si /) = a. d’oil «. , (028) celle-»-i
la-:, .y:, a-:.... I,
(Ti I.IVHK yi ATBIKMK.
I;ii|(iellv rs( écliaii^ciiblo :iiix subslitiitions (l<? I", cl u|i|ianictil ;i lu l’unnc { sans apparlcnir à F.
u" Si csl de la l'oniie ( S), on pourra poser
cl I’’ ne sera pas général, car on peul lui adjoindre la siibstitulion de l'oriiie ^
T=| a;, zl. .. taU i;.... |.
oii / est un cniicr quelcoii(|ue réel. Oclle substiluliun esl en elïet écbaiigeable il ebaeunc des siibsliliilions de F'; el / peut éire eboisi de Iclle sorle que T n'appartienne pas à F, à moins toulerois (|u'on n'ail /j = a, le nouibie des indices de la série .élanl quelconque, ou p = il. ce nombre se réduisaiil à a.
Même dans ces deux cas d’exception, le groupe 1" ne sera pas général, car on pourra lui adjoindre la substitution
qui esl écliaiigeable à ses substitutions, el n'upparlieni pas à F.
V' Si B la l'urme mixte (6), les mêmes raisonnements seroni évideininenl applicables,
l•;ll. I .CS substitutions de la rorine eonleuucs dans F, rurmcnl un groupe partiel évidemment permutable à toute substitution de F. On pourra donc y déterminer un raisccau 0 plus général que F, dont les substitutions soient cebangeables entre elles aux F près, et auquel tonte substitution lie F soit permutable (.528). Si ce l'aiseeau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le cboisiruns de telle sorte que son ordre soit minimum.
Un verra comme aux n"' 559-51»! que G résulte de Ut combinaison de F aeer une double suite de substitutions A,, B,;...; B, telle, que cliaeune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une des relations suivantes
B:'A,lt, ll.'A.lt, 0 A.... ,
où 5 désigne la substitution
DE 1.A RfiSOLlJTlON PAR RADICAUX.
te facteur 5 étant une racine primitive de la congruence
6*15 1 (moij, /}),
et rt un nombre premier, qui dieiie p* — i .
On verra ensuite, comme aux n"' 5f>2-56i, que le nombre p des indices de chaque série est un multiple de. k", tel que p'î:'’; puis on remarquera que le choix des indices indépendants dans la première série du premier système na pas été fixé d' avance! et l’on verra, comme aux n°" 505-576, qu'on peut en disposer de telle sorte, qu'en désignant les indices ..., sd,, par le symbole
général [z,^,...t]',où les indicateurs |j, ... en nombre <7, varient de o à n — I, et l'indicateur e de o à p' — i , les substitutions .S,, B,;..., B, prennent les formes suivantes ;
t A. = iu.^,...o: Ht’ A, = |[|, 6U[i
•£]:i. n.= i U, ii.i ci:i.
à moins qu'on n'ait à la fais p'“ — 'i (moil. iJ) et n = 2, auquel cas e/B, pourront avoir, soit les formes ci-dessus, soit celles-ci :
A.= -)-i, Ç,,.... tj*. |.
a, étant un système de solutions de la congruence
— I (niüd. y>).
632. Soient maintenant X' = une substitution quelconque de 1';
f„ B','"’ B*/’... et gn A','"' Bf’’.V/’B''"’... les transformées de A„ et B„ par O (f„ et g„ étant des substitutions de F). Faisons correspondre à la substitution x> celle-ci
V = I X., . d,x, s- c,y, b',x, -i- d', y, . [ (mod. t:).
On verra comme aux n” 577-578 que si l'on n'a pas à la fois ^'^3(inod. 4) cl r. = 2,
V fera partie du groupe abélicn de degré r”, et multipliera les exposants d'échange par (— que si /)'‘ = 3 (mod. 4) et :r = a, V fera en outre
4U LIVRE QL’ATRifcME.
partie du premier ou du second groupe hvpoabélien, suivant que A,, B, auront tes formes (7) ou tes formes (8),
Kéi'lpro(|ucnicnl. soit V une suj/stitution abélienne {/lypoabélienne] de degré et qui multiplie les exposants d’échange par ( — On verra,
comme aux n'” 570-580, i\u’ il existe des substitutions de ta forme qui
ont V /mur corrélative ; et que ces substitutions sont de la forme ttC'i^i^, ï étant une substitution de la forme
et G une substitution de la forme
Oïl voit enfin, comme au n" 581, que si P contient une substitution s, f, de la forme «f, il contiendra ses deux conqiosantcs F,.
