LIVRE QUATRIÈME
i“ Soit d'abord a’’-*'— i sa'"’'''' -H . . (mod. a) : m pourra
s’exprimer sans nouvelle imaginaire; car on aura
/nf>'*ÉV^^iVi)j’ I = «c+i , = il’où .
Posons maintenant
On aura i . {C,,D,*,)s:io, (U,Ü,.n)=i: et les substitutions
dérivées de C^,, C,,.-” pourront être considérées commeidérivées de la combinaison de Cj,, D, avec d'autres subslilulions E^. E', telles, que les exposants d'écbange (C„E,*,), soient tous congrus à zéro. Soient
en effet C, = une substitution quelconque «lérivée de
les exposants d’échange de avec et D,: on aura £, — Df^, E,. étant une nouvelle substitution dérivée de C,,, D,, et telle, que l’on ait (Cj.,Er«) = (D, E,*,) = o.
Soient maintenant .t^, >jr. Çr*--- Jes indices indépendants choisis de manière à correspondre respectivement aux substitutions C,., Dr, Er,...: et soit e une racine arbitraire de la congruence
(35) e’’*' E 1 (inoil.a).
La substitution
T = I . . . , ar„ Yir, ïr o’'x, -t- e*' m'""/.,, m’'x, 1
est évidemment hypoabélienne, et transforme Cj,, en Cï^D7’’=
Enfin, T ou son carré appartiendra à I, Car soient I,, I,,... les substitutions de I; si T et T’ n’appartenaient pas à I, 11 contiendrait les substitutions I,, I],...; Tl,, TI],...; TM,, T’I,,..., qui sont évidemment distinctes; donc I contiendrait tout au plus le tiers des substitutions de H : résultat absurde, car il en contient la moitié.
Si l’ordre de T est un nombre impair aa -t- 1, on aura T = T’""’’*'. Donc I, contenant T^ contiendra T. Or, pour que cette condition soit satisfaite, il suflit évidemment que la congruence caractéristique de T n’ait pas de racine égale à l’unité; d’où la relation
• ( 36) [af— \ ){e^ a’^' — i ) — (em*'*')’ =[e(i — o’"J , — « ’ > o , (nmd. a .
inégalité qui sera satisfaite pour toutes les valeurs de e, sauf une seule.
DK U KÉSOLUTION PAR RADH’.AÜX.
SU
a” Soit 1=0, mais a'*’+'— i ^o(mo(l. a). La substitution
O7) U = I . . .. yr,x„...\
est évidemincnl bypoabéliennc; et l'on voit, comme au n° 675, qu'elle est contenue dans I. D'autre part, on vient de voir que 1 contient une substitution ï, qui transforme C,, en C"],’’ : il contiendra donc T, U, qui le transforme en
3“ Soit fl’''*''— I sa'’’"'''— I =...so etv>i. On pourra déterminer un entier complexe a différent de l'unité, et qui satisfasse à la relation
(inod.a).
Soient e et i deux racines arbitrairement choisies de la congruence (35), et posons (1 — a). On aura
a>v. ^ giVi s a» + ,
{«« -e ta'el^y'*' cii'ea)’’*'
m a (»’’+' -H -1- j a*' ttfe (in'e)’'a j j a''3 -1- P’’a [ æ 0 & o*'*' -i- o'’’*'.
D'ailleurs a et e étant fixés, on pourra déterminer e de telle sorte que la congruence
(«a -I- £«'«3)*''''' — I = (aa)''e«'cp -t- «a(tn'e^)’'so (inod. 1)
ne soit pas satisfaite. Car cette congruence ne peut avoir plus de a* racines, et £ est susceptible de a'-t-i valeurs distinctes.
Cela posé, le groupe I contiendra une substitution U qui transforme C,, en Si de plus on détermine e de telle sorte que
l'on ait
(a — i)(e« — i) — e|3'^o (mod.a),
ce qui est évidemment possible, 1 contiendra la substitution
car cette substitution est bypoabélienne et d'ordre impair. Par la même
5li UVBE quatrième
raison, il conlicndi'a la suivante
\\ -T I . . . , jr„ . . ... x„ . . |.
