fO ,m
telles, (|ue les exposants d’échange de E«, avec C,, ,,vt soient tons congrus h zéro. Nous venons de voir que cela peut toujours se faire, et que j5, .sera congru il zéro, ainsi que (E„, E,,). Mais jS, ne le sera pas; car, s’il l'était, l’exposant d'éeliange de E„, avec C,„„ „ serait égal à
pi ( (.M . it Ci,.,.l + . . . -l- fim—i (!.«•- ..n— I,# t-i,. .1» ),
expression dont chaque terme est congru à zéro. D'autre part, l’exposant d’échange des substitutions Cao . u, et par suite celui de avec une substitution quelconque do la forme C«T..,.tr est congru h zéro si l'on n'a pas ; nia I, »! ==o,... (mod. ir), r = v (nSd. av) (6+i). Donc E,„ aurait tous scs expo.sants d’éebangc congrus h zéro, ce qui c.sl inadmissible, l.e eociricicnl (î, n’étant pas congru ii zéro, on pourra prendre pour in-
DK LA IIÉSOLUTIOX PAU IIADIKAIX. 1x7
ilioes indé|ipii(lanls t-etix qui corrcspondenl aux sui)s(itution$E„, C„, fl si l’on suppose (|uc cela ait clé fait d’avance, E„„ sc réduira à C,,,..,»- On voit de la niéme maniéré que les indices fo<>...2],, [oo...3 „ pourrunt être cliuisis de telle sorte (|ue les exposants d’échau}?e des sulistitulions correspondantes avec, les substitutions soient tous congrus ii zéro,
sauf ceux-ci : (0„,...,„C|, (C„,...,,C,o...iv); et l’on continuera aitjsi jusqu’à ce qu’on ail épuisé le nombre des m premiers indices de la suite
qui se trouveront ainsi groupes en — couples.
047. On peut doue choisir les indices de telle sorte que tous les exposants d’échange de la forme C,o„y,) soient congrus à zéro, sauf
ccux-ci :
Il reste à prouver (|ue ces derniers exposants d’échange, que nous représenterons pour abréger par k„, k,^ k„,..., peuvent être réduits à l’unité.
Pour cela, prenons pour indice indépendant, au lieu de [oo. ..<> celui-ci : k„, [oo...n^„. I.a substitution correspondante à ce nouvel indice sera exposant d’échange avec C,,...,, sc réduira à l’unité. On peut doue supposer k„, = i . Cela posé, on aura
Les exposants d’ccliange X,,,... étant ainsi réduits à l’niiité, passons aux suivants, fels que k„. Prenons pour indices indépendants, à la place lUs indices [£, ceux-ci auxquels correspnmieiil les
substitutions On aura
(t.** ,.,of-ic , s-iï
expression qui se réiliiil à l’unité si l’on a ('<>)
Mais on a
X* ^ — ( t.,K.TC t.H -W. )" (C„. .w, )— XC,,
d’où l’on déduit
(*o) </f ■-'*3l/.S’ 'sc 1,
fl« LIVRE QUATRIÈME.
relation (|ui montre que les racines de la congruence (19) sont des entiers complexes ne contenant d’autre imaginaire que celle de degré av, déjà introduite dans le calcul. On pourra donc déterminer d sans difficulté.
IÜ8. 0/1 peu! déterminer une substitution î qui remplace chaque indice par une fonction de ceux de la série suieantc, transforme A,, H,, Bj,... en A*],
B,, A'j, fiTj,..., et qui en même temps soit abélienne propre [hypoabélicnne).
Bn effet, les indices étant choisis comme il vient d’étre indiqué, soit d’a- Imrd a, =■ b, = i . La substitution
où / est une racine de la congruence (i6), satisfait aux conditions imposées à 'î. Si a, — b, = J, la substitution
y satisfait.
En général, il y aura plusieurs substitutions satisfiiisant aux conditions ci-dessus. Soit® l’une d’elles, choisie arbitniirement, et que nous nous réservons de déterminer ultérieurement avec plus de précision. Chaque substitution de r, remplaçant les indices de la première série par des fonctions de ceux d’une même série, telle que la p -t- sera de la .forme étant une nouvelle substitution abélienne propre, qui ne déplace pas les séries. En outre, I" sera dérivé de la combinaison de substitutions de la forme .gravée une seule substitution, de la forme (.'>57).
