IV. [ïi î" • ■»!•«>■■ ■ *'1« ./ [î-?,- «I - £'].l

.Si’ u' = 1 et P — \ moil. 4 J, on aura

A', = I [;. 5,... T), e'], — S'. [;, ï,..., ïi. + I, ïj.... £’ , I,

3“ Üii veira ensuite i)ue ['exposant d'échange des deu.v substituions l'E,î,...r, fV.f, V, congru à zéro, à moins qu'on n'ait

f, — Si — uemi, — £, = . . . == »i', — .0. — u' £S>î', — . . îso (iiiod. '£ );

(|u'i/ est indépendant de et qu’il est multiplié pur 'j- ou par

lorsque £, ou r,, croissent d'une unité.

4“ Qu’à chaque substitution S» de I’, qui transforme A',. B' en

ri<U LIVRE ÜLATRIËME.

/' A',*' ii\ A'|Vi |}'|*' correspond une substitution de degré

(pu sera hypnahélienne de première ou de seconde espèce suicani qu'on aura ’j' = O ou u' = I .

‘i" Que chacune des substitutions P, E, est le produit de deux substi-

tutions partielles avant les formes suivantes :

(?. Çi... m, »i,.

«■I que r contient chacune, de ces substitutions partielles; que si p" —i, les substitutions de la forme (!li) se réduisent aux M’, et sont contenues dans T. Mais si t , Y contiendra des substitutions abèlicnnes propres de la forme {i\) autres que celles de F ; parmi ces substitutions, on pourra déterminer un second faisceau (1" analogue à G e/ à G'; etc.

Poursuivant ainsi, un arrive à ce résultat : Ix nombre p des indices est une puissance de a, telle que a’*”'*”'.

tiG8. Soient maintenant V une substitution i|ueleonque de F; V, V',... ses corrélatives. I.es substitutions V runneront un jsroupe L, primaire, résoluble de degré a’“ et contenu dans le groupe bypoabélicn de première ou de seconde espèce, suivant que l’on aura u = o ou u=i. Les substitutions V' formeront un groupe analogue L', de degré a’"': etc.

G69. Réciproquement, soient L, L',... des groupes résolubles et primaires respectivement contenus dans les groupes hypoabéliens {de première ou de seconde espèce, suivant le cas) des degrés a”, a*”" Associons leurs substitu-

tions de toutes les manières possibles. A chaque système de substitutions associées tel que \, V',..,, on pourra faire correspondre une substitution ^ ayant fiour corrélatives V, V'..... Le groupe F, dérivé des substitutions K>, jointes à .Vi. B,,..., A',, B’,,... et aux *T sera résoluble, et restera le mime de quelque manière qu'on choisisse la substitution V' (586). Son ordre sera égal à [p — i) uu'..., !u, étant les ordres respectifs des groupes auxi-

liaires L, I,',....

La détermination de F se ramène ainsi à telle des groupes auxiliaires !.. L' qui devront naturellement être ebuisis aussi généraux que possible

r)R IA nteOI.l'TION par rawcaix. son

dans leur espèce. On reionibc ainsi sur le problème C. niais pour un de^ré fort abaissé.

070. Ilrmanfue. — Les exposants d’échange mutuels des substitutions Q.t,... 11,11,.. sont tous congrus à o (mod./;., sauf ceux de la forme

(Q,t,....i,r„... qi'i seront congrus à 5-t, /. étant

une constante. On aura donc

Si ceux des nombres u, u',... qui sont congrus à i sont en nombre pair, il vient Â-^s—k, d’où t:- o; tous les exposants d’échange seraient donc congru.s à y,éro, résultat inadmissible. Donc cru.v des nnmhres u, u',... qui sont congrus à i sont en nombre impair. La relation (32) se réduit alors à une identité, et k reste indéterminé (mais dilTérenl de zéro).

