Son premier faisceau F est formé des substitutions

où a est un entier complexe indépendant de Ç,,

Pour le second faisceau G, divers cas sont à distinguer : i” Si I (mod.4), G résultera de la combinaison de F avec lés substitutions suivantes :

tS'> Ç'"*"' n ]»|i

••]. [ïi.ï. «.-n,...].|.

où 9, 9' sont respectivement des racines primitives des congruences '6'sei, (niod./)!.

2“ Si (mod.4J, G résulte de la combinaison de F avec certaines

substitutions A,, D,, A,, B, A',, R', ('.es substitutions auront la

même forme que précédemment si n, n' sont impairs. Mais si quelqu’un de ces nombres, n par exemple, se réduit à a, les deux premières substitutions A,, B, de la double suite correspondante A,, R,, A,, B,,,,, pourront être, soit de la forme (a), soit de celle-ci :

DH LA RÈSfJLUTION PAR RADICAUX. .'ii7

a, J3 étant (leux entiers arbitraires, qui satisfassent à la relation

u' + P'Ea— I (mod.;>j.

603. Cela posé, soit L un groupe résoluble et primaire de degré n'”, aussi général que possible parmi ceux qui sont contenu.s : dans le groupe abélien, SI l'un 'n’a pas à la fois />'ü^3(mod. 4) et rc= a; dans le groupe hypoabélien de première espèce, si p" étant congru è 3[mod.4) et n égal à a. A, et B, ont la forme (a); dans le groupe hypoabélien de seconde espèce, si A,, B, ont la forme (3). Les substitutions de L seront de la forme W'.S, S étant une substitution abélienne propre, c’est-à-dire qui n’altère pas le.s exposants d’échange, W une substitution qui les multiplie par g"*, g une racine primitive de la congruence g'*"* ~i (mod.rr), et d un entier égal, suivant les cas, à i ou à a, et que nous appellerons Yexposant du groupe L.

Soit de même L' un groupe résoluble et primaire de degré n'*’', aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélien (dans l’un des groupes hypoabéliens}; soient \V", S', g', d' les substitutions et les quantités analogues à W, S, g, d et relatives à ce groupe.

Associons inaiotenant les substitutions de L à celles de L' de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées

multiplient les exposants d’échange par des facteurs respectivement congrus à une meme puissance de p. Soient /(é(tnod.n), /é‘(mod. tr') ces facteurs : on pourra déterminer des substitutions de la forme (i) qui transforment A,, B ; A',, B’,,... en/, AJ'Bf'..., ;/| .V,*'B/'...,

g\ A','" b/'..'. /,, g /I , g\,.., étant des substitutions de F. L’en-

semble de ces substitutions correspondantes aux divers systèmes de substitutions associées forme le groupe cherché F, dont la construction se trouve ainsi ramenée à celle de L et de L', laquelle constitue le problème C.

Soient u, u' les ordres respectifs de L, L'; i la moindre valeur de potir laquelle on puisse avoir

/>*sg*(mod. n)::s^*^‘'(mod.n'),

(, e', étant des entiers : i sera un diviseur de v, au plus égal à a, et l’onlrc de r sera

m d'ù.ftu/

5i« UVRE QL’ATIUÈME.

A chaque manière difTérentc de déterminer les groupes auxiliaires L, L', correspond pour r un groupe différent. Cependant on obtiendra le même groupe T, à la notation prés, en employant pour groupe auxiliaire è la place de L, par exemple, l’un quelconque des groupes qui lui sont semblables,. r’est-à-dire qui s'obtiennent en le transformant par une substitution abélienne propre (hypoabélienne).

Réduction du problème

694. Los groupes résolubles et primaires les plus généraux parmi ceux qui sont contenus dans les groupes abéliens(bypoabéliens) de degré /j’"sont drcom/tosables ou indécomf>osables .