(H9, Soient maintenant = une substitution quelconque de F:
/, A"' B';-..., g, X\' B'[' les transformées de B,,... par x’L
On verra, comme aux n” 577 et 378, que la substitution
de. degré jt”, corrélatke de ’<?, a son déterminant non congru à zéro; quelle est abélienne, et multiplie par p^ les exposants d'échange mutuels des substitutions
.f.i&L. .= I X,, ar, -I- a„ y, -I- p,,. . . |.
F.nfiét, si l'on a p" -h i { mod. 4) et n = V appartiendra au premier groupe hypoabélicn si a, = b, = 1; au second, si a, = b, = j.
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX
050. Itccipruqucmenl, soit V uiiu substitution quelconque salisl'aisunl à CCS conditions : cherchons k délermincr une substitution abélienne (bypoabélicune] dont V soit la corrélative.
1° Soit d'abord n preinidi' impair. On aura V= P^Q, P étant la substitution qui multiplie Æ,, par/<, sans altérer /i.j,,..., et Q une substitution dérivée des substitutions L^, .M^, du n” 220. Or la substitution ‘f Pt les substitutions du n"579 ont respectivement pour corré-
latives P, L^, Mji, Np,.,. Elles sont d’ailleurs abéliennes (bypoabéliennes).
En elTet, dans le cas où il y a lieu de considérer les caractères des substitutions ces caractères sont congrus k zéro (292); et il en est évidcin-
inent de même de ceux de leurs transformées par 011^, X^,,.
Passons k la considération des exposants d'échange. multiplie
(Q.5. ...O- fif.tV ■«'/') P»'' facteur lequel se réduit k
nue puis.sance de 5'’’'^'=i, si cet exposant d'échange dilfere de zéro, autjiiel cas on a = r' ~r + v. La même observation s'applique aux substitutions X|,,. Quant aux substitutions considérons l’une d'elles, ■X, par exemple. Elle transforme
Si l'on n’a pas l", — ç, s=. . . = o (mod. n), — v==o (mod. avj, l'ex-
posant d'échange des substitutions considérées s'annule; et il en est de mêmes de celui des deux transformées; car les exposants d'échange des facteurs qui les composent, comparés deux k deux, s’annulent séparément.
Soit au contraire Ç'j — |j o (mod. rr), r' — r — v = o (mod. av) :
(Ct,t,...i,C{'^fj...er') sera encore congru k zéro, si l’on n'a pas f,-— £,; et si celte condition est satisfaite, il sera congru k (C„,, „Coo.,.«v). <|uanlilé <]ue nous désignerons par k. De même, deux facteurs quelconques pris dans I) et D' auront leur exposant d'échange congru k zéro si l’on n'a pas m = ni', et congru k dans le cas contraire : on aura donc, en remar-
quant que 9"',
(1)1)')=* ^ SU.-î',)"/.
Or si on aura
S'.L-f.Pr' —
LIVHK yUATnifcME.
el celle relaliun, divisée par i donnera
^ O, Ü’où {l)llkij~«,
«r Sci
Si, au rontrairc, S, =|', , <roii 6^'“^' = i, on aura
(I»I)') = Xt:.
Donc .mi est al>éliennc, et multiplie les exposants tréeliange par n.
Cela posé, la substitution ■<?, formée avec if, 3H.^, de la même manière que V l'est avec P, L,., M^, Np,.,, aura évidemment V pour corrélative.
a" Soit a = a et /j’-t- i =o {mod. 4). La substitution r,, prendra la forme
tl,= I (îi • ■ tj. ■ «]. I.
et rien ne .sera changé au raisonnement.
V Soit K = a, /»’'-+• I = a (mod. 4). a, = />, = i . La substitution V, étant bypoabélienne de première espèce, sera dérivée des substitutions M,,. N,,.., (263), et V'' le sera des substitutions eorrélatives .tR.^,
4” Soit iT = a, /)''-+• 1 Ï5: a (mod. 4). «> = /■'i = J- Nous prendrons alternativement pour indii'es imiépendants les indices [Ç,£,...eJ, ou les imiiees
a, (} étant un système de solutions de la congruence a’-i-jî’=— 1 (mod./>).
Les substitutions R,, rapportées à ces nouveaux indices, prennent la forme
ii.-i i:
et les autres substitutions R,,... ne changent pas de forme.