Cela posé. 1 eonlicndra la substitution T = UV''\V“', qui transforme en
4" Soit M -S a'’ "'' — I si: ... O et y = i . Les quantités a, a'
satisfaisant à la relation (34). seront en nombre impair. Soit i une racine de la runj{ruenre irréductible du second degré. La substitution U qui remplace a:,, v... î, par >V -1- în v,-(- x. -t- J v, -t- 1 est by-
poabélicnnc, et tran.sformc en C,, ; de plus, en remplaçant les indices indépendants imaginaires par des indices réels, un voit sans difliciillé qii’elli' appartient à I. La substitution ü et ses analogues, combinées ensenible, et a la siibslitulion
W = I .... x„ .)•„ ï, n-'xr, a’’'Xr, . . |,
lai|uelle est hypoabélienne de degré impair, et par suite appartient à 1. permettent évidemment de transfurmer c,, en c:;'c;;''(ï;’'....
677. Il est aisé maintenant de prouver, comme nous l'avons annoncé,
que toute substitution de la forme appartient à 1. Soient .J, une de ces substitutions; la transformée de par ; T la substitution de
forme ^ qui appartient à I et donne la même transformée. On aura T.
étant une nouvelle substitution liypoabélienue, de forme .J. et qui transforme Cr, en elle-même. Soit la transformée de par ^j. Son
exposant d’échange avec que transforme en elle-même, doit être
congru à rs O. Donc t = o. Cela po.sé, on voit comme tout à
l’heure que 1 coutieni une substitution T, de forme ^ qui transforme C,.^ en C^)''... sans altérer C^,; on aura étant une nouvelle substitu-
tion bypoabélienne, de forme .5, et qui transforme les substitutions en elles-mêmes, l’oursuivanl ainsi, on voit que .5, est le produit de substitutions appartenant à I par une dernière substitution qui transforme les substitutions C^,,... en elles-mêmes, et par suite se réduit à l'unité.
678. Au contraire, la subslUtuion na/iftartient pas à I. Remarquons «l'abord qu’elle est le produit de p substitutions bypuabéliennes paieilles entre elles et qui peruiutent respectivement entre eux, et d’une manière circulaire, les indices x,,..., x,,..., les indices y,,..., j',,..., etc. Le nombre p
DE LA HÉSOLimON PAR RADICAUX. SCI
étant impair, il sutFira He prouver que ces substitutions partielles n'apparliennent pas à I pour prouver que ne lui appartient pas.
Soit S = I X,, I l’une de ces substitutions partielles
(nous omettons d’écrire les indices .. . que S n’altère pas). On aura eu général av .. q étant un entier impair, que nous supposerons >i pour plus de généralité: et l'on pourra poser i—jt, / et / étant respectivement des racines de congruences imaginaires J et L, de degrés q et (21). Substituant relie valeur de i dans l’expression de jr„, et abaissant les puissances de j et de / à l’aide des congruences J et L. on obtient
"no, Zi»...., étant des fonctions qui ne contiennent d’autre imaginaire (|ue/. Soient z,p, s,p,..., les fonctions conjuguées obtenues en changeant / en P': 6 le reste de la division de r par 2“; on aura évidemment
Soit s un multiple de q, congru à 1 (mod. 2'); $ sera impair; S appartiendra donc ou non à I suivant iiue S' lui appartiendra ou non. Or cette
dernière substitution, rapportée aux indices indépendants
prend la forme
Soient C, C,.... et D„,,..., I)„p les .substitutions respectivement correspondantes aux indices x,,... et aux indices s,,,..., s„p,.... Les
exi>osants d’échange ((’.,C,/) sont congrus à o si r' v, à 1 si r' = r-\--j. D’autre part on a évidemment
les produits s'étendant à toutes les valeurs de r et de r' respectivement congrues à P et à p'(mod. a*). On aura donc
la dernière sommation s'étendant à tous les svstèines de valeurs de r et de r' qui satisfont à la relation r' r-f- v(mod. av). Pour qu’il existe de
j|* LIVRE OÜATIUÊ.ME.
