LIVRE (.ILATRIÈME
pourra faire correspondre une substilulion <), de la forme dont V, V'
soient les correlatiees. Le gmupe V foriné par les substitutions ainsi dt terminées,
jointes aux substitutions \V, K, A,, B A’,. B',,.™., sera résoluble (585),
et restera le même de quebpie manière qu'on choisisse la substitution V' (58Ü^. Son ordre est égal à p — i fois l'ordre de A , lequel sera égal à
yr; -lAié- i)’
d, d’ , tu, 'U ayant la même signification qu'aux n"* 590-501, et k étant le nombre de systèmes de valeurs de ~ (inmi. a) et de p (mod. v), tels, que ( — l ÿp"' soit congru <t une puissance de g* (niod. n) et à une puissance de g"' (mod. jt’) {,590-.501 ).
On l•l•mal■(|u^‘ra d'ailleurs qu'il faut, pour que F soit primaire, qu'il «•ontiennc une siihstiliition qui permute les deux systèmes : elle sera de la forme Il faudra donc que parmi les systèmes de valeurs ci-dessus déter-
minés pour r, 6, il y en ait un au moins pour lequel on ait T = i .
<>57. La consirtielion du groupe F qsi ainsi ramenée à celles des groupes auxiliaires I., I/, qu'on devra clioisir^liaeuii aussi général que possible dans sou espèce. Leur délerminalion conduit donc au problème C. Kn les (dioisissanl diversemenl, on obtiendra pour F autant de grouftes différents. Mais fé /'on prend successivement pour L, par exemple, une suite de groupes semblables entre eux 588), les divers groupes F ainsi obtenus seront euxmêmes semblables entre eux (589).
638. Ucmarque. -- Soit F un groupe de première catégorie construit eomine il vient d’être indiqué. Prenons [loiir imliees indépendants, à la place des indices jJ! du premier système, les fonctions réelles x',,
r'j,... dont ils dépendent; et pour imliees indépendants dans le second système, il la place des indices imaginaires (s, I,. des fonctions réelles y', , y',,... choisies de telle sorte que les exposants d'échange C,' ), '(Cj'jF.j'J, . . . soient congrus à i , et les exposants d'échange (Cv,<y,).-.. congrus à zéro. Cela sera toujours possible (293), et dans le l'as oii le groupe doit être hypoabélicn, les substitutions Cj', auront
toutes le caractère zéro. Le groupe sera donc contenu dans le groupe hypoabélien de première espèce (293). ,
Soient a-,, y,,... les indices imaginaires. Les nouveaux indices x\,y'^,... auxquels le groupe est actuellement rapporté, sont desfonclionsdea',,y
. DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. iV.<
(|ui ne sont délcrminées que par les exposants <rpcliaiigc (et les caraelèresj lies sul)stUulions comsponilanics. On pourra les choisir île diverses' manières, et obtenir ainsi divers groupes; mais eliaeun de ces groupes est semblable à celui qui correspond ii la solution évidente jt', = J',, v', = v,,... Car on l'y ramène en le translormant par la substitution
laquelle est évidemment abélienne propre (bypoabélicnne).
S IM. — GrOI'PICS INIlKCOMPOS.\nLBS S>K SBCOM)!'; CSTlCGOniE.
639. Suit r l'un des groupes cberehés. I.es indices indépendants étant l'boisis de manière à ramener son premier faisceau F à la rurme eanoniqne, .se partageront en systèmes, contenant chacun av séries, contenant je indices; et la r''"‘ série de chaque système sera conjointe à la r-^- v''"'
On voit d’ailleurs, comme au n® 615, qu’il n’y a qu’un seul système, sans quoi r serait décomposable.
Soient a:,, »,..., les nouveaux indices;
C,.,... les substitutions correspondantes. On peut choisir ces indici-s (2i7-25l) de telle sorte qu’ils se partagent en deux espèces : i® les uns, X, y,... associés deux à deux, de manière qu’on ait
(i3) (niod. /.);
les autres, u,... tels que l’un ail
04) (r,,C.,^,)3er’,
e étant une racine, arbitrairement choisie, de la congruence
(i5) er'-*=— I {mod. />);
les autres exposants d’échange étant tous congrus à zéro. Il pourra d’ailleurs se faire qu’il n’y ait d’indices que de l’une de ces deux espi-ccs. Quant aux caractères des substitutions C^.,,... dans le cas où F est bypoabélicti, ils seront congrus à zéro (292).