Cela posé, la substitution V est dérivée de celles des substitutions .M,,, Nf,,, pour lesquelles ji, v sont > i, jointes aux substitutions L,, M,, ü du n° 278. .\ux substitutions N^,v on pourra faire correspondre, comme tout à riicurc, les substitutions Aux substitutions L,, M,, U on
ÜE L.\ nt:SOLUTIOS PAH HADH'-aX. HM
|nMirra l'aire correspondre des subslitutions oa,, ci, ajaiil la rorme iiidiipiée au n“ 579. En effet, on voit iniinédiatemeni que ee» subBliliitions uni pour eorrt'lalives L,, M,, U: et nous allons vérifier d’autre part (|u’elles sont abéliennes (hypoabéliennes).
En elTct les substitutions respectivement correspondantes aux
nouveaux indices f*, . i]',. , sont évidemment égales aux puis.sanees
'' dps substitutions üj, 5, Leurs exposants d’échange mutuels
(Ci.t, Cf r^ n ) ~ (Ct,i,..u<> î*. ,v)
sont donc congrus h zéro, si l’on n’a pas
— Ç, — I = f, — {.SS. . .so (luod. r ), »•'" r 4- > ( moil. ïv),
et si ces conditions sont satisfaites, leur valeur est indépendante de ç.
et change de signe lorsque varie d’une unité. En outre, leurs carartères (dans le cas où il y a lieu de les considérer) sont congrus à zéro.
Cela posé, t;^, transforme .riCfC, ,v e"
Ci,!. ,r , t.f,C •
elle multiplie donc leur exposant d’échange par (i 4- 4- j6’'f . Cju facteur se réduit à 2 toutes les fois que l’exposant d’échange considéré n’est pas congru à zéro; car il est alors égal à
(' 4- >&•■/{ I (mod. p).
ou, commc/>’'=i (moil. 4). d’où 6'“' 5, ii
(1 — (y6‘']‘y’ S3 2C' csa (mod. />|.
D’autre part .Te, transforme ces mêmes subslilulions en
Si f, = I,, l’exposant d’échange i des substitutions considérées est congru à zéro, et celui /' de leurs transformées est égal à
O'-/' '-(/■ 9=' ’/'*•(=< - Pjvy\ i. -.=o.
l'is LIVRE OUATRIKME.
Si Z, ~ë, I , i' csl i-gal à
Donc .'IR-, est abéliennc, ei inulliplie les exposants d’échange par 2.
De son côté, ï) Iransfornie „ en en posant pour ahia^er
cl l’on vérifie de suite (|u’ellc multiplie les exposants d’échange par
Knlin, dans le cas où il y a lieu de considérer les caractères des suhslitulions ces caractères seront congrus h zéro. Il en sera de même des
caractères de leurs transformées, chacune d’elles étant le produit de facteurs dont les caractères et les exposants d’échange mutuels sont tous congrus à zéro.
651 . ha suhstitution ■vP, que nous venons de déterminer, n’est pas la seule
siilistilulion de la forme qui ait V pour corrélative. Mais on verra comme au n® 580, que toute suhstitution 2 qui jouit de cette propriété est de la forme G étant une suhstitution de la forme
Quant à la substitution elle est égale à <fh, s étant de la forme
D’ailleUrs elle est abélienne (hypoahélienne); si donc on veut (]ue i le suit, il faudra que G le soit également.
652. Les substitutions .J,, .J,,..., dont F est détivé sont donc respectivement égales à s, G,, *,G Sa s' étant des sub-
stitutions de la forme s, et f,. G,, . .. , G' des substitutions de la forme G. Cela posé, on voit, comme au n“ 581, que F contiendra les substitutions s,, Sa, . . ., G, , Ga, ....
Si fz' SC réduisait à l’unité, les substitutions G sc réduiraient à celles de la forme *f (640). Mais nous supposerons pour plus de généralité que l’on ait /i' > I .
DE I.A BÊSOLETION PAR RADICAUX. m
053. groupe 1’ contiendra des subslilulions de la forme C, autres que relies de la forme y. (^p nous allons voir que, s'il en iHail aulrrinenl, I' ne serait pas général.
Soient 'P,, 'F,,... les substitutions sle la forme 4 ; U»'F„,
G,'Fo, e, 'F,, . celles de la forme G {g„ étant égal à i); s,, ...