G33. Si fl' SC réduisait à l'unité, l’indicateur t, n’élant suscc|itilile que d’une seule valeur, pouiTait être supprimé sans inconvénient, cl les substitutions de la forme F se réduiraient a celles de K.
Supposons, pour plus de généralité, que fi' soit > 1 . /.c grou/ie I' contiendra des substitutions de la forme F. autres que celles de F. Nous allons prouver en effet que s’il en était autrement, F ne serait pas général.
Dans le cas que nous discutons, P résulterait de la combinaison de \V avec des substilutions de la forme S et une substitution de la forme .R'/'s'f', ou deux substitutions ayant respectivement les formes .'is'F' et «/'«'F'' (Oâl ). .Adoptons cette seconde liypotbè.se, qui complique légèrement la démonstration.
La substitution
( 'jr* s' G" )- ift «' G' )- ' If< G * . *• G' = V
appartient évidemment au groupe P et à la forme elle est, par bypotlièse, de la forme ». D’autre part, chacune des substitutions .R, >jf, F', G" tr.'insCormant les unes dans les autres les substitutions de la forme », celle siibstiliition pourra évidemment se mettre sous la forme
(‘r*F")-'(AG.')-"i'*G'.AG'.i',
2' étant encore de la forme ».
DK 1.A KÊSOLl TION PAR RADICAUX. iT>
Dune sera de la forme S; mais elle est évidem-
menl lie la forine G; c’esl donc Tune des sultsliltilions F communes aces deux formes. Les deux suhsiitulions AG' sont donc échangeables entre elles aux F près, et comme elles sont permutables au faisceau F, le groupe
Jk = (AG',
sera résoluble.
(’ela po.sé, réunissons dans-une même classe les indices pour lesquels t a la même valeur : chacune des substitutions de A se compose d’altérations pareilles, exécutées simullancment sur les indices des diverses elasscs. Considérons isolément les altérations F,, ‘1’’„g', a, g'„ qu’elles font subir aux indices de la première classe; elles forment évidemment un groupe A. résoluble, et n’altèrent pas les exposants <l’échange (ni les caractères) des substitutions correspondantes à ces indices. Mais soient I),, D', les groupes
Tes plus généraux parmi ceux dont les substitutions, opérées sur les indices de la première classe, n’altèrent pas les exposants d’échange (ni les caractères) des substitutions correspondantes; chacun d’eux contient des substitutions autres <)ue celles de F,, qui remplacent chaque indice par une fonction de ceux de la même série (022). Soient D„ celui de ces groupes qui 'contient A, ; celles de ses substitutions (|ui ne déplacent pas les sé-
ries; le groupe /*„,...) sera résoluble, et permutable aux substitutions de D„, et notamment aux substitutions <f*„ g'„, Ao g'„.
Soient maintenant i\ les substitutions de la forme G qui fout subir
aux indices de la première classe les altérations /’„ Elles forment
évidemment un groupe résoluble, permutable aux substitutions AG', </'G", on, comme les substitutions de la forme S sont échangeables ii celles de la forme G, pennulable aux substitutions .as'G', u’*«''G‘', ainsi qu’aux antres substitutions de la forme S et il \V, dont F est dérivé.
Le groupe dérivé de la combinaison de ! /', /' ,...) avec F est donc résoluble (.'>27), et plus général que F; car l'une au moins des substitutions/',,, n’appurlenant pas à F,, l’une au moins <lcs substitutions /', /",... n’apparliendrn pas à F, et par suite, ne sera pas contenue dans F.
