RÉSUMÉ
liédurlion du pmhléme \.
686. Les groupes résolubles, transilifs et généraux de degré M se partagenl en classes, respectivement correspondantes aux diverses décompositions de M en un produit de facteurs qui soient tous des puissances de nombres premiers. (On considérera comme distinctes deux décompositions qui offrent les mêmes facteurs, mais dans un ordre différent.)
Soit, par exemple, M = une de ces décompositions. Les groupes de la classe correspondante s'obtiennent ainsi qu’il suit :
Désignons les M racines par le .symbole général (.Tx'ar"); x, x', x" étant des indices indépendants, variables respectivement de o à çr — i, de n b q'— I , de O à q"— i . Groupons les racines en systèmes et sous-systèmes, en réunissant dans un même système celles pour lesquelles x a la même valeur, et dans un même sous-système toutes celles pour lesquelles x et x' ont les mêmes valeurs.
Soient maintenant A' un groupe résoluble, général el prùnili/ en\re les q~ racines (oox"); U" son ordre; A' un groupe résoluble aus.si général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent entre eux d’une manière primitive les q' sous-systèmes pour lesquels x = o, en remplaçant les unes par les autres les racines pour lesquelles x" a la même valeur, et n’altèrent pas les indices des autres systèmes; û' l’ordre de A'; A un groupe résoluble aussi général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent les q systèmes entre eux d’une manière primitive en remplaçant les unes par les autres les racines pour lesquelles x', xt ont les mêmes valeurs; fî l’ordre de A. Les'groupes A, A', A", combinés entre eux, forment un groupe résoluble et transitif d’ordre Dtl'rû"*»'. On obtiendra réciproquement tous les groupes eberebés en eboisissant successivement de toutes les manières possibles les groupes A, A', A".
687. La question se trouve ainsi ramenée à In construction de ces der-
»*1 LIVRE OÜATRIÈME.
niers groupes. Soient à l’un d’entre eux, g =p^ son degré. Désignons .nctuelleinent les racines île ce groupe par le symbole (ary'...) où x,y... .sont des indices en nombre n, variables de o à /> — i. I.e premier faisceau de A sera formé des subslitulions
et ce groupe résultera de la combinaison des substitutions ci-dessus avec d’autres substitutions de la forme linéaire
I X, /, . . . nx -I- ft >• -I- . . . , (l'x -4- b' y -i- ...... . I ,
le groupe partiel formé par ces dernières substitutions étant résoluble, primaire et général.
Voilà donc le problème A ramené au problème B.
Réduction du problème B.
688. I.es groupes résolubles, primaires et généraux du degré />" se partagent en classes, correspondantes aux diverses décompositions de l’cx|iosant n en deux facteurs. (L'un de ces facteurs peut être égal à i , et l’oh considérera comme distinctes deux décompositions qui diffèrent par l’ordre des facteurs.)
Soit n = \m une de ces décompositions : les groupes de la classe correspondante s’obtiennent comme il suit :
Partageons les n indices donnés en ). systèmes, a;,, y,,...;...; Vj,
contenant cbacun m indices; et formons : i“ d’une part, un groupe D dont les substitutions permutent les systèmes entre eux (en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants] de telle sorte que les déplacements d’ensemble des X systèmes forment un groupe résoluble, transitif et général; a° d’autre part, un groupe T, dont les substituti,ons lais.sunt tous les indices invariables, sauf ceux du premier système, qu’elles remplacent par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, et par rapport auxquels elles forment un groupe résoluble primaire, général qt indécomposable.
Soient respectivement Q et O les ordres de D et de T: le groupe d’ordre ilO’, qui résulte de la combinaison de ces deux-là, sera l’un de ceux que nous cliercbons. Réciproquement, tous les groupes cherchés s'obtiemlront par cette construction, en choisissant successivement de toutes les manières possibles les groupes U et 1'.
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 5i?i
Or D est un groupe résoluble, transilif et général de degré X. Pour le délerminer, on se trouve donc conduit à résoudre le problème A, mais pour un degré fort inférieur à pf.
Il ne reste donc plus, pour acbever la résolution des problèmes A et B, (|u’k construire les groupes résolubles, primaires et indécomposables les plus généraux, tels que P.
689. Or, posons m = vn’ />’ étant > a, et n, n\... étant des nombres premiers égaux ou non, qui divisent p'—\, et dont l'ordre est indifférent : les groupes eberebés P se répartissent en classes correspondantes aux diverses décompositions de cette espèce, cl peuvent se construire comme nous allons l'indiquer.
.\u lieu de désigner les indices par x,, y,,..., z,, représentons-les par le symbole général (^,^,..11;,...}^: où p est un iWica/cur variable de o à v — 1; Ç,, Ç,,... des indicateurs, en nombre 1, variables de o à rr — i; n,,... des indicateurs, en nombre 5', variables de o a it'— i; etc. Posons ensuite
( étant une racine d'une congruence irréductible de degré v : et prenons pour indices indépendants les expressions Deux cas seront
à distinguer.
690. 1“ Si m = v, d'où n'’n''’'... = i, les indicateurs £j,..., r,,,... n'ont
chacun qu'une seule valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, u, à la place de [00. ..o...,. Cela posé, le groupe P ne pourra être construit que d'une .seule manière, et sera formé des i) substitutions de la forme
I U,,... au,,..., |,
où P varie de o à v — i (mod.y), et où a est un entier complexe formé avec l’imaginaire i.
691. a° Si m > V, supposons, pour fixer les idées, m = vît’ ft’’'. Chaque
substitution de P remplacera en général l’indice [4, ?!"■ une
fonction de la forme
la sommation s’étendant k tous les systèmes de valeurs de m,,...;
»«> UVUE QUATHIÈME.
ù élant an entier constant pour chaque substitution, et les quantités a étant (les entiers complexes formés avec i.
Ces substitutions sont complètement déterminées lorsqu'on connaît les fonctions par lesquelles elles remplacent les indices de la première série. On pourra donc, en omettant dans l'écriture ce qni concerne les autres indices, les représenter par le symbole
(<) j [Ï.Ï.- X -If |-
Le groupe F ne contient d’ailleurs qu'une partie des substitutions de la forme (i). Pour le déterminer avec plus de précision, il faut construire son premier et son second faisceau.