sviiiblables s\^>trnlrs dn valeurs, il faudra qu'oii ail
p'— .pBfgi»' S 7.*~* (niod. 51* ),
el si letle condition est salisfaile, on aura pour r. r , q syslènies de valeurs, repn'-scntés par les formules r =: p-h 2*X‘, r' = p‘ ■+■ i*k, k étant un entier. Il vient ainsi
fl»-,!*--.,*.— )== ^
.Mais si l'on donne successivement à k toute la suite des valeurs o,..., q— i , la quantité p -I- a*X(mod.(/J prendra une fois cliaeiine des mêmes valeurs; d'ailleurs y’* se réduit à y (niod. a) : il viendra donc
Caille expression est donc une fonction symétrique des racines y y
de la eonj'ruence J; c’est donc un entier réel, congru à o ou à i (mod. 2). De plus, elle est indépendante de p. Désignons-la pour abréger par : on aura en particulier rlj,~q r (mod. 2). Enfin l'on aura
67fl. l’reiions pour indices indépendants, à la place des indices .... ;„p,
. . . • • • * ceux-ci ; .... î^p ^ a^p -f- f/,, a,p -t- . . . -t- "t"
a'„pS?î„p,..., auxquels correspondent respectivement les substitutions .... I)'„p=: I)„p D'^ = l);^*"D„ La substitution S‘ prendra la forme
analogue à la forme (^IH); et les substitutions D^p auront leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux de la forme (Dl,pD'v.p»j— ■), lesquels seront des entiers réels indépendants de p et pourront être désignes par le symbole d‘„^-. On aura d'ailleurs évidemment
d'mm- ri. i</„ ». o (mod. 2).
Deux cas pourront se présenter ici :
1° Si la quantités d,^ par exemple est congrue à 1, un pourra rem-
DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. :;CS
pUccr les indice.s .... z^^ *'„(>.••• par de nouveaux indices
• ’ *np ^0|><**** ^ I p== ^ip^" ^sp ^^ijit a«,p “t*
tels: i'*<nie la substitiUiun S' rapportée à res nouveaux indices ne rliange pa.s d’e\|ire.s.siun; a” (|ue les siihsiitiilicins correspondantes aient
leurs exposants d’éclianj{e mutuels eongrus à /.éro, sauf ceux de la forme ff^«pn!,.p.»^*)> T" seront des entiers réels indépendants île » et pourront être désignés par On aura en outre les relations
</’. .=■(/',, 3 1 . f/; , ai </;„ - = O.
Si mainlenanl l'une des i|uantités rf',, «Cm»-- - é*ail congrue à i, on
puuiTait effectuer un nouveau changement d’indices analogue aux précédents; dans le cas contraire, on ferait ce nouveau changement de la manière i|ue nous allons indiquer.
a" Soit rf", I -O. La substitution I)',p ne pouvant avoir
tous ses exposmits d'échange congrus à zéro, et d\^ — (f^^ étant congru
il zéro, l’une au moins des quantités cT, le sera à l'unité. Soit,
pour fixer les idées, rf', , rf, , = i . Prenons pour indices indépendants
.... ijp- s'jp 4 rf', , l'jp . -t- -4- I-a substitu-
tion S' rapportée à ces nouveaux indices ne changera pas d’expre.ssion. En outre, les substitutions correspondantes l)|„p ont leurs exposants d'échange congrus h zéro, saiifecux de la forme (D]„p qui seront
des entiers réels. Enfin l’on aura évidemment
,/' ,uad'.
Si l’on a f O, on fera un nouveau changement d’indices analogue à ce dernier. Sinon on opérera romnie à l’alinéa précédent. Continuant ainsi, on arrivera an rcsullul suivant ;
On peut remplacer les indices s,,,.. ., i«p, ... par de nmwcau.r indices Oi„p, • • ■ fels .
i“ (Jue la sul/slilulion S‘, rapportée à ces nouveaux indices, prenne la forme
a° Que les substitutions E,,,..., E„j correspondantes à ces indices, aient
leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux de la forme (K»,pE„',p+,«-iJ,.9m seront des entiers réels, indépendants de p. et pourront être désignés par le symbole général e„„c- Cw quantités satisferont à la relation
.’»« UVRE OlMTRlfcME.
En outre, les quantités e„,,..., correspondantes à une
même valeur de m, seront toutes conprues à zéro, sauf une seule.
(580. Groupons les nouveaux indices en classes, en réunissant ensemble ceux qui correspondent à une même valeur de m, et (|ui sont évidemment des fonctions conjuguées. Ges classes pourront être de deux espères : i" celles pour lesquelles e„„s^i; a° celles pour lesquelles c„„,sr.o; si ces dernières classes existent, elles peuvent être associées deux à deux; car si e*„==o, on aura une relation telle (|ue e„„,< i , m' étant 5»*: on aura par suite I, d'où avec ~ si m" diffère de m et
de m'. Les deux classes qui ont pour premier indice m et rn' sont ainsi associées.
