Posons

■fl.::; [ . ( ~ (— n'ri*',... ],

<i’= I xUr! I-

On voit iminédialeinent (|ue ee.s deux substitutions sont réelles et abélicnnes propres liypoabélicnnes).

Soit inaintenanl S une substitution (|uelconi|ue de A; elle remplace les indices xJJ, par îles fonctions linéaires des indices x,', v’,... d'une même st'rie; on aura donc S = ^ étant une nouvelle substitution abélicniie

propre (bypoabélienne) qui ne déplace pas la première série du premier système.

619. Idiercbons la forme générale de la substitution ^ . Soient ar', 4- a,x‘, ■+■ /»,)•;

les fonctions par lesquelles elle remplace les indices xJ, yX,...; elle remplace les indices de la série conjointe x,',,yi,... par des fonctions

de ces mêmes indices. Quant aux indices des séries conjuguées de res deux-là, elle les remplace par des fonctions conjuguées des précédentes. .J transformera donc C„, C„, C„. C,„... en

fîf c:,r ' c/ . . . , t;;!:' t:.; ■

dont les caractères sotit également congrus à zéro. Pour que leurs exposants d'échange soient congrus à ceux des substitutions dont elles sont transformées, il faudra qu'on ait

I «r’ as' ,1 ç' *ç’ -e I , af' jSr' nç' o, ... ,

\ ftc' x'' éÇ' aÇ'-e . . . ^o, A/ -*. 6ç' 4- . . . = i

(ioo<i./i),

Ces relations, qui doivent subsister pour toute valeur de r, expriment que

DE I.A nfcSOLl’TKtN EAU HADICALX.

les lieux suliütiUiliuns

(») I .... Iif' xt + a';’ , lif' Xl + hr' y‘ + |,

(1> ! xi’' X* pi"' xi‘,'x’ + -i- |,

Dpérées sueeessiveincnl sur les imliccs liu premier syslème, auraient pour prniluil ruiiilé. Klles pcrmellenl île ilélermincr sans diflicullù et sans ain-

liipiiilé les roellieicnt-s «, fi a,, fi en funelion île a, a, h, h

pourvu i|ue le ilétenninant A de la siilislitution (a) ne soit pas congru à ïéro. (S'il l’était, le ilétenninant de ^ serait lui-iviénic congru à zéro, étant évidennnent le produit de deux délerininants partiels, dont l’un ne dilTérr de A <|ue par le eli.ingeinenl des lignes liorizonlales en verticales.)

Cliacune des substitutions ^ et par suite chacune des substitutions de A est donc coinplcteinent déterminée lursi|ii’un eonnait les ronctions (|u’elle (ait succéder aux indices de la |)remière .série du premier système; nous pourrons donc, dans la représentation de ces substitutions, écrire seulement ce (|ui se rapporte à ces indices et laisser le reste sous-entendu.

tiiO. l’armi les substitutions ;j que nous venons de déterminer, on doit distinguer spécialement celles de la forme

I nj;. rt.i:,... [.

Les substitutions de K sont de cette forme. Réciproquement on voit, comme au 11” 617, que toutes les substitutions de. cette forme appartiennent à 1’. D’ailleurs elles sont abélicnnes propres (bypoabéliennes], échangeables entre elles, ei forment un faisceau permutable à toutes les substitutions de I’; ce faisceau, ne pouvant être plus général (|ue K, se confond avec lui.

Si cliai|uc série ne contient qu’un indice, les substitutions de la forme ^ se réduisent à celles de F; adjoignant à ce faisceau les substitutions Si, <î, ipil lui sont permutables et sont échangeables entre elles et la substitution \V, on obtiendia le groupe clierché F, qui ne pourra être déterminé que d’une seule manière, et dont l'ordre sera évidemment égal à — i)(/> — i).

62t. l’assons au cas plus général où chaque série contient plusieurs indices. ,

Lcsi.mi:. — lx‘ gruufte A rst dérivé de celles de ses substitutions qui sont de la forme jointes à une substitution unique, de la forme AV' ou à deuxsubstitutions, i une de la forme A^, l'autre de la forme V' .J .

5çj

I6ii UVHE yUATlilÉMi;.

Eli elTol, r étant |ii')maire, contient une siiiistitiition 1 qui |ieriniili’ cuire eux les lieux systèmes. Soit g' le l'aclcui- jj.ir lc(|ucl elle niulti|ilic les exposiinls irécliange : A contienilra la snlistiiiition \V ''1 qui perimiie les systi'nies, et par suite sera de la Ibrine et A résultera de la eoinlii-

iiaison de cette substitution avec d’autres siilisliiulions .in. , = ^ ,

.1R.J — qui ne déplacent pas les systèmes. Soit d le plus grand com-

mun diviseur de y, p,, p,,...: A contiendra une substitution de la l'urme et IR.,, résulteront de la combinaison des puissances de )î-avee

des substitutions de la forme

Soit nisfmlcnant k un entier tel, que Xo'+ s„ soit positif et <d; A contient la substitution * = Aiff- j,. X-‘, laquelle, combinée à et aux siibsliintions .j., reproduira évidemment tout ce groupe.