Chaque substitution de F est complètement déterminée lorsque l’on connail les fonctions qu’elle fait succéder aux indices de la première série, car elle remplace les indices conjugués par des fonctions conjuguées. Nous
Wl> UVBE OirATOIÉME.
poiiiTori.s donc, dans l'expression de ces substitutions, supprimer comme supernucs les indications relatives aux autres indices.
tUO. Soit / une racine arbitraire de la congruence
(iti) (mod./;).
Ullc pourra s’exprimer en fonction de l'imaginaire i de degré av qui a déjà été introduite : car clic satisfait à la relation
(inod. fi}.
, t'.ela pose, la substitution
■f = 1 x„ y, x„ y lu 1
cstabélienne propre (hypoabéliennc) ; car elle transforme
(C.,C.,«) en (C.,, a,
qui lui est égal en vertu des relations (i/|) et(i6).
Soit maintenant une substitution de 1’, qui remplace les indices de la première série par des fonctions de ceux de la o + i"'"' par exemple; on aura évidemment <> = ^ étant une nouvelle substitution abélicnne { hypoabéliennc) qui ne déplace pas les séries: et 1’ résultera de la combinaison de celles de scs substitutions qui sont de la forme ^avec une seule substitution, de la forme (.")57).
Parmi les substitutions de la forme on doit remanpier celles de la forme
(17) 1 = 1 J., « ax„ ay„..., au,,... |.
à laquelle appartiennent les substitutions de K.
Une substitution de cette forme multiplie les exposants d'échange par Pour qu’elle soit abélienne, il faudra donc que l’on ait
(18) = m (mod.^l,
rn étant un entier réel; congruence dont les racines, satisfaisant a fortiori à la congruence
ar"~' = m r'~' æ 1 ( mod . p ),
DE LA RÉSOLUTION PAR RAOICAUX. Wl
s'exprimeront sans nouvelle imaginaire. Uéciproquemenl, un voit, rumme au n“617, (|iie rconlicnt toutes les substitutions île la forme (17), où a satisfait à une congruence de la forme (18). Kn particulier, celles ilc ces substitutions pour lesquelles m = 1 seront abéliennes propres, et appartiendront à K.
D’autre part, soit W l'une de ces substitutions, pour laquelle on ait m = g; \V multipliera les exposants d’échange par gi donc 1' aura pour exposant l'unitc, et résultera de la combinaison de \V avec des substitutions •abéliennes propres.
Cil. Si chaque série ne contient qu'un indice, les substitutions de la forme ^sc réduisent à celles de la forme {17); adjoignant à ce faisceau la substitution <î qui lui est permutable, ifh obtiendra le groupe cberché I", qui ne pourra être déterminé que d’une seule manière, et dont l’ordre est évidemment égal h av (/»•-!- i)(/> — 1).
6i2. Passons au cas plus général où chaque série contient plusieurs indices.
TiiÉoiiéxis. — 1^. groupe T contient des substitutions de lu forme autres que celles de la forme 4’ .
Nous allons prouver en clïet que s’il en était autrement, P ne serait pas général.
Soient '1',,... les substitutions de la forme 4’, l'i,...; i.i *l’o,
;j, 4', les substitutions de la forme ^ étant égal à l’unité): la
substitution (|ui, combinée aux 4', reproduit P, par hypotbi'se. Les
groupes Po, P respectivement transformés de P par les substitutions
^ sont respectivement dérivés des 4' et des transformées de
Soient transformées. Deux cas seront à distinguer :
i*Si = ^j,, ?iîr' permutable à P. et pourra lui être adjointe, de manière à former un groupe plus général (5.â8).
2" Si au contraire les substitutions sont toutes distinctes, elles
repro<luiscnt toute la suite 5 ; l’une d’elles, par exemple, se ré-
duira donc à l’unité. On peut alors déterminer une substitution X, de forme cl permutable au groupe P,, dérivé des 4' cl île >/'4'^,. En effet, s’il existe des indices a-, v, de première espèce, on pourra poser
X = I x„ .r„. . ., Il —X,,...,
et si tous les indices sont de seconde espèce, on posera X = | «„ H,. «',... ].