•/s'G' les substitutions qui, combinées aux >F, reproduisent F, par bypotbèse. Les groupes r„, F,,..., transformés de F par G», G sont respectivement dérivés des substitutions F, Sj et des transformées de ‘X’*s'G',
lesquelles seront évidemment de la forme 'f*8'G. Soient ‘f*«'G,.'Fji., •1'*s'g^ transformées : doux cas seront à distinguer :
i"Si Ga, = G*, la substitution G,Gr‘ sera permutable à F, et pourra lui être adjointe de manière à former un groupe plus général;
a“ Si au contraire fts substitutions G,^, G,,,... sont toutes distinctes, elles reproduiront toute la suite G,, G|,..; l'une d'elles, G,,, se réduira donc à l'unité. Or un peut déterminer une substitution X, de la forme G, qui soit
permutable au groupe F,, dérivé de F, 8,, s <1^8’ 'F'p^.
En cfl'et, soit d'abord a, = b, = i . Les indices indépendants étant supposés eboisis comme au n” 6F5, on pourra prendre pour <f la substitution (ai) (648), et pour X la substitution
lu.. ."*] [Ï.5....»»] I.
qui est échangeable à toutes les substitutions F, (g, s'.
Si tous les indices étaient de seconde espèce, la construction ci-dessus serait en défaut; on pourra alors prendre pour la substitution
ll?.ï,...4
et pour X la substitution qui échange les indices i ï, |,...o], avec les indices sans altérer les autres indices.
Soit au contraire a, = b,= j. On pourra supposer que g ait la forme (aa); et s’il existe des indices de première espèce, on pourra prendre pour X la même substitution que tout à l'heure.
S'il n’existe que des indices de seconde espèce, on prendra pour X la substitution qui multiplie par — i tous les indices pour lesquels on a t = o, sans altérer les autres.
La substitution X étant ainsi déterminée dans tous les cas, sa transformée par Gr‘ sera permutable à F et pourra lui être adjointe. Donc F ne sera pas général.
i'.U LIVRE QUATRIÈJIE.
f)5i. Le» sulistitulions de forme G conlenues dans I’ forment un grou|ic l>ennutaiile à toute substitution de P. On peut donc (528) y déterminer un faisrcau G', plus général que F, permutable aux substitutions de P, et dont les subslilulions sont éebangeables entre elles aux F près. Si ee faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le cboisirons de telle sorte c|ue son oriire soh minimu/n. Raisonnant comme précédemment, on verra : i" Que G' résulte rie la combinaison île F avec une double suite A',, H’,,.... A, , If, dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une relation de la forme
5' désignant la substitution de F qui multiplie les indices de la première série par 6', le facteur 6' étant une racine de la congruence* ^
5"^' = i (mod. p),
et n' un nombre premier, qui divise /<’ -t- i ;
'à" Que fl' est un multiple de si* , tel que fx"n'’ , cl «lu’e/i changeant convenablement d'indices indépendants , et remplaçant l' indicateur unique e par c' indicateurs »),, ïi,,... rariables de o an' — \, et un indicateur i variable de O il U." — I, on pourra mettre les substitutions A',, B' sous la forme sui-
vante :
sans altérer la forme des substitutions A,, B (sauf le remplacement de i
par plusieurs indicateurs):
i" Que les coefficients <i‘, , A',,... doivent être toujours supposés égaux à i , sauf les deux premiers, qui pourront être supposés égaux à j, mais seulement dans le cas où l'on aurait n' = 2, et p‘-t- i (mod. 4):
4" Que l'exposant d'échange des deux substitutions G>, 5,.. et •V f, ost congru à zéro, à moins que l'on n'ait
— 5, — . so (mod.r),
k', — », — — T„^. . O ( mod. r'),
il et 0 étant respectivement égaux à o ou à i suivant que a, et b,, a\ et //,
le sont à I ou à j-, que cet exposant d'échange, indépendant de Çj rij
est multiplié par 6' ou par 5'“' lorsque Ç, ou r,, croissent d'une unité;
UE U RÊSOLUnON PAR RADICAUX. lO-’i
5“ Qu-i/ Mii/e dans le choix des indices un certain arbitraire, dont on peut pmjiter pour faire en sorte que chacune des substitutions ait ses exposants d'échange avec tes substitutions congrus à zéro, à l’ex-
ception d'un seul:
()“ Qui’ ta substitution peut être déterminée de telle sorte, qu'elle transforme A,, B,, B',.... en A'J, B A'/’, B',,...;
7" Qii'à chaque substitution »? de I', qui transforme A’,, B' en
/.■.Vr-Blc.., ^'.A -^Bf. correspond une substitution
appartenant au gratifie abélien (<i l'un des groupes hypoabéliens] de degré 8" Que chacune, des substitutions P,, P,,..., G' qui concourent à la formation de r est le produit de deux substitutions partielles, ayant les formes suivantes :
. . II»,... é].