Le nombre total des classes étant égal au nombre impair q, et celles de seconde espèce étant en nombre pair, il existera un nombre impair de classes de première espèce.
Ctda posé, la substitution S' est le produit de deux espèces de substitutions partielles: i“ des substitutions altérant les imlices d'une seule cla.ssc lie première espèce; a“ des substitutions altérant à la fois les indices de deux classes associées de seconde espèce. Il est d'ailleurs évident que chacun de ces facteurs partiels est une substitution bypoabclienne. On voit en outre, comme au n" 674, que chacun des facteurs de la seconde espèce appartient à I. Si nous prouvons qu’aucun des facteurs de la première espèce ne lui appartient, notre proposition sera établie : car ces facteurs étant en nombre impair dans S', S' et par suite S n'appartiendront pas à I.
681. Soit T = j I l'un de ces facteurs (nous omettons d'écrire
les indices qu'il n'altère pas, cl dont nous n'aurons plus à nous occuper).
Remplaçons les indices imaginaires «»,,•-( par des indices
réels i’,,..., Cp,..., e,«, choisis de manière à ramener T à sa forme canonique. La substitution T ayant pour ordre a®, et la somme u„ + ...-iétant la seule fonction des indices que T n'altère pas, celte forme canonique sera la suivante
Soient e„ S^,... les substitutions correspondantes aux nouveaux in-
dices: T les transforme en 0,,..., 0^©^,,...; elle Iransfornic donc l'exposant d'échange (SfE») en {©pCp-, .ea©a i); et comme elle ne doit pas l'al-
DE LA HÉSOLUTION PAR RADIEUX. MT
lérer, on aura la condition
1 4n ) ( Qf ) "4- ( S|— I S« ) *+“ ( Sp( 1 ) Sï O
qui suhsiatcra pour toute valeur de p et de ? (en suppriinanl, si p ou 7 élail égal à I, les ternies où ligtireraienl des indice.s négatifs).
Par l'application réitérée de cette formule, on voit sans peine: 1“ que l'on aura toujours (£j£„)=i- o si |S 7< 2*— 1; par suite, on aura toujours I, si P -I- 7 =r: 2* — I : car sans cela le déterniinant des expo.sants d'échange serait congru à o; a“ que si p + «> 2’— i, (£(,£,) pourra s'exprimer linéairement en fonction des 2®“'— 1 quantités f£,.-i £,.-i.„, ),...,
que l'on pourra désigner par a,,..., <7^, ... et qui
restent non déterminées.
Cela posé, on pourra, tout en conservant à T sa forme canonique, choisir les indices indépendants de telle sorte que les entiers a,,..., prennent
des valeurs fixées à volonté. Suppo.sons en effet que a a^, aient dèj.'i
les valeurs voulues, mais qu'il n'en soit pas de même de a,*. Prenons pour
indices indépendants, à la place de e,,.... e^,... les indices é„,..., é, lé-
tcriiiinés par les relations
e, = e) -1- si p -e 2 « -1- 1 <^ »*, =: e' si p -1- au -1- 1 J a*.
ha suhstitution T conservera sa forme canoiii(|ue. D'autre part, les substitutions £',i,,.... £',... correspondantes à ces nouveaux indices seront respectivement égales à £„ £p£p»^ Posons donc
(£',.-v> £'3.-'*)*,) : on aura
t^tte expression est la somme de quatre exposants d'échange partiels dont
le premier sera égal à «> et les autres à zéro, .si X<ft; donc a'„
seront respectivement égaux à <z„ «n-i. qui ont déjà les valeurs vou-
lues. Soit au contraire i = pi; un seul des quatre expo.sants d’échange partiels sera congru à zéro, et l’on aura
■+■ ( £,*-'+t, £,•-•,> -I- \£,«-<|.i Ei^-i+^,1,
expression que la relation (4») réduira à a, -t- ( £,•-'
Donc aj, aura la valeur voulue.
: a, -+-I (mod.ïi.
SIH UVRE OLATRIÈMF.
