LIVRE OL'ATIlltME
645». Soieiil les substitutions correspondantes aux nouveaux iii-
iliccs [I, Leurs exposants d'échange ne sont pas altérés par les substitutions A,, B,j Aj, ■
i" Or A, multiplie l’exposant d’échange
Cr^r,....'.r*.) par (af'*'
Si O, = I, ce facteur, ne se réduit à l’unitc que pour = Donc l’exposant d’échange considéré doit s’annuler si Ç, <?,.
Si a, = y, ce qui n’a lieu que si p'‘-h i = a (mod. 4). eo facteur ne se réduit à l’unité que pour :=|, -i- i . Donc l’exposant d’échange considéré s’annulera si
2“ B, le transforme en c.r+v)- Donc si
fl, = a, = I , l’cxposaiit d’échange considéré sera indépendant de la valeur de si è, = a, = j, il changera de signe lor.sque £, variera d’une unité.
Les substitutions .X,. B-,... donnent lieu à des résultats analogues; mais rtj. se réduisant à l'unité, on n’aura pas de distinction à faire.
On peut résumer ces résultats dans l’énoncé suivant :
ikiil a, = h, = y", v étant égal à o ou à i ; l'exposant d'échange ( f-{, I,,. ,, C(' c ne différt de zéro que si l'on a
— a 3 — E,s. . .= o (mod.;:).
Il est indépendant de £,,... et se troiiee multiplié parh'^ lorsque |, croit d'une unité.
045. On peut d’ailleurs, sans altérer l'expre.ssion des substitutions F, .4,,
B prendre pour indices indépendants à la place des indices [no...o]o
’oo..., p' — i]„ des fonctions quelconques de ces mêmes indices, pourvu qu’on altère parallèlement dans la première série les autres classes d'indices correspondant aux divers systèmes de valcursdes indicateurs!,, il conviendra de faire subir en même temps aux indices <les autres séries des altérations conjuguées de celles-là. Il reste donc dans le choix des indices nu certain arbitraire dont on peut profiler pour préciser l’expression des exposants d’échange qui ne sont pas encore déterminés.
.Soit d’abord a, — h, — i. Nous avons vu (247-231 ) qu'on pourra déterminer les indices [oo...oj„,..., [oo..., p' — i j„ de telle sorte qu’ils se partagent en deux espèces : les uns, tels que [oo...o]„ ''00...1 associés
DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. W
(li'ux il (Ii'ux, (le telle sorte que l’on ail
— '»C« (mO(l./>),
les exposants (l'écliange de et de C,,...,» avec les autres sulistitulioiis
de la forme C,,,...,., étant tous congrus à zéro; les autres, „ par
exemple, tels que l'on ait
(iiiod.pj,
e élant une racine arbitrairement clioisie de la congruence (i:î).
(ilfi. Soit maintenant a, = b, = j, d'où n = a. On pourra clioisir les inilices [oo..,s^„ de telle sorte, qu’ils soient de deux espèces : les uns, [00...0],, [00... I associés en croix aux indices analogues fio...o „ 1^10... 1 1, de telle sorte que l'on ait
( L s— [ ^ I (inod.
les exposants d’échange de et dcC,„...,, avec les autres suhstilutions
de la forme C,,...,, étant tous congrus il zéro; les antres, oo.../n , par exemple, tels qu’on ait
(0»..„C„^,,) = < (nioil. p).
Supposons en effet qu’on puisse choisir les indices [00... si. de telle
sorte (|ue les substitutions C.o.-ji'-i.» correspondantes à ;i' — m
d'entre eux aient chacune des exposants d'échange congrus à zéro avec chacune des substitutions C,„...r, excepté avec sa correspondante dans la suite •im,..».'..---. mais qu'il soit impossible de les clioi.sir de telle sorte
<|ue plus de a' — m d'entre eux jouissent de la propriété ci-dessus. Posons
p' pr m*'
IV = c-; ,. C‘: ...... C*-L
On pourra choisir a„, île telle sorte que les exposants d’échange de D,„ avec soient tous congrus à zéro.
En effet, les exposantsd’échangcdeC„...,o,C.o...,o,... avecC,„.. étant égaux, au signe près, âceux de C... avec C, C,o ..,„... élevés à la puis.sancc p", sont congrus à zéro. Par#uite, les exposants d’échange de l)«. avec C, „ sont identiquement congrus à zéro; et pour que Ifs autres le
soient, il suffira que les rapports de a soient déterminés par les
isi; LIVBK OlATmtMK.
m — I congrueiK-i's résumées diins la fornuile suivante :
l.e eoetfieienl «„ sera iiéces.sairenK'Ut congru à zéro; car s'il ne l'était pa.s. lin pourrait prendre pour indices indépendants, ii la place des indices
OO...ÎJO ceux i|ui correspondent aux substitutions D„, , C,»...
...tc-i.o parmi le.s(|uelles il en est ju'— m -t-i, D„,. ('■«i, .m». --. dont les exposants d'écliange avec celles de la suite D,„ C,, soient tous con-
grus il zéro, sauf ceux-ci :
résultat i|ue nous sujiposons impossible.
Soit donc «0 = 0 : on en déduit
( l)„ I),. t rn a'-’ ( tu C..„ . -l- aÇ; . ( D„ C = O.
Parmi les coeflicicnis « qui ne sont connus que parleurs rap-
ports, l'un au moins, sera (mod. />). On pourra prendre pour indices indépendanis ceux qui correspondent aux substitutions C„, , oo, D»o
, s'-i.n- Kl si l'on suppose que cela ail été fait d’avance, se réduira
Déterminons maintenant des substitutions
