I.es entiers a puuvanl ainsi être déterminés arbitrairement
les substitutions liypoabéliennes de la forme T se réduiront ii deux types seulement, correspondant aux deux valeurs ijiie peut prendre le paramètre restant a„.
682. Nous allons montrer que, quelle que soit la valeur de ce paramètre, T ne pourra appartenir à I. Pour cela, prenons pour indices inilépendaiils ceux-ci :
r prendra la forme
Réciproquement, toute substitution hypoabélienne de cette forme peut être mise sous la forme Kn effet, soit, pour fixer les idées, 2* = 8; et
soient 0' les substitutions correspondantes aux indices lo ii-,.
I,a substitution (.^i) transformera en Posons donc
£.=:lX\(0,...lO„ Si =u9,l0i(0, l0,(0„ £. = |V),U\,
£, (0,iû„ £, = <0,oJ„ £, = iA\Ci)i, £, = uO.,
et déterminons un système d'indices c„ c, respectivement correspon-
dants à ces substitutions. La substitution /|>) transforine évidemment
£„, £, £, en £„, £, S„ 3i2,: elle prendra donc la forme r3<)) si on
la rapporte aux indices e,,.... e,.
Cela posé, la substitution {!\i ) étant hypoabélienne, n’altère pas les caractères ni les exposants d’échange mutuels des substitutions lO
Donc ces caractères sont tous égaux. Kn outre elle transforme [lOjU',) en
uO,iO, ^ (0„,ô\,l = ... = (o\iO|,, ,
Soit 6,p cette expression, on aura, si p > 2®"',
Donc tous les exposants d’échange s’cxprimetit au moyen des 2®"'
ijuantités i,
On doit remarquer d'ailleurs que b,.-i est eongru à 1 : car le déterminant
DR U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. .TItt
lies p\j)OMints (t’échange (iDp.D.,) ne peut être congru h zéro; mais si l'on avait /i,.-i = o, les lermes qui composeni chaque ligne horizontale du délerminanl seraienl égaux deux à deux en vertu de la relation f/(2). I.a dernière eidonne verticale serait donc congrue (mod.a) à la somme des colonnes préeédenies. et, par suite, le déterminant serait congru è zéro.
La siihstitution (4<]< rapportée aux indices c, Ci*-i. appartiendra à
l’un ou à l’autre des deux types signalés ci-dessus, suivant que l’expression
(£,•-1 £,«-i+,)s (■O.oJ, ... (O,. . .(0,«-i, .üO.iOi. . . iSl,,. . . iO,«-i,)
sera congrue à o nu à i.
Elle appartiendra donc au premier type, si A,, A, A,.-i, sont congrus
à zéro, au second si A, seul diffère de zéro. Dans l’un cl l’autre cas. nous allons voir qu'elle n’appartient pas à I.
683. PnrMiFn cas : A,, A, A,.-., sont congrus à zéro. — Désignons
par l'jila sulislitulion qui permute enseinhle, d'une part les deux indices ti p,
• d’autre part les indices sans altérer les autres indices;
par V la substitution qui permute entre eux les indices »•„, (Vj.-., sans altérer les autres, (’.hacune de ces substitutions est (‘videmmeni liypoahélienne, et il est dair que la substitution "|i) est égale an |irodnil VU.U,.,.U,.-..».
Cela posé, il t;st aisé de voir que la substitution Y n'apparlienl pas à I,
taudis que chacun des autres facteurs L'„ L' appartient à ce groupe. En
effet, si les substitutions ,0 ont pour caractère zéro, on pourra di'-
signer par x x,.-.; v v,— . les indices aetuellement représentés par
Cela fait, les substitutions V. fi,, U ne seront antres i|ue
les substitutions M,, P,.,, Pj,,,... du n"220; donc V n’appartiendra pas à I (274 et 672); au contraire, chacune des substitutions P, ,, Pj,i.... appartiendra à ce groupe (674).
Su|)posons au contraire que les substitutions lO aient pour caractère 1. Soient x,,y',, x„ de nouveaux indices, déterminés par les
relations
4<'i^ “t" J‘jp-1.1 “H l'ip-f-u U'i»- * •4“
Les substitutions
:.iO LIVRE QUATRIÈME.
com'spunilanles à ces nouveaux indices ont ipënies
exposants d'échange nuiluel.s que (0,,..., mais leurs caractères sont
égaux à zéro; cela posé, on pourra, sans nulle dillicullé, déierininer l'expressioii de chacune des substitutions V, U, en fonction de ces nouveaux indices, et véritier i|ue V n'appartient pas à I, mais <|ue U, lui appartient. Quant aux suhsiilulions L',.... analogues à U,, elles lui appartiendront évidemment.
I»8i. Stcoxu CAS : b,~\, />, — ...==:o. — Soient U la substitution qui Iransfornie en général a'^en à l’exception des six substitutions o\, to,, i^V- qu’elle transforme en <0,, (0,üJ,(i>o, li), (Cl,, t£),...| ;0, <0,, (0,: V la substitution (jui transforme (O,, lO,, ci>j, oT,., en tù,, (û„, rt),(jO|(Do, nV-'tE>i‘Poi cOj«-’»i<0|ii)„,
Il est clair que ces deux substitutions sont hvpoabéliennes, et que leur produit donne la substitution (4> j.
