H LIVRE QUATRIEME

l-'n prenant d'itilleurs |i()iir indices indépendants à la place des |£,Ç,,...e]< les fondions

on ramènera A,, K, à la forme

= -sr. +

■sans altérer l’expression de A,, Bj

2" Si p— 1=0 (inod. !i),j sera réel; et A,, B, prendront encore la forme (27). si l'on prend pour indices indépendants cenx-ei :

Il nous sera eoinmode de prendre altcrnalivenieni pour indices indépeii- 4lanis les et les [Ç, définis comme ei-dessns.

663. Soient respectivement et Ci,;, , les substitutions correspon-

dantes à ces deux systèmes d'indices inilépendanis. On voit eoinme nu 11“ 641 que leurs exposants d’échange seront en partie déterminés par la conilition que les substitutions .A,, B,, .Aj, B,,... soient abélicnnes propres.

1" Si a, = /»,= 1, l'exposant d'échange sd'a congru à 0

à moins (|u'un n'ait

— — 4-^ • • • = <> (mod. a),

auquel cas il sera indépendant de

2“ Si a, = II, z=j, j étant réel, cet exposant d'échange sera congru à o. Il moins qti’nii n'ait

ç, — ç.— — E,Œ...att) (inod.a),

auquel cas il .sera indépendant de et changera de signe lors(|ue %,

croîtra d'une imité.

3" Si A,, B, ont la forme (26), on aura le même résultat, (lar A„ Bj.... étant abélieniies propres, l'exposant d'échange considéré sera congru à o si l’on n’a pa’s|'j— |,=...= o (mod. 2), ctindépendant de E, l)ésignon.s-le.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. .'Üll

pour abréger, par : A, et B, étant abéliennes propres, on aura

(î8) (moJ.p),

.Mais en tenant compte de la relation (a8) et de la relation — i,

la relation (39) devient

(.+6'.*''')Ai.!'.^o:

donc A’{,f«est congru à zéro si l'on n'a pas 2', =5 -t- 1 (inod. 2); et si cette

condition est satisfaite, il cbange de signe, d'après la relation (28), lorsque é, et S, croissent d'une unité.

nemarque. — Les substitutions A,, B, ont évidcinnient pour caractéristiques des puissances du binôme (K* — 6“), u étant égal à zéro si a, = 1 ,

et à I dans les deux autres cas que nous venons d’examiner : et les résultats que nous venons d'obtenir peuvent être résumés dans l’énoncé suivant : L'exposant d’échange (I'e.j,..., tV,f,...i') congru à zéro à moins qu'on nait

f, — ï. — us — 2, = . . .so mod.i),

et si ces conditions sont satisfaites, il est indé/>endanl de £„... et se trouve multiplié f>ar S“ lorsque croit d'une unité.

I.orsque u = i, on pourra prendre pour indices indépendants les fl, tj'„, et l'on verra sans peine que \'e.rposant d'échange ,C;. )

est congru à zéro à moins qu'on n'ait

l, — ï. — I - î< = . . .5=0 (nioU.a),

auquel cas il sera indépendant de 2,,... et changera de signe lorsque |, croit d'une unité.

664. Soient maintenant V' une substitution quelconque de 1’; /, Aî'Bf'

.Af'Bf'...,... les transformées de A,, B par V). Les substitutions de la

forme Af'Bf'... seront échangeables entre elles, aux mêmes puissances prés de 6, et auront les mêmes caractéristiques que leurs transformées par X>. On en déduit, comme aux n®* 577-578, que la substitution

V = I x„y„.. . a, JT, -t- c, .)•, 4- . . . , h,x, + d,y,+. . . (,

corrélative de X’, est hypoabélienne île première espèce si u = o, bypoabélienne de seconde espèce si u = 1.

UVHE QUATRIE.VE

(><>5. Rùi'i|)i'0(|ueiiiciil, la suhsii union hypoabélieiine V étanl dunnve, on puiiiTa (létcriiiinor und substilulion <> dont elle .soit la corrélative. En cfTel, si a, = b, = t, auquel cas V est liypoabélienne de première espèce, elle dérive des substitutions Mu, du n“ 203. Or les substitutions aii^, du n“ 579 ont pour corrélatives .M^,, et l'on voit, comme au n“ 650, qu’elles multiplient respectivement les exposants d'échange par i et par a. I.ii substitution V‘ dérivée de Til^, comme V l'est de M,,, sera abéliennc, et aura V pour corrélative.

Si a, = 5, = y, y étant réel, ou si .V,, li, ont la lurine (ati), V est bypoabélienne de seconde espèce, cl dérive des substitutions M,,, N^*(oii fi, v sont > i), jointes aux substitutions L,, .M,, U dit n“ 278. Les substitutions ,m^, oii jx, V sont > i) et les substitutions 31t., o du n“ 579 inulti|)lient respectivement les exposants d'échange par a, a, 4 {voir le n" 650) et ont pour corrélatives M^. I.,, ,M,, L’. I,a substitution X>, dérivée de

ces substitutions de la même manière que V Test de M,,, N,»,,. L,, M,. l! est abélienne, et a pour corrélative V.

666. I.a substitution V’ étant ainsi déterminée, les autres substitutions abéliennes dont V est la corrélative sont (580) celles de la forme V.V’ B;'... C, g étant une substitution abélienne de la forme

Quant au facteur B)’..., rapporté aux indices indépendants [£, il sera de la forme

I lî. ^ ni;;; [u,... «!. •

Si j n'était susceptible que d’une seule valeur, les substitutions de G se réduiraient aux substitutions M’ qui multiplient tous les indices par un même facteur constant; ces substitutions, étant évidemment abéliennes et échangeables à toute substitution de F, sont contenues dans ce groupe; sans quoi elles pourraient lui être adjointes pour former un groupe plus général.

667. Supposons, pour plus de généralité, (juc le nombre fi' des valeurs

de £ soit )> I . On verra, comme au n"58l, que si F contient les substitutions s, F il contiendra les deux substitutions pwtietles F,

s,, F„; puis, comme au n® 653, que F contient des substitutions abéliennes

IIK LA RÉSOLL'nON PAR RADICAUX.

propres de la forme G, autres que celles de K. Dans le groupe formé par res siihslilulions on pourra déterminer un second faisceau (î', analogue à 11. U;ii- .'(onnant comiiie précôilcmment, un vi'rra :

I “ Que G' résulte de la combinaison de Y avec une double suite A , , IV, , . . . , A', , IV,. dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle l’est à 5 prés.

■à" Que p! est un multiple de i" , tel que p" a"', el (|u'e/i changeant convenablement d'indices indépendants et rerrqilaçant l'indicateur unique i par a' indicateurs «II, lî],... variables detsà i et un indicateur i' variable de o à p“—t ,

on pourra, sans altérer la forme des substitutions .\,, H, mettre A'j. Hj...,

sous les formes suivantes

I [ïi?.; î’|, -r., 1,

IV, = I [?i ?)• • ■ C-T,!- ■«.. lîi + i',. . . |,

Quant à .V,, B', elles auront fmur caractéristique une puissance de (K’ — 5'';, u' étant égal à o ou à t.

Si u' = O, on aura

I [£' ;>■ «•'il- • ■ î'!« le. G- ■ •