Suit 9. un entier quclcom|ue; prenons pour indices indépendants, à la place des îj... n), /j,... , les expressions fl, ï,.. . ni, «j. . . ce (|ui n’altère pas l'expression des substitutions du groupe I'; les substitutions correspondantes à ces nouveaiux indices seront respectivement égales à Q.î, . s.s, ' exposants d'échange mutuels ne différeront donc des précédents que par le changement de k en k'/.’. Cela posé, k est égal à g‘‘^ ou è g étant une racine primitive de la congruence g''~' — i (mod./>).

Posons a = g~^\ ka* se trouvera réduit à i ou à g. On peut donc, sans nuire à la généralité de la solution, sup(ioser/ = i ou k = g.

Si 2 est non résidu quadratique de p, ces deux hypothèses reviennent •

l’une à l’autre. Soit en effet k .-.i g. Si p’’ i (mod. 4), prenons pour indices

indépendants ceux-ci ,3 ■ étant une racine primitive

de la congruence /'et i (mod./r) et p un entier tel. i|ue l’on ait p’~2^'.

Lette transformation d’indices n’altère pas la forme des substitutions A,, A,.

.V,, B’ et quant à B,, elle s’exprime en fonction des nouveaux

indices de la même manière (|ueB,.\, en fonction des indices originaires.

Donc l’expression du faisceau (6, A,. B,, -\j. B,,.... .A’,, B’ ) ne sera pas

changée. D’ailleurs les substitutions correspondantes aux nou-

veaux indices forment une double suite où les exposants d’échange sont

Si ~ 3 (mod. 4), on prendra pour indices indépendants ceux-ci: i p[Ç,?,... Cj... -H J ■£, + I , Sj y,,, vjj.... ,,..., auxquels corres-

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50(i LIVRE OLATRIÈME.

ponHpnl respectivement les substitutions Q”j'^

ment une double suite où les exposants d’Pcbange sont égaux à i.

(i7l. Si a est résidu quadratique de p, toute substitution 'V du groupe I' étant le produit de substitutions partielles dont cbaeune multiplie les exposants d’échange par un résidu (jundratique, les multipliera elle-même par un résidu quadratique. Donc T ne eontiendra aucune substitution qui multiplie ces exposants d’échange par une puissance impaire de g: et d, l’exposant de r, sera égal à a.

Au contraire, « a est non résidu quadratique de p, V aura pour r.rposanl Vanité. Cette proposition résulte des développements qui vont suivre.

672. Soient 8,, les diverses substitutions de la forme * qui sont

permutables au faisceau G; chacune d’elles est, comme on l’a vu, le (iroduil de substitutions partielles toutes abéliennes. D’ailleurs, parmi les substitutions 8|. 8,,..., il en est qui multiplient les exposants d'échange par a, (|ui est non résidu. I.e groupe 3 formé par celles de ces substitutions qui multiplient les exposants d'échange par des résidus quadratiques contient ilonc la moitié seulement des substitutions g,, il est clair en outre

i|ti’il est permutable à toutes ces substitutions. I.e groupe I formé par les currclalives des substitutions de 3 contiendra la moitié des substitutions du groupe II hypoabélicn de degré a”, formé par les corrélatives de g,, Sj,...; et de plus il .sera permutable aux substitutions de H.

Or nous avons vu {268-27.'> et 283-200) qu’il ne peut exister qu’un seul groupe 1 contenu dans 11 et permutable à ses substitutions. .Nous trouvons ici ce groujie I, et nous constatons qu’il ne contient que la moitié des substitutions de H, ce ijui complète la démonstration de l’endroit cité.

