles de ces substitutions partielles (|nt allèrent les indices du système A,; L, =( i ) le groupe formé par celles qui allèrent les indices du sys-

tème A|, etc. Ces groupes sont les transformés de l'un quelcum|uc d'entre <Mix. I.y, par les siihsliliilions de A. En effet, soit J une suhstitniion de A, (|ui remplace les indices de A, par ceux de A, : elle est évidemment permulalde au groupe (.i, I, 1',...). Mais, d'autre part, les Iransformée.s des snh-

slitulions /t/,, de regroupe par J font subir aux indices

de A, des altérations évidemment représentées par J''/,J

Ces dernières substitutions .se confondent donc, à l'ordre près, avec les snbslilulions/, i,,.... ,

<j07. Soient réciproquement x„, Vo, J'p, jp,. À syslimies d'indices indépendants, choisis de telle sorte, que les exposants d'échange des substitutions correspondantes C„, C'^ . CJ,... satisfassent aux rela-

tions suivantes

(C;'ic;r''j^o, si p>p'. et ('>' cyo J

(cl (|uc leurs caractères soient indépendants de p).

Soient A un groupe résoluble, dont les substitutions perninlent ces syslioncs entre eux d'une manière primitive, en remplaçant les uns par le.s autres les indices correspondants; L„ un groupe résoluble, dont les subsli-

lîiit

DK U RKSOIXTION KAK HADHLAfX.

liilioiis irnlltTcul que les indices a-,, du premier système, qu'elles

reinpiaeeni par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, clioisics de telle sorte, (|ue les exposants d'échange mutuels des suhslitulions correspondantes soient tous multipliés par un même facteur (leurs caractères restant

inaltérés): l,„ Lp.... les groupes analogues, transformés de I,„ par les

siihstitutions de A.

Soient /„, l des substitutions choisies arhitraireinent dans les groupes

l,„', le manière h multiplierjes exposants d'échange par le même

facteur. Formons leur produit /,/ I.e groupe I. dérivé de l'ensernhlc des

substitutions composées telles que et du groupe A, étant contenu

dans le groupe résoluble dérivé de A et «le I.». seta résoluble. D'ailleurs scs substitutions sont abéliennes (bypoabélieiines); car chacune d'elles multiplie évidemment par un même facteur constant tous les exposants d'échange qui ne sont pas congrus à zéro et laisse les autres congrus à zéro (en outre elle n'allèrc pas les caractères).

Pour que le groupe L ainsi formé soit général, on devra choisir A et I.„ aussi généraux '(|ue possible, chacun «lansson espèce.

ti08. Dans le cas où les substitutions de Lj sont hypoahéiiennes, il est important de reconnaitre quel est celui des deux groupes hypoahéliens auquel appartient le groupe L construit par le procédé ci-dessus. On y parvient comme il suit :

l.cs indices X,. y'o,... du premier système peuvent être supposés choisis «le telle sorte, «pie les substitutions correspoiulantcs forment une «loiible suite ,i,, M.,, i.j, al,,,... telle, «|ue tous leurs ex[iosants «l'échange mutuels soient rungrus à zéro, sauf ceux de deux substitutions associées, qui seront congrus à i, et «pie ,i-,, aient pour caractère o, J.,, ni,, ayant pour

caractère a ou i suivant que l-o est contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoahélien. C.ela posé, les substitutions correspondantes à x^, Vj,,... ayant même caractère et mêmes exposants d'échange mutuels que celles qui «.'orrespondent à «i’„, y,,... les substitutions correspondantes aux imliccs x„, y„, Xp, y^,...; ... formeront une double suite, où tous les exposants d'échange seront congrus à o, sauf ceux des substitutions associées, et où le nouibre des coupb'S ayant pour caractère i sera égal à o ou à X, suivant que l.„ sera lontenu dans le premier ou dans le second groupe bypoubélien. Mais I. est lui-méme contenu dans le premier ou le second groupe hypoahélien, suivant que ce nombre est pair ou impair : d'où le résultat suivant :

4«n LIVRE QUATRIÈME.

/y groupe I, sera contenu dans le premier groupe hypoabélien, à moins que >. ne soit irn/utir et L, contenu dans le second groupe hv/toabe'lien : auquel cas L sera lui-même contenu dans le second groupe hypoahelien.

C09. Soit d l'cxpo.sanl du ((loupc scs subslilutiuiis seront de la forim- WiS,, \V„ étant une substitution qui multiplie les exposants d’échange mutuels de C„, par^'', et S„ une substitution abélienne propre. Soient A,

le groupe formé par les substitutions partielles S,,...; W,. W,,,.. et ,V„,

A les transformés tle \V„ et île A, par les substitutions de à.