I« LlVnE ül'ATHlÈME.
La li’ansfoimée de X |iar sera de (bnne ^ el permulablc il 1'. Elle |M)iirra doue lui être adjointe, cl re groupe ne sera pas général.
C.oROLi.AiHK. — r conlienl <hs subslilulions abéliennes propres de la forme ^ aiiires tpte celles Je F. Far soient 2, une suhstitulion de la fonne .^i|ui soit eonlenue dans F sans cire de la forme M': le facteur par lequel elle mul-
tiplie les exposants il'érliange ; F contiendra la substitution W i|ui est abéliennc propre, de forme .J et n’apparlienl pas à F.
(U3. Les substitutions abéliennes [iropres de forme .J, eontenues dans F, forment donc un groupe partiel, plus général que F : il est d'ailleurs évidemment permutable à toute siibi^ilulion de I'. On pourra donc y déterminer un faisceau G plus général que F, dont les substitutions soient éebangeablcs entre elles aux F pri-s, et auquel toute substiluliou de F soit permutable (328). Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le eboisirons de telle sorte que son ordre soit minimum.
Ou verra, comme aux n“* .ô5!)-3(il, que G résulte, de la combinaison de F acee une double suite de substitutions U,;...: A^, B,, telle, que chacune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une des relations suivantes :
où 5 désigne la substitution
I a-„ « 0r„ Ou |,
et le facteur 5 une racine primitive d'une congruence binôme de degré premier
6‘-=i (mod./;).
La substitution 6 devant d’ailleurs faire partie de F. on* aura = i (mod./»), d’où p’-c-t^o (mod. a).
On verra ensuite, comme aux n"' 3G2-3C6, que le nombre jx des indices de chaque série est un multiple de té’, tel que fté’, et qu’o/i peut remplacer les indices actuels par d'autres indices s ^ choisis de telle sorte que les substi-
tutions .A,, B,, .Aj, Bj,... prennent la fonne
•A,= ; u,ï,...cj, a.om
DE LA Kfc«>UJT10N PAU RADICAIX. IK.1
Si n est preniier impair, cliaciin des coellicicnis a,, sera le proihiil d<' fadeurs /, 9, S. duii( cliacuii est le eoelTicienl d’une sulisliliilion de F (5ES). Ils s’exprimeront donc sans inlrodticlinn d'imaginaire, d on pourra les su/>- /mer réduits à Vunilé. (’.ar si l'on désigne par a,, b les sulislilulions
|[ï.|....£]. «, IS. I
(pii sont contenues dans F, G sera dérive" de la combinaison de F avec la double suite a~' A,, b~' U,,..., où les coefficients ont disparu.
Si fr = 2, cbaciin des coefficients a,, b,,... sera le produit de facteursyi O. par un facteur J',j étant une racine primitive de la congruence
j'^i ( müd. /i) ;
d'ailleurs, 1 étant divisilde par 2, p^'— 1 le sera par 4: on aura donc ye”-' = i (mo(l./<).
Donc y, et, par suite, a,, b,,... pourront encore s'exprimer sans introduction d’imaginaire nouvelle. Mais deux cas .seronLà distinguer : i" Si /»’' -t- I est divisible par 4, on aura
yr'+'si (inod. p);
F contiendra la substitution
et l'on pourra, comme dans le cas où a est impair, réduire à l’unité cbacuti des coefficients a,, h,
2" Si I = 2 {inod. 4). y n’appartient pas à F:niaisy'’=5 lui appartient. Cbacun des coefficients a,, b sera donc de la forme / ou de la
formcy[/', /étant le coefficient d’une des substitutions de F. Suivant (pie le coefficient considéré, a, par exemple, sera de l’une ou de l’autre de ces formes, les racines de la congruence caracléristiipie de la substitulion correspondante A| satisferont ou non à la congruence
(nlod. /i).
Or, en opérant comme au n°.570, on verra que les facteursoj.i.,... pourront être réduits à l’unité, et les facteurs tt,, b, tous deux à l’uuite, ou tous deux à y.