695. Groupes décompos\rles. — Ces groupes sont de <leux espèces : Première espèce. — Ces groupes ne peuvent exister que si p est impair,

n pair, et a résidu quadratique de p. On les construit comme il suit : Supposons que nous ayons formé les groupes résolubles et primaires les plus généraux parmi ceux qui .sont contenus dans le groupe abélien de degré/7" et dont l'exposant est égal à a ('). Soient L' un de ces groupes; O' .son ordre; A' le groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui sont abéliennes propres;

les substitutions de A', rapportées à un système quelconque d'indices indépendants x„ y,,... Écrivons à la suite des indices^,, y„,... d'autres indices en nombre égal x,,y,,.., cl supposons que les exposants d'échange des substitutions corrcsp'ondantes C,,, C,.,,... avec les substitutions Cj,, C,,,... soient congrus à zéro, et que leurs exposants d'écbange mutuels soient

égaux à ceux des substitutions C^,, C,. respectivement multipliés par g~'.

Le groupe formé des substitutions

I x„ y„... ax, -t- Py. a'x, -h y, ■+■

jointes è la suivante

X = I x„ y„ ..., x„ y,,.. . x„ y gx„ gy,, . . . | , (*)

(*) fuir ci-après (696 ei 699) U mtnière de construire ces g^ou|»e^

DE LA RÊSOLLTIOX PAR RADICAUX

.sera run cle ceux que nous cherchons. Il aura pour ordre cl pour

exposant runilê.

606. Seconde espèce. — l’osonsyi = )./«. chaque seinhiahie (lécoinposiiion correspond une classe de groupes décomposahles de seconde cspfece. qu’on pourra former ainsi qu'il’ suit.

(Choisissons les indices indépendants île telle sorte qu’ils se partagent egalenieni entre ). syslimies (*) a-o, ... tels, que les

exposants d’échange des .suhsiitulions correspondantes C„, CT,,...; . iv, salisrasseiit aux relations

si elr\ et fci^’t;/’) - (C/Uf)

(et que leurs caractères soient indépendants de r).

Soient I) un groupe résoluble aussi général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent les systèmes entre eux d’une manière transitive, en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants; L„ un groupe dont les substitutions laissent tous les indices invariables, sauf ceux du premier système, parrapporl auxquels elles forment un groupe aussi général que possible parmi ceux qui .sont résolubles, primaires, contenus dans le groupe abélicn dans l’un des groupes bypoabéliens) de degré /j’” et indécomposables. Le groupe L„ résulte de la combinaison d’un groupe partiel ,V,, tbrmé île substitutions ahéliennes propres, avec une subsliliilion \V, qui multiplie les exposants d’échange mutuels des substitutions (ij.,, IV,,... par g^, d étant égal à i ou a.

r.ela posé, soient W,,... les substitutions analogues à\V„, opérées sur les indices des autres systèmes. Le groupe décomposable de seconde espèce qu’il s’agit de construire .s’obtiendra par la combinaison des substitutions de D et de A, avec W„W Son exposant sera égal à d, et son ordre à

^ ‘ > 1! et O étant respectivement les ordres de 1) et del-,. Enfin

si /> = a, le groupe obtenu sera contenu dans le premier groupe bypoabélien, si X est pair et L„ contenu dans l’un quelconque des deux groupes bypoabéliens de degré ou si X est impair et L„ contenu dans le premier groupe

(•) Los 'xin indiew de chaque sysléme [ècuvent ôlre réeU, ou ima^inaireii, mais d(^|iendanl d’un nombre é;:al de fonriion« réelles qu'on puisse à chaque instant leur substiUu'f en qualité d’tndice?^ indépendant<.

s;» 1.1VRK Ol'ATHllCMK.

liYpo»l)élit>n. Il spiM. au tnnirairc, conlpnii <lans l« second gmiipc 1iv|k'alHdit'n, si ), est impair et l.„ contenu dans le seeooil groupe liypoaln*lien.

l,a détermination de D raiiiêiie au piohlêine A. Il ne reste donc plus <|u'à déterminer L„, c'est-à-dire à résouiire le irroblème II dans le cas des groupes indéromposaldes.