Les substitutions W imiltipliant respectivement les exposants

d’écliango mutuels de C„, C',,..., ceux de C,, etc., par un méinc fac-

teur g‘‘, leur produit W appartiendra à !.. Les substitutions de lui appartiendront également et seront abélicnnes propres; car elles n’altèrent pas les exposants d'échange, et parmi les substitutions de L,,... qui jouissent de la même propriété, et qu’on peut leur associer, se trouvent les substitutions I. Oc même les substitutions de A,,... appartiendront k L.

('.bacunc des substitutions est de la forme \V'S„S,..., S», S a|t-

partenant à A„, à A Kn effet, /„ est de la forme WJ S,, et multipliera

les exposants d’échange de L’„, par g'“. Donc multiplie tous

les exposants d’échange par g'“, et si l’on pose = W*T, T ne les altérera plus, et par suite se réduira à la forme S„S

On voit par là que l'exposant du groupe L sera égal à d.

010. Il est aisé d’obtenir son ordre. Soient il l'ordre de A, O celui de L,, celui de A,.

Les substitutions de L sont de la forme N W'S,S N étant une substi-

tution de A. Or .N peut être choisi de il manières différentes; t peut prendre

la suite des valeuis o ' ; et chacune des X substitutions S„, S

peut

être choisie de

rfO f>- '

manières. On aura donc pour l’ordre cherché

611. Pour (|uc L soit primaire, il faut et il suffit que L„ le soit par rapport aux indices qu’il altère (312). .Mais il peut être déconiposable ou non.

S’il était décomposablc de la manière indiquée aux n"* 595-599, L le serait. Il fautirait en effet qu’après avoir choisi convenablement les indices

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. «Il

iiulé|»fiidaiils ilu système i,, on pût les répartir en deux sous-sjs-

lèincs que les substitutions de A, ne déplaceraient pas. On pourrait alors réunir les indices de chacun de ces sous-syslènies à leurs lininolugues dans les autres .systèmes; et la tolalilé des indices se trouverait ainsi répartie en deux grands svstèmcs, que ne déplacerait aucune des sulislilulions des groupes A„, A,,..., A dont la combinaison reproduit le groupe A. Donc L serait décomposable de la manière itidiquée. Celle hypothèse ayant été discutée plus haut, nous pouvons l’exclure.

612. Si L, est décomposable, mais de la seconde manière, on verra, comme tout à l'heure, (|u'en choisissant convenablement 1rs indices indépendants ,t„, v,,..., ils se partageront en sous-.systèmcs tels, (|ue L, puisse être construit au moyen de deux groupes auxiliaires A, et l,,„. Le groupe A, sera formé de substitutions qui permutent les .sous-systèmes en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants. Quant à L,„, il résultera de la combinaison d'un groujie .Xg, dont les substitutions n'altèrent pas les exposants d'échange des substitutions correspondantes aux indices du premier sous-système, et d'une substitution \V„ qui multiplie ces exposants il’échange par g‘‘. Cela pn.sé, soient et W^,,, W„,,... les trans-

formés de A„, \V,„ par les substitutions de A, : L, sera dérivé de la combinaison des substitutions abcliennes propres de A,„, .\ A„ avec la substitution (|ui multiplie les exposants d'échange îles substitutions

C,,,... par g''. La substitution XV, étant une substitution de L, qui multiplie les exposants d’échange par g'', et (|ui .soit d'ailleurs quelconque, on peut supposer W, = \V,„XVo, —

Cela posé, partageons les indices de chaque système en sous-systèmes, en réunissant ensemble ceux dont les homologues dans le système agiparticnnent au meme sous-système: et soient respectivement A,,, A,,,...; A,, A ; XV’o,, XV,,,... les transformés de A,„ A,, XV,, (lar les substitutions de A. Le groupe L sera dérivé des substitutions A,„ A^,,...,

XX' = XV,,.. .XV,,,..., A,,..., A^ A. Cela posé, les substitutions de A, A,,

d’où dérivent celles de A A,i,... forment par leur réunion un groupe A'

de substitutions ahéliennes propres (|ui permutent transitivement les soussyslèmes en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants,

et qui transforment les uns dans les autres les groupes A, A^, et les

substitutions XV,, XV Le groupe L peut donc se construire à l'aide

des groupes A' et L„ de la manière indiquée au n" 607, avec cette seule différence (|uc A' ne permute plus les sous-systèmes primitivement.

U\i I.IVKK OUATHIKME.

Lc’ groupe L clanl priuia'irc, l.,„ le sera; s’il clail dccoinf)osable, on verrail, eomme tout à riicurc, que I. peut se ronstriiire à l'aiilc d'uii groupe A" et d'uH groupe l.„„, de degré moindre que L„, etc.

Ou pourra donc, sans nuire a la généralilc des résullals, ndinelire que dans la eonslruction du n" G07 le groupe L. est indccoinposable, pourvu qu'un ndnicUe d’autre paît que le groupe A puisse être remplacé dans la construction par un autre groupe ü dont les substitutions permutent les systèmes transitivement, mais non primitivement.