Cela posé, U lai.ssc i£t, invariable, et transforme circulairement les unes dans les autres, d’une |)art les — 3 substitutions (C>,, ®,
(0j€— I I (JD| » • * • » lOÿ» I COj*— • (Pg f ♦!* • • * •
(0,.,iO,®o, d’autre part les a”+ a"”' — 3 substitutions
tv'j <****> p— I • • • ^6 » ®2p>( ® J»— 1 -I , • . ■ ®a , • • . ,
p®a*"’+p • • • + p t . • . , ®a* — < ®a*— a • * • ^^a*~' .*■ i * » * • , ®a*— i * • • ®a«— ' ap^®a •
®a*-i- Donc la puis.sance a* t- a*~‘ — 3 de la substitution U laisse invariables les substitutions ci-dessus, ainsi que ®,; donc elle se réduit à l’unité. Donc l’ordre de U est impair; donc lî appartient à I.
D’autre part. V- n’appartient pas à I. En effet, celles des substitutions
dérivées de ®, dont les exposants d’échange avec ®« et (P, sont
congrus à zéro forment un groupe IJ, dérivé de.s substitutions suivantes; ®,®,, ®i,,..,®,—i(P,, iP,>-i.,.,,...,®,>,®,, auxi|uelles V est échangeable. Ce groupe G peut être considéré comme dérivé d’une double suite de substitutions -t , si>, -t.', as',... dont les exposants d’échange soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci, == i et dont les carac-
tères soient congrus k o, sauf pour .v et ié,, dont les caractères .seront tous deux congrus h o ou k i . De même les substitutions^®,, ®, peuvent avoir pour caractère o ou i .
Supposons d’abord que -v, al. aient jiour caractère zéro. Soient x,,y,, X,, Vj.... un système d'indices indépendants correspondant respectivement
aux substitutions ®,, <P,. ju, La substitution V, rapportée k ces in- .
dices, n’est autre que la substitution .M, du n" 220 et n’appartient pas k I.
DE U RÉSOUrriON PAR RADICAUX. SÎ1
Si X, 0!., ont pour caracière i, et (D«, ®, pour caractère zéro, on prendra pour ,r,, y,, x,, y„... les indices qui correspondent k t, sK, ffi,. A'. Pt V = iM, n’appartiendra pas à I,
Enfin, si A, A, ®,, ®, ont pour caracière i, on rapportera V aux indices A,, J,, a-,, qui correspondent aux substitutions .t®,, si®,, ASi®,®,, A(D,®,, A', si' et l’on vérifiera immédialeineni queV n'appartient pask I.
685, Thkobkme. — Un groupe indecom/tosahle F de troisième catégorie a son exposant égal à l , 5< a est non résidu quadratique de p.
En effet, parmi les groupes auxiliaires qui concourent k la consiruction de F, il en est au moins un L de seconde categorie. Ce groupe auxiliaire étant suppose décomposable, pour plus de généralité, est formé k l’aide de deux groupes partiels D et F,. Les substitutions de ce dernier groupe sont de la forme les substitutions ^ appartenant k I, et la substitution <t' ne lui appartenant pas (678). Mais pour que l’exposant de F„ fût égal k a, il faudrait que toutes les substitutions de F, appartinssent k I (673); il fan- (Irait donc que l’exposant p fût pair dans toutes les suhsiilulinns de F,.
Or soit a’i* le degré de F,: si p— i, F, contiendra la substitution •Jf; donc le tbéoremc sera démontré. Soit au contraire p = les entiers it„.
divisant at*-!- i, seront impairs; et la construction de F, dépend de celle de grou|>es auxiliaires L,, contenus dans les groupes abéliens
de degrés Ces groupes seront respectivement formés de sub-
stitutions abéliennes propres, jointes k des substitutions S, S',... qui multiplient les exposants d'écbange par (mod. n„), (mod. , g, g',... étant des racines primitives des congruences ^''•”'=o(mod.n„), O (mod.n’„),... et d„ (f,,... des entiers égaux k i ou k a. Cela posé, pour que F, contienne une substitution de la forme il faut et il sudil (655-656) qu’on puisse satisfaire, aux relations
af^g^-'fmod.!;,) ( nioit. n',) = . . .
pour des valeurs convenables de c, e',....
(Considérons par exemple la première de ces relations. Un pourra toujoiir.s y satisfaire, quel que soit p, si ou si d, étant égal k a, a est résidu
quadratique de .Vu contraire, si l’on a </„ = a et a non résidu de n„ on ne pourra y .satisfaire que si p est pair.
Mais si d, = a, L, est de troisième catégorie; donc pour que F, ne conlicnne que des substitutions où p soit pair, il faut et il suffit que l'un L.
ÜÜ
<le.< groupes auxiliaires dont dépend sa construction suit de troisième calégorie; qu'il ail pour degré une puissance d'un nombre premier n, dont a ne snil pas résidu quadralique; enfin, que l'exposant d, de ce groupe soit égal à 3.
Supposons, pour plus de généralité, que le groupe L, suit décomposable: il se construit à l'aide de deux groupes, D,, P,; ce dernier groupe, indécomposable, de troi.sième catégorie, a pour ordre une puissance de ji,, ei pour exposant d„. Il fait donc exception au théorème.
Donc si le lliéorème était faux pour le groupe T', il serait faux pour le groupe P,, dont le degré est moindre; on verrait tle même qu'il est faux pour un groupe P,, de degré moindre i|uc I’,, el ainsi de suite à l'inlini, ce qui est absurde.
DE LA RfiSOl.mON PAR RADICArX
SM
