livre OU.miftME

où a est un entier eomplcxc r|uelconque, el son second laist-eau G s’obtient en combinant à F des substilulions A,, B,, A,, B, A',, B',,... dont l’ex-

pression ne dilTcrera des expressions (a) et (3) (602) que par le cbaiiKement de '£,£,...>5,...', en -,

Soient mainlenant I,, 1/ des groupes auxiliaires formés comme au n" 693. -Associons leurs substilulions de toutes les manières possibles, île telle sorte que les facteurs par lesquels deux substitutions associées multiplient les exposants d’ccbangc soient congrus, suivant les modules rr el n', à une même expression, de la forme (- p^. A cbaque système V, V' de substi-

tutions associées on pourra faire correspondre, comme au 11“ 693, des .substitutions de la forme ( '1) qui aient pour corrélatives V, V. l.’ensemble des substitutions ainsi obtenues formera le groupe F'.

Les quantités g, d, g', d' étant définies comme au n" 693, soit k le nombre des systèmes de valeurs de t, p tels, que ( — .soit congru ii une puis.sance de ^(mod. ;r), et à une puissance de g"*' 'mod. jt'); soient d’autre part «, ta' les ordres de L, L' : l’ordre de F sera égal à

iluy . ii'wi

Si, parmi les systèmes de valeurs de t, p ci-dessus déterminés, il n’en existait aucun où t fût égal à 1. F ne serait pas primaire, et la solution trouvée serait à rejeter.

Le problème se trouve ainsi réduit ù la détermination des groupes [.. L'. \ cbaque manière de les construire correspond pour F un groupe dincrcni. Cependant, si Fon remplace dans la construction le groupe I., par exemple, par un autre groupe qui lui soit semblable, le nouveau groupe obtenu sera lui-méme semblable à F.

698. S,econde catégorie. — Les groupes cberchés ont pour exposant l'unité. Pour les former, posons /« = vr®k'“'..., jt, étant des nombres premiers qui divisent //-(- 1. Excluons toutes celles de ces décompositions

pour Icsijuelles ^ est impair, si le groupe cberché F doit être contenu dans le groupe liypoabélien de première espèce: toutes celles pour lesquelles ^ est pair, si F doit être contenu dans le groupe bypoabélien de seconde

espère; n’en excluons aucune si F doit simplement être contenu ilans le groupe abélien. A chacune des décompositions restantes correspond nue classe de groupes F, que l’on construira comme il suit.

DE LA RÈSOHmON l‘AR RADlCAliX.

Supposons le premier fsisecaii du groupe cherché ramené à la forme canonique par un changement tl’indiccs indépendants : les nouveaux indices formeront un seul système contenant av séries, et pourront être désignés par le symbole général où rindicaleiir r, variable de o à

av — 1 (mod. ay), distingue les iliverses séries: tandis (|ue les indicateurs I,, en nombre <7 et variables de o à n — 1, les indicateurs tj,,... en

nombre a' et variables de o à n' — i, etc., distinguent les divers indices d’une même série.

Les substitutions correspondantes à ces divers indices peuvent être représentées par le symbole .,,5^..,; et l’exposant d’échange de deux quelconques d'entre elles, et sera congru à zéro, à moins

qu’on n’ait à la Ibis

t r'^r+v (mod. av),

il) l

/ -h U» — (mod.ir), y3, = yj. ■+- u',. . . (niod.r'),. .

U étant un entier constant, i|u'on peut prendre égal à o ou à 1 si l’on a n = a avec 1 (mod. f{], et nul dans tous les autres cas; v un entier constant, égal à o ou à 1 si l’on a ;t'= a avec p'—L 1 (mod. ,'i), et nul dans tous les autres cas; etc. Si les conditions (7) sont satisfaites, l’exposant d'échange eberebé sera égal à e>'\ e étant une racine arbitraire de la congruence e*’’"': - — I (mod. /?), ou simplement à l’unité, suivant que u, u',... seront ou ne seront pas tous nuis. Enfin, dans le cas où F devrait être contenu dans l’un des groupes bypoabélicns, les substitutions C,{, auront toutes l’unité pour caractère.

Il sera aisé d’obtenir, par la méthode des coellicients indéterminés, un système d'indices indépendants tels, que les substitutions correspondantes satisfassent aux relations ci-dessus, i.a solution présentera même une certaine indétermination; maison n'Ifi doit pas tenir compte, les divers groupes ipi’ellc permet d’obtenir étant tous semblables.

Les indices étant ainsi choisis, deux cas seront à distinguer :

1" Si m ■=■ av, d'où n’!:'”'... = i. les indicateurs?,, |j n’ont

chacun qu’une valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, à la place de [oo,,.o...],. Cela posé. F ,s<ra formé des avlp'-i- t){p— 1) substitutions de la forme

I «„..., «., ... rt/c-' «J,. af' l I,

où P est uu entier constant, et a, / des entiers complexes, satisfaisant aux

c-onpnicnces