(i!)7. Groupks indkcomI'osvbles. — Les groupes cherchés de degré />’”• se partagent en trois catégories.

Première calé ^orie. — Les groupes de cette catégorie appartiennent au groupe ahélien, ou au premier groupe hypoahélien, et ont |ionr exposant l'unité. Pour les uiiteiiir, po.sons /?i = vü^ît'’ .... n, étant des nombres premiers égaux ou non qui divisent /é — i et ilont l'ordre est indilTérent, e!//'élani ><j. sans (]uoi l'on n'aUrait aucune solution. Les groupes cberehés T .SC partagent en classes, coiTos|)oudant aux diverses décompositions de cette espece, et SC construiseut comme il suit.

Le problème étant supposé résolu, choisissons les indices indépendants de manière h ramener le premier faisceau de I' à sa forme eanoni(pie. Les nouveaux indices formeront deux systèmes conjoints, contenant chacun V séries, contenant chacune ... indices. t>s indices pourront être représentés par le .symbole où l'indicateur /, variable de o à i,

caractérise les systèmes: r, variable rie oà v — i, caractérise les séries: en lin I,, |j,.. . variables de o à ît — i , >ji,...) variables de o à rr' — i , etc. distinguent les uns des autres les indices d'une même série. Si F est contenu dans l’iin des groupes hypoabéliens, les caractères dessubstitntionstij^t, „ - • curresponilantes à ces indice.s seront congrus à aéro; et Icu'rs exposantsd'écbange mutuels pourront être supposés congrus à zéro, sauf ceux-ci <iui seront congrusà i . Knfin les indices correspondants de deux séries conjuguées pourront être supposés conjugués.

Il sera aisé d'obtenir, par la méthode des coefficients indéterminés, un système d’indices indépendants, fonctions des inilices originaires, et satisfaisant aux conditions ci-dessus. La solution présentera même une certaine indétermination; maison n'en doit pas tenir compte, les divers groupes qu'elle permet d'obtenir étant tous semblables.

Gela posé, deux casseront à distinguer:

i" Si /« = V, d’où n'’!:’®'... I , les indicateurs £,, £j r,,,... n'auront

cbacnn iiu'nne valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, à la place de [oo...«...j'. Gela posé, F sera formé des i /> — ijavl/F — i) substitutions

[)K I.A RKSIIl.L"nf)N l*AK HAmCAl X.

suivantes

où « varie de o à y:; — i , p tic o à v — i ( inoil. v) et T de o à i (inod. a,, et oii a est un entier complexe formé avec riinuginaire i de degré v qui a été in- Irnduile.

a" Si m ^ V, supposons pour fixer les idées m = vcV'^. F s’obtient en rombinanl la substitution

[lit.

qui multiplie les exposants d'ecbange par avec Un groupe F', dont les substitutions sont abéliennes propres et de la forme suivante :

■•.Vl-O-i.sy,- ;; !''[/, /....m..

où la sopimation s’étend à ,

l, m, P et T étant deu

X entiers eon

stants pour une meme substitution, et où les coeflicients a.

3 sont des en

tiers complexes, liés entre eux de telle sorte que les deux substitutions

opérées respectivement sur un même système d’indices, auraient |tour prtiduit l’unité. Les coelFicients [i dépendent ainsi sans ambiguité îles coellicients «.

Un pourra représenter avec avantage la substitution (4) par le symbole plus abrégé

où l’on n'indique que les altérations subies par les indices de la première série du premier système, le reste, qui s’en déduit, restant sous-entendu.

Le groupe F' ne contient en général qu'une partie des substitutions de la forme (5/. Son premier faisceau F est formé des substitutions