(>K), La détermination du gruu|>e 1. se ramène ainsi à celle des deux groupes Ü cl L„, de degrés À et ce dernier étant indécomposable, l’ar la première de ces deux questions, on retombe sur le problème A, mais avec un degré fort abaissé. La seconde fait l'objet des sections suivantes.

J II. — Gkoli'Es isüéro.MeusviiLiLS n»; l'RrMiÈRr catécohie.

(>14. Suit r un groupe résoluble et |iiimaire aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélien (dans l'un des groupes bypoabélicns) de degré Celles de ses substitutions (|ui sont abéliennes propres l'ormenl un groupe, évidemment permutable aux substitutions de F. Un pourra doue y déterminer (d’une ou de plusieurs manières) un faisceau K permulable aux substitutions de F, et dont les substitutions soient éeliangeables entre elles. Ce faisceau étant choisi aussi général que possible, on pourra ramener ses substitutions à la forme canonique (240-244.); car F étant primaire, le groupe C formé par l’ensemble des substitutions abélienncs (bypoabéliennes) permutables à F le sera a forliori : et suivant <|ue F sera de première, seconde ou troisième catégorie, nous dirons que F est de première, seconde ou troisième eatégorie. Nous poiirroiis d’ailleurs étendre cette définition aux groujies décumpo.sables dans la construction desquels ligure le groupe F.

Nous supposerons dans ce paragraphe que F est de première catégorie.

615. Les indices indépendants étant choisis de manière à ramener F à la forme canonique formeront un seul couple de systèmes conjoints. Car s’il en existait plusieurs, chaque substitution de F remplacerait les indices d’un cou(dc de systèmes par des fonctions de ceux d’uii même couple de systèmes. D’autre part, les exposants d'écbange de deux indices quelconques

DE U RESOl.irriÜN l’AR RADIflAüX. *l«

ii|)|iiirtenant à deux roupies dilTérrnts soûl congrus à /.éro. Celle double propi'iélé subsisterait évideniinenl si l'on prenait dans clia(|ue couple pour inilircs indépendants, au lieu des indices imaginaires actuels, les fonctions réelles dont ils dépendent. Le groupe T serait ilonc décomposablc, eontrairenicnt à riiypotbèsc.

Soient V le nombre des séries dans cbai|U(; système, ix le nombre des indices de chaque série. Nous désignerons par x”, y?,... les indices de l,i r-h 1*'“' série du premier système, cl par ,r,l, y,!,... ceux de la série conjointe: par C,„ C,„ CT,„... les substitutions correspondantes. Kniin

nous profilerons de ce i|ui reste d'arbitraire dans le choix des indices pour faire en sorte que les exposants d’échange (tij^C,,.), .. soient con-

grus à l'unité, et les autres à zéro (2Ki). Quant aux caractères de ces suhslitulions lorsque V est contenu dans l'un des groupes hypoabeliens, ils seront congrus à zéro (292).

(il 6. Le nombre p" sera > En effet, chaque substitution de F multiplie les indices d’une même série par un même facteur complexe a, formé avec la racine i d’une congruence irréductible de degré v; et les facteurs par lesquels elle multiplie deux séries conjuguées sont réciproques (241). Eela pn.sé, si />'•'= a ou 3, on aura toujours a"' «(mod./i), et les deux séries

conjointes se confondront en une seule; si p'" = f\, d’oii p = 3, v = 2. on aura a"' =îa'’{mod./;), et les deux séries conjointes seront conjuguées. Dans l’un et l'autre cas, F ne serait pas de première catégorie.

617, La substitution W, qui laisse invariables les indices du premier système, cl multiplie ceux du second par g, racine primitive de la congruence ! (mod.^) appartient h F. En ctfel, formons la suite U,

G',... des groupes résolubles primaires les plus généraux parmi ceux où les indices se groupent en séries cl systèmes comme dans F: puis clfaeons dans ces groupes toutes les substitutions qui ne sont pas abéliennes (hypoabéliennes). Les substitutions conservées formeront une suite de groupes résolubles (521), parmi lesquels se trouvera le groupe F. Or la substitution W se trouve contenue dans chacun des groupes G, G' D’ailleurs elle mul-

tiplie tous ceux des exposants d'échange qui ne sont pas congrus à zéro par un même facteur g (et n'altère pas les caractères, qui sont tous congrus il zéro, et qu’elle multiplie par de simples facteurs constants). Donc elle est ahélienne (hypoabélicnne) et sera conservée dans F.

Le groupe F aura donc l’unité pour expo.sant et résultera de la combi-

un LIVRE OITATRIEME.

naison de \V avec le groupe A, formé par celles de ses substilulitms f|ui sont ahéliennes propres.