9° Que si r, contient les substitutions^,, P, il contiendra les deux sub-
stitutions partielles dont chacune d'elles est le produit; que si ft" > 1 , 1' contiendra une. substitution delà forme (a4). autres que celles de la forme *{' ; que parmi ces substitutions on pourra déterminer un second faisceau G', analogue à G e/ à G'; etc.
655. Supposons, pour tixer les itiées, que fji’se rêiluise à runilé. Les substitutions de lat^rme (a4) se réduiront à eelle.s de la forme T. L’indicateur n’étant susceptible que de la valeur zéro, pourra être supprimé.
1“ Soit d'abord a, =s 5, = à, = b', = 1. Les exposants d'échange mutuels des substitutions seront tous congrus à zéro, sauf eeux-ci
{f-Ut, ■s.-rQ.î. .'. '•♦■») nui peuvent être supposés égaux à <^(251 et 645).
On pourra prendre dans ee cas
2” Soient a, = 6, = f, a', — b', — f ; l’un des entiers u, u' étant égal à I, et l'autre à zéro ou à i. Les exposants d'échange mutuels des substilii-
m LIN RE OlATRItME
lions soront tous congrus à zéro, sauf ceux-ci :
{ ïg^.Si ti+s.* f-v)»
ijui seront égaux à 5'*'$'“ k étant un facteur constant, qu’on peut supposer égal à I (647). On pourra prendre dans ce cas
636. Soient maintenant x<= *^.2^ une substitution quelconque de I'; ses deux corrélatives V, V" appartiendront respectivement aux groupes abélicns (bypoabéliens) de degrés ff*’, et y multiplieront les exposants d’écliange par Les deux groupes A, A', respectivement formés parles substitutions V et par les substitutions V, seront résolubles et primaires (584).
Réciproquement, suienl L. V deux groupes résolubles cl primaires, respeelùement contemis dans les groupes abéliens [hypoabeliens) de degrés ri‘”. Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte ipie deux substitutions associées V, V' multiplient les exposants d'échange pat des facteurs respertieement congrus à [fi, suivant les modales jt et 7t'. A chaque système de substitutions associées on pourra faire correspondre une substitution %?, de la forme dont V, V' soient les corrélatives. Ix groupe V formé
par les substitutions ainsi dé tenninées, jointes aux substitutions *l', H,
,\'i , IV, , . . . , sera résoluble ( 585 ), et restera le même, de quelque manière qu'on choisisse la substitution x'> (586y. Son ordre est égal à
av, , ,, dui.d'tù'
T'/*'- (rr-^-i)(V-0
<5, d, d', (U. !u' ayant la mime signification qu'aux n'* 590-591 .
657. La construction de P est ainsi ramenée à celles des groupes auxiliaires L, I/, qu'on devra choisir chacun aussi général que possible dans son espèce. Leur détermination conduit au problème C. En les choisissant diversement, on obtiendra pour P autant de groupes différents. Mais si l'on prend successivement pour L, par exemple, une suite de groupes semblables entre eux, les divers groupes P ainsi obtenus seront semblables entre eux ••.■>89 J.
658. Le groupe P construit par la méthode précédente est rapporté aux
indices imaginaires f?, mais on peut les remplacer par des in-
I>E I.A RP,SOI.L'TION PAR RADIf.VCX P.lT
(lices réels x’,. y,,... lels, (|ue les substi(utions correspondantes aient tous leurs exposants d’échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux-ci :
(C/, (C,’,t„')^i, (tv,t-y,)E3— C/J e»i , . . .
Quant aux caractères des divers couples de substitutions C^;. dans
le ras où il y a lieu de les considérer, ils seront tous congrus à zéro, ou l’un d’eux sera congru à i, suivant qu’en groupant dans une même classe les indices imaginaires conjugués, le nombre N des classes qui sout leurs propres conjointes sera pair ou impair (295-299). Suivant ()ue l’un ou l’autre de ces cas se présentera, P sera nécessairement contenu dans le premier ou dans le seeond groupe bypoabélien.
Or si l’on a a, = b, = i , à, = b\ — i, on aura N = [X; et suiv.int que ce nombre sera pair ou impair, on tombera sur l’uri ou l’aulrc cas. Soit au contraire a, = b, -- j\ on aura = <>: mais dans ce cas on a a = 2; donc fji est pair. Donc, stmani que ix est pair ou impair, on aura N = o ou N = 1, et par suite P appartiendra au premier au au second groupe hypoabélien.
