e /«j; -t-.... + h, ri -s

\dmettnns d'abord que l'un des eoenicients diagonaux, tel que a, ne soit pas congru à zéro, et posons

d’où

.H- 2-'A= I x;,.r;,.. . x,-e /»: yl,.. . |.

L’égalité évidente

ir' il l' ~ •2'^’ •■'i 2' 2 '

montre que 2', es! égale à

A— 2iA-2'2' = I »xl-*-[al+ b)yl-i-...,.. . |.

. fiette substitution multipliera donc xJ j)ar un simple facteur cnnslani si l'on pose

D'ailleurs 2,, étant écliangeable aux-substitutions de F, le .sc'ra en parli-

DE U RÉJsOLlîTION PAR RADICAUX. Mül

l'iiliiT à {■RJ'/: on aura donc

Donc aura la même forme générale i|uc J", avec celle circonslance |iacliciilicre que les cocfTicienls h,... s'annulent.

Soit donc

.2', — I j;,.»:, ax‘„ a oJ t-c.î'.a-. ...... |.

Si rnn des coelTicienls diagonaux tels que l>, est ^o(inod./>y, on ferij disparailre les coenieieiils c,... par une transfornialion analogue à la préeédentc.

On peut euntiniier celle réduction jusqu'à ce i|u'on arrive à une Iransforincc où les eueineienls diagonaux restants soient tous nuis. Mais on pourra, par une nouvelle transformation, faire en sorte <|ur l'un de ces cneflicients cesse de s’annuler.

Supposons, par exemple, que nous ayons dans .j', h,^c,SF?,..zizo. L'un au moins des coeiricienls doit dilTérer de ïéro, le déterminant de j', ne pouvant s'annuler. Soit, par exemple, ft-jjo. Prenons pour Iransfornianle la sulislitulion

,R j', aura pour transformée en posant

expression où le cocflicient diagonal aftjX est ^o. si /.^o.

On pourra ilonc maintenant reprendre la réduction, et arriver enfin à une dernière transformée .R où l'on ail simplemeni

ti27. 2" Soit f -ï— I , et i> > 2. On a

y-;, s;,... />y : + c;; -e..., — bx\ d i\ -cx\-ily \+ |,

et l'un des coefficients b, c,..., b par exemple, -sera 5o(niod./>). Prenons pour transformante la substitution

*',< =;.• x‘„ y-;, j; + ixi 4 /«y ; 4-.

(7(t U\ RK WATHIE.MK.

sera iransloinK’ en •'R 2*,, = élanl une nouvelle siili-

siitulion «le la même forme «jue mais «|ui remplaee x|), yl par

êr; + (i>iH t- f)ï’, -I-. .

on simplemcnl par v", — Ax", en iiis|)usanl des indélerminécs /. m,... «le telle s«)rlc <|ii'un ail

hm + c Œ O, il — ht ISO,. . . .

l’ar une suite de rédueliuns analogues à eelle-là, on arrivera enfin à une transformée oii l'on ait

Ii28. ■$" Soit P = a. On aura / « u. . — i . On appli«|uera la rédiietion «lu

11" Giô tant (|u'on aura des eoellieienis «liagonaux qui ne s’annulent pas. S’ils s’annulent t«iiis, on appli«|uera la léduelion du n" Ii27. Ou arrivera ainsi à une Iransforiuée où soit rc«luite à l’iine «les formes {/\i, fâ) «III à une forme mixte telle i|iie

|ti) - jr:, ri. i;.. .. rtx;, A.i :,. .. I

Ou pourra d'ailleurs supposer «|iie a, ù,... se réduisent à l’unité. Ko effet, si eela n’avait pas lien, il suffirait de transformer , ■A 5, |iar la sulisliltilion

pour olilenir une transformée analogue à mais «laiis laijiielle les «'oefli«-iciils ri, A,... .seraient remplacés par l’unité.

fiiiù. Suppo.sons la réiliiction ei-dessus effectuée, et soit '/'.j' ce ([u'est «levenu par celle suilc de transformations. Celle sulislilulion .sera

éeliaiigealile à aux sulislitulions F près. En elTct, la suli.sfilutitin étant «le la f«irme ^ et a|>parlcnanl ii F, .sera de la forme F et n’aura pas été altérée par les Iransf'oriiiations; ou aura «l««iic

/étant une siibslilulion de F.

Soit U’* J, une siilislitution quelconque de la forme et qui soit éeliangeable à .A aux F près : 011 aura évidemment '1’’ . V, V élanl une

DK LA RÈSOl.UTION PAR RADRIAÜX. J7I

MDUvdlc sul.Miu.tion ,1c la fo,„,e 2. cl cchangcablc à .R;/ aux V près. Il ..-M clair ,|uc h's siiksliuilions V forment un groupe 9. ,|ui rontienl le groupe F.

hoient/,, les substitutions lie F; \\/„ V, f„. \,f, •

'•••IIps de|. T.an.sformon.s le groupe F„ .lérivé .le^.a eo..’.l,i,Vai"onX'’\\ F

<1 ï,. 'i par les substitutions V.. V Les groupes P„„. F ainsi

el.tenus sont résolubles, et leurs substitutions sont abélicnnes propres (bvpoa .ehenne.s). Kianl «Failleurs les liansforinés <le l’„, qui lui-même est tianslorme de F, ils seront transformés de F et seront généraux si F est general («2iJ.

Or ces groupes résultent de la eombinaison du groupe dérivé de W , F,

. auquel \ sont permutables, avec les IraiLsformées respectives de la substitut.».. U' .j',. Soient ces transformées.

• 1 es siibMilutiütis V... ne sont pas toutes distinctes, et que l’on ail.

|.ar exemple, V,, = V,,. le g.oi.pe F„. dérivé de la combinaison de F et ,lè avec 'X ou, ce qui revient au même, avec se eon-

om r.i avec le groupe F,„ ilérivé îles mêmes substitutions. Or V, transorme F en F„, = F„. que V,-' t.ansformc en F„. Donc V, Vr' sera permut.iDte a t„ et pourra lu. être adjointe. Donc F„ n’est pas général.

S. au coniiaiie les substitutions V,.. V,,.... sont toutes «lislinctes. elles

leprodu.ront à For, lie p.-ès toute la suite V.. V Soit alors S = ‘l'- V V, /

une subsl.tul.on quelconque de la fo.me ■x''-^. et qui soit échangeable à aux près. I.e grou|.c F' dérivé de la combinaison île S avec \V, F,

coïncidera avec l’un ,les groupes F„„ F, ; car soit V,, celui des

unies I e a suite \, .... qui coïncide avec V,: les'gfoupes F' et F„, peuvent tous deux être considérés comme dérivés de F, A , ■i’'' ’’ V . Si donc I était general, F' le sciait, i|iielle que fiit la substitution S.

Or nous allons montrer qu’on peut eboisir S de telle sorte ,,ue F' ne soit pas general. '

«30. I" .Si est de la forme ( 'j), on poiiira poser

et F' ne .sera p.as général, car on peut lui a.ljoimlre, si /.> a, la substi- ' liilion