Il reste à prouver (|ue chacune des substilulinns /', /", . . . adjointes à I', laisse invariables les exposants d’échange (et les caractères). Or /'„ n’alti're pas le.s exposants d’échange mutuels (les raractères) des substitutions correspondantes aux indices de la première classe; donc /', qui donne à ces substitutions les mêmes transformées, ne les altérera pas non plus. Par une raison de symétrie évidente, elle u’alléiAra pas les exposants d’échange mutuels (ni les caractères) des substitutions correspondantes à deux indices
UVRE Ol'ATBIRME.
t|Ui'lc'on(|ues d’une même classe. Enfin, soirol x, deux indices appailenant à des classes difTérentes; ,r, x',... el y, j',... les divers indices de leurs classes respeclives. I.es substitutions Cj, Cj-,... coiTespondaiitcs à x, x',.,. ont des exposants d'échange congrus a zéro avec chacune des substitutions C,., I.eurs transformées par qui sont de la forme
auront donc aussi des exposants d’échange congrus à zéro avec les Iranstorinées de C,. qui sont de la forme (IJ
l)3i. I.e groupe formé par celles des substitutions de F qui sont de la forme e est évidemment permutable à toutes les substitutions de F. On jiourra donc (.528) y déterminer un faisceau G' plus général que F, permutahle aux substilulions de F, et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux F prés. Raisonnant comme précédemment, on verra :
i" (}uc G' rc!s«//e (/c la combinaison de V avec une double suite .V,, If,
A', , If, dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres, sait/ à son associée, à laquelle elle est liée par une relation de la forme
5' désignant la substitution .
où le. facteur 6' est une racine de la congruence 5"^== i (mod. p), cl n' un diviseur premier de /F — i .
a" Que les f indices qui se déduisent l'un de l'autre par la variation de e peuvent être remplacés par d'autres indices indépendants, se. partageant en n"' suites^ en réunissant ensemble ceux, en nombre fz"= que A’, , . . ..
A’,, multiplient /mr les mêmes facteurs : et (|u’cn choiiissant convenablement les nouveaux indices, et remplaçant l’indicateur unique t par cé indicateurs r,,, ■r,,,... variables de o à n' — i, et un indicateur é variable de où p." — i, on fmurra mettre les substitutions A', , B', , sous les formes suivantes :
j B', ll.î,,
à moins que l'on n'ait p' 3 (mod. 'i) et n'= a, auquel cas A', et If, ftourroni avoir, au lieu de la forme précédente, celle-ci :
(lO)
I [;• •• e'I. — vi,
DE LA RÉSOLUnON TAU RADUAL'X.
On pourra opérer, cette réduction de telle sorte que les expressions des sultstilutions F, A,, B,,..., « ne soient pas altérées, sauf le remplacement de l'indirateur unique i par les indicateurs r,,,..., é.
3“ Qu’à chaque substitution X' de F, qui transforme A’,, B’,,... m A •' B g\ A',-' B,*"' correspond une substitution
tqipnrtenant au groupe abélien {et dans certains cas à l'un des groupes hypoabéliens) de degré .
4® Que chacune des substitutions de la forme F qui entre dans l'expression des substitutions de F est le produit de deux substitutions partielles, avant les formes suivantes :
5“ Que si F contient une substitution de la forme G, d rontiendra les deu i facteurs partiels dont elle est le produit; <|uc si i , F contiendra des substitutions de la forme ( i a), autres que celles de F ; que parmi ces substitutions on pourra déterminer un second faisceau G“, analogue à G et à (F; de.
635. Supposuns, pour lixer le» idées, que pi" se réduise à l’iinilé. I.es sulfstitiitions de b forme (i a) se réduiront" il relies de F.
Soit niainlennnt X'= une .«ulislilulion quelconque de F : oii pourrit
lui déterminer deux corrélatives V, V', appartenant aux groupes aitelien» (liypoabcliens) de degrés n”. et y inullipliant les exposants d’échange par ( — i)''piP(mod. jr). (— (inod. Les deux groupes A, res- .peclivement ronnés par les substitutions V et par les substitutions V . serunt résolubles et primaires (58i).
636. Réciproquement, soient L, L' des groupes résolubles et primaires, respectivement contenus dans les groupes abéliens {hvpoabeliens) de degrés a'®.
Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées V' multiplient les ex/>osants d'échange par des facteurs respectivement congrus suivant les modules tt et n', à une même, expression de la forme ( — i f p^. .1 chaque système de substitutions assoiiees on