673. Gela posé, soient comme précédemment 1,, 1,’,... les groupes auxiliaires qui concourent à la construction de T: il. H',... les groupes bypoabcliens de degrés 2'“, 2’°',... dans lesquels ils sont contenus : I, I',... les groupes contenus respectivement dans les groupes H, D',... et permutables à leurs substitutions dont l’existence vient d’étre démontrée. Si L. l.',... sont respectivement contenus dans 1, 1',..., on aura = 2. En effet, soient S,, S',,... des substitutions quelconques prises dans 1, I',...; V>, = 8,8', ... la substitution de P qui a S,, S',,... pour corrélatives. La substitution partielle 8), ayant pour corrélative S,, qui appartient à L et par suite à I, multiplie les exposants d’échange par un résidu quadratique. De même pour

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. r*7

chaciin des autres fadeurs a' Au contraire, si L, |>ar exemple, con-

tient une substitution S, qui n'appartienne pas ii I, I' conlicndia une substitution s, de la forme t, dont S, est la corrélative, et qui multipliera les exposants d’échange par un non résidu. On aura donc tl—i.

Nous sommes ainsi ramenés à chercher dans quel cas un groupe L résoluble, primaire et aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le groupe hypoabélien H, de degré 2”, sera contenu dans le groupe I.

67A. Le groupe L étant supposé décomposahie pour plus de généralité, les indices s’y répartiront n à n entre \ systèmes (couples de systèmes,, et L résultera de la combinaison de deux groupes partiels : i" l'un, U, dont les substitutions permutent les systèmes (couples de systèmes) entre eux en remplaçant les uns par les autres les inilices correspondants; 2° l'autre, I',, dont les substitutions n’altèrent que les indices du premier système (couple de systèmes), (’.e dernier groupe, ayant pour ordre une puis.sancc de 2, sera de première ou de seconde catégorie (659). Supposons-le d’abord de première catégorie.

Chaque substitution de D est évidemment le produit de transpositions effectuées sur les couples de systèmes; d’ailleurs chacune de ces transpositions appartient à I. En effet, soient

X',,.... x^;...; xi‘> x^.

.r',;---; ri’’ rii”

les indices indépendants réels auxquels I. est rapporté. On peut supposer qu’ils se confondent avec les indices originaires x,, y, (638). Supposons donc x, x', ; y\ y, et x' a;' ; y, y' respectivement égaux à X y et à x,,; la trans-

position qui permute entre eux ces deux couples de systèmes est le produit des n substitutions P,,„4.|,..., P„,,„ du n“ 220, dont chacune, telle (|uc P^,,, est elle-même le produit de trois facteurs Q^,,, Q,n, dont chacun appartient à I; car I, contenant N^.„ contiendra sa transformée Qu., par M,.

Quant aux substitutions île L’„, elles sont de la forme A’ A étant la

substitution qui remplace x',,..., x’, par y, v', et récipro<|uement, et ^

une nouvelle substitution bypoabélicnne qui remplace les indices de cbacuu de ces deux systèmes par des fonctions linéaires des indices du même système. Or chaque substitution de la forme ^ appartient à I ; en effet, .soient l'une de ces substitutions, 9,,..., f„ les fonctions qu’elle fait succéder b

X Les substitutions de la forme Q,,.,, toutes contenues dans I, étant

•HW LIVRE OUATHIÈME.

coinhinét's enirv elles, fournissent une substitnlion H, (|ui remplace les inilicrs X,,..., par f,,..., f, (121): et l'on aura -îi^Ô, .J, étant une nouvelle substitution bypuabélienne, qui laisse invariables x,,..., a', et par suite V,,..,, : donc se réduira à l’unité, et 5, =fl, a|)parliendra à I.

QuanI à la substitnlion A. elle est le produit des n subslilulions M

M, qui n'appartiennent |ias à I, mais <lont les produits deux à deux appartiennent à ce groupe; elle appartiendra donc ou non à I suivant que n sera pair ou impair.