Si mo'-+-jS„ = o, cette dernière snb.stitntiun .se réduit à la forme et le lemme SC trouve démontré. Dans le cas contraire, A contient s“, qui est de la forme Donc a(Xtf-i-6, ) est un multiple de cî, et comme

Xd + p, < d, a(Xd -t-pn) = d; Jî se réduira alors à la forme s‘ et A résultera de la combinaison de s avec des subsliluliuns de la forme ce i|ui démontre notre proposition.

Vrl'î. Tiikoiicvie. — /a? groupe I' contient des substitutions de ht forme. autres que celles de F.

S’il en était autrement, F résulterait de la combinaison de \V et de F avec une substitution de la forme ou avec deux substitutions, des formes

.AJ^el Nous allons prouver que dans l’un et l’autre cas, F ne serait pas général.

PiiE.Mii'R c.vs. — Soient/,,/,,... les substitutions de F: J./,....:

■îi.4* ïi./i. relies de la forme ^ |^, se réduisant à l’unité (39jjt la substitution qui, combinée à F et à W, reproduit F. I.es groupes

F„. F,,... transformés de F par les substitutions .J sont rcspcclivc-

inenl dérivés de \V, F et des transformées de Ces transformées sont

évidenimcni de la forme supposuns-les égales respcclivemenl à

âia'*^,./ÿ., Deux cas .«eront à distinguer :

i” Si ^1 5"’ sera permutable à F et pourra lui être adjointe de

manière à former un nouveau groupe plus général.

a“ Si au contraire les substitutions .J,, i,,.... sont tontes ilistinetes, elles reproduisent toute la suite ^ ; l’une d’elles, par exemple,

DR I.A KÉ-SOUrTKtN PAH RADIRARX. iti7

!<i' l'ùilnit donc il l’unité. I.a sub.stitmion (le furme {

écliangealdc aux subslilulions .'<1, u*. F, W le sera à toutes les sulislitiitions lie r,: sa transformée par le sera à celles de F, et pourra s’adjoindre ii ce {,'t'oupe.

Srco.xn cas. — Soient et les deux substitutions (lui,

jointes il W et à F, reproduisent F. I.e carré de est de la forme*.^, et appartient à F; donc il appartient à F, par bjpolbèse. IVailIcurs A*, niullipliant tous les indices par — i, appartient aussi à F. On aura donc

,A '.j',H2’=r.fl->.(A:j';’=/, iFoii ^'= A-^*'A— /,

étant l’une des substitutions de F.

Or soit

■?' — I a:;,/;,. . . «,r; + /ij l +-..., fl, a-; + lt,r‘ -I- |.

Sa coujointf A~' sera

I J . IJ-; + a- . . a, x; -t- -t- |.

et aura pour réciproque la suivante (61b)

lA- 5'A) ‘ = I x:. . flxî efl./;-!-.. , hx\-*-h,y\ 'r |.

tiela posé, l’égalité des deux substitutions ^ et (.A*' donnera 11= fa, hsifa,,..., a,^fb, h.'Sifb,,... (inml.pl, et deux cas seront à distinguer :

i" Si /&= I, on aura b-— a et les coellicienLs symétriques par rapport

à la diagonale seront égaux dans l’expression de

2" Si I (mod.p), les cocllicients diagonaux u. b,,... seront nuis. 1,’nn au moins des autres coefficients, tel que b, ne sera pas nul; et les relations b=fa,, a,s^/b donneront /’i-; i, d’oii f= — (• I.es coefficients symétriques par rapport à la diagonale seront donc égaux et de signes contraires. Dans ce dernier cas, le nombre des indices sera pair, sans

i|uoi le déterminant .A de a, b (/,, b s’annulerait; car en cbangeant

HW UVRE yUATRlÉilE.

I<‘s lignes horizoniales en lignes vcilieales, ce qui n'altère pas li* iléleriiiinatil, on eliangc le signe de tons ses termes. Dnnq il'oii -jià o

et enfin A=^o.

dette dernière eoncliisinn ne serait pas exaete si p était égal ii a. Mais, dans ec ras, les deux formes trouvées pour la sul)slitulion ne sont pas disiinetcs, ear les deux valeurs i et f- — i(inod.a sont idenli(|ues.

(>2l. Soit maintenant P, le groupe transformé de P par une sultstilution qiielisonque .J, de la forme .j. Il .sera résoluble, et ses subsiitulions seront abéliennes propres ( liypnabéiienncs). De plus, si P était général, P, le serait; car s’il était contenu dans un autre groupe analogue mais plus général f, , P le serait dans le groupe P', transformé de T, par D'ailleurs P, est formé des' substitutions \V. F. auxquelles .J, est éebangeable. jointes aux transformées de et de le.squelles sont évidemment des formes H .2*, ‘-‘f ^i - On peut se proposer de choisir 2i de telle sorte, (|iie l’expression de 2', trouve simplifiée autant que possible.

1)2.5. 1“ Soit /is ; et /) > a. La substitution 2,' *‘sl île la forme