Soient X, les.indices originaires. Les nouveaux indicesx',, v'
auxquels le groupe est actuellement rapporté, sont desfonrtionsdex,,^',
(|ui ne Sont déterminées que par les exposants d’échange (et les caractères) des substitutions correspondantes. On pourr,a les choisir de diverses manières, et obtenir ainsi divers groupes; mais chacun de ces groupes peut
se ramener à celui qui correspond à la solution évidente x', = x,, v', =y,,
Il suffira pour cela de le transformer par la substitution
laquelle est abélienne propre (liypoabélienne).
S 1\'. — GrOIIPKS I.VDiiCOMPOSXBlES DE TROISIK.UE C.%TÈGOHIE.
659. Soient P un des groupes cliercbés; F son premier faisceau. Prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent F à la forme canoni(|ue : ils se partagent en systèmes et séries. Soient x, y,... les indices de l’une de ces séries, S une substitution de F ; a, [i les facteurs par lesquels elle multiplie respectivement les indices de la série x, y,..., et ceux de sa conjointe : on aura — t (mod. p) (241 ); mais la série x, y,... est sa propre conjointe, d’où
a’sôsi (niod. ;>).
i!l« LIVRE OL'ATHlfcME
Donc <'li:u|uc sulisliluliun de F inulliplio cliaqiic indice par le faeteur lécl ± I. Donc cliaque svslêine ne conlieiit qu'une série. On voit d’ailleurs, eouiuic au n”6l5, (|u’il n’exisle qu'un seul svslènio : d’oü le résullal suivant ;
!^s imliees ne fnnnent qu'un seul système et une seule série ; et F ne contient que les deux suhstitulions qui mulliplient respectivement tous les indices par I ou par — i .
Si P était égal- à a, toutes les substitutions de F se réduiraient à l'unité, résultat absurde ; donc p est impair.
()60. Ola po.sé, on peut choisir les indices indépendants »i, c; é;... de telle sorte (|u’on ait
((:.C) .-;Cv(V) = 1.
les autres exposants d'échange étant tous congrus à zéro (253). Cela lait, soit ^'une racine primitive de la congruence mnd./»); la substitution‘f qui multiplie u, ii',... par g, sans altérer i>, multiplie les ex-
posants d’échange par g-, et toute substitution de r'(|ui multiplie ces exposants d'échange par un facteur tel que sera de la forme .j étant uiie substitution abélirnne propre. Entin, par un raisonnement analogue à celui du n“ 557, on voit que F résnltera de la combinaison du groupe A formé par celles de ses substitutions qui sont de la forme j avec une seule substitution de la forme
CCI. l'ilKonéMii. — Le groupe F contient des substitutions de la forme ^ autres que celles de F. Supposons en clTet qu’il en soit autrement, nous allons prouver que F ne peut être général.
Soient les deux substitutions de F; 2./,. J,/,.... celles
de la forme .J. Soit d'autre part '1'’'.^' la substitution qui, combinée à F, reproduit F. Des groupes F,. F transformés de F par J,... seront res-
(>ectivement dérivés de la combinaison de F avec les transformées >,/<). . .... de et detix cas sont à distinguer :
i“ Si l’on a une égalité telle que .J,, = J,,, on peut adjoindre à F la substitution : donc il ii’est pas général.
a" Si les substitutions Jj,.... sont toutes distinctes, l’une d'elles, par exemple, se réduira à i. Il existe une substitution abélienne X non contenue tians F,, et permutable à F,, tiar, si/» > 3, on pourra poser
\ I «. e. e',... gu, gv, gu', gv'.... \,
H .si f) ~ ^
DE LA KÉSOLLTION l'Alt RADICAI X.
AW
X I n, », «■, II, v'. II,... |,
l.« iransl'oriiire de \ par sera pcrtmilable à P, el pourra lui cire adjoinle.
()C^. Le groupe partiel A étant évidemment perniulahle aux substitutions de P, on pourra (528) y déterminer un second faisceau (î, dont les substitutions .soient échangeables entre elles aux K prés. On verra comme aux II"' ôSift-ôGI que (J résulte de la combinaison de F aire une double suite de
substitutions. A,. B A,. B, telle, que chacune de ces substitutions soit
erhanf’eablr à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une des relations suieantes :