675. Supposons maintenant r„ de seconde catégorie. I.es indices étant l'boisis de manière à ramener l'o à sa forme type formeront ay séries contenant chacune ~ indices; et ti, étant un produit de facteurs premiers

qui divi.sent tous 1, sera impair.

r.baque substitution de D est le produit de transpositions cITecliiées sur les systèmes; et nous allons voir (|ue chacune de ces substitutions appartient à 1. Considérons par exemple la transposition T qui permute entre eux les deux premiers .systèmes. Nous pouvons (irendre pour indices indépendants, au lieu des indices imaginaires auxquels le premier système est actuellement rapporté, d’autres indices réels X,, Y,, X,, Y,,... tels: 1" que les exposants d'échange mutuels des substitutions corrcs|K>ndantes C^,, Cv,,... soient tous congrus à o(mod.a), sauf ceux-ci (Ci,C,,),...

qui .seront congrus à t; que leurs caractères soient congrus à o, sauf ceux de C,, et de Ct, (29i-290j. Quant au second systi'me, on pourra prendre pour indices indépendants les fonctions X’,, V',, .X',, Y’,,... par lesquelles

Trcmplace X,,Y,, .Xj, Yj Cette substitution, étant d’ordre a, remplacera

récipro(|uemcnt X',, Y',, X',, Y',,... par X,, Y,, Xj, Y,,.... Elle est d’ailleurs bypoabéliennc. Donc C»', C-C,... ont mêmes caractères et mêmes cxpo.sanls d’échange mutuels que C,,, C,,,.... Enlin, leurs exposants d’échange avec ces dernières subslilulions sont tous congrus à ïêro.

Posons maintenant

) X. = E, -f E, -c ir, , V, = H, -t- E, -t II',,

/ X’, = -V- IL -t-— ,, — |-f H,,

et prenons pour indices indépendants E,, H,, E', , H', à la place de X,, Y,, .V, , Y",. I.es substitutions correspondantes Q,, Ch,. C,', C„', étant respectivement égales H Cj,C,',, C,,(V,. IV, • O"* P'""’ caractère

7.éro, et leurs exposants d’échange avec les substitutions C,,, C,,.... (V;>

DÇ I.A RÈSOI.UTION PAR RAmCAUX. .•«K»

seront congrus à o. Quant à leurs exposants il’échangc mutuels, ils seront egalement congrus à zéro, sauf((^^C,), {(),- C„' ) qui sont congrus à i .

On peut enfin remplacer les indices indépeiulants desX— a systèmes restants par des indices réels Z, U, Z', U',... tels, que les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes soient congrus à o, sauf

et que leurs caractères soient également congrus .à o, sauf pour ti,, ti,-, qui auront pour caractère u ou i suivant que X est pair ou impair.

Uésignons maintenant par .r,, Vi„ les indices actuellement

représentés par Z, U, Z', U' H,, H,, X,, Y H',, H',, X',, V', I.a

snlistitution T. remplaçant ces indices par Z, U, Z', li',.... H, -+11',, H,, .X',, V, i.-t-H,, H',, X„ Y„... sera épie à

pro<luit dont chaque facteur appartient à I.

(17ti. Passons à l’examen du groupe F». Soient r|,ï,...], les indices imaginaires qui ramènent F, à sa forme type: F-j.ç,..., les substitutions correspondantes. Leurs caractères .sont congrus ii zéro, et leurs exposants d'échange également, .sauf ceux-ci s, qui seront congrus à i:

et les substitutions île F, seront de la forme ‘fêtant la substitution qui remplace chaque indice par l’indice correspondant de la série suivante, et une substitution hypoahélienne qui ne déplace pas les si- ri es.

Nous allons démontrer que les subsliliilions de ta forme ^ appartiennent toutes à I. Pour cela, désignons par x„, x„ y„... les indices précédemment désignés par Soit

une des substitutions de la forme Les substitutions CJl^F.^/..., Cîf CJ,''

transformées de par S doivent avoir les mêmes exposants d’é-

change mutuels que ces dernières substitutions, ce qui donne, entre autres relations de condition, la suivante

(34) a'’*‘ -t- a''"*' ^ i (inod.î).

Réciproquement, a, a',... étant des entiers complexes epielcoiuptes satisfaisant à la relation (34), I contiendra une substitution T tpii transforme en Divers cas seront à distinguer dans cette démonstration.

SIO