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DE LA HESoÛrnON l'AH KAMCAÜX.
Associons leurs sul>siitu(ions de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux sulislilutiuns associées multiplient les exposants d'échange par des fadeurs respectivement congrus à une même puissance de p, Udle. que [fi, suivant les modules r, et 7t'. A cliaijue svslèiiic de substitutions associées V, V' correspondront, eomme au n“ 693, des substitutions abelienues Miypuabélienues), ayant pour corrélatives V, V'. I, 'ensemble de ces substitutions formera le groupe eberebé I'. dont l'ordre sera égal a
- -fp’+
(r-iHr'-i)
o', d, d', ijt, m' ayant le meme sens qu'au 11“ 693.
Le problème se trouve ainsi réduit à la détermination de I,, I.'. .V chaque manière de construire ces groupes correspond pour 1’ un groupe différent, tiependant, si l'on rem|>lace dans la eonstnictinu le groupe L, par exemple, par un groupe semblable à I., le nouveau groupe obtenu sera lui-menir semblable à 1’.
699. Troisième catégorie. — Il n’existe de groupes de cette catégorie (|ue si P est impair, et ni une puis,sance de 2. Ils ont pour exposant a ou i, suivant que 2 sera ou non résidu quadratique de p. Pour les construire, posons am a’a"^. . . ; puis déterminons un système d'indices indépendant.s [£, tel : 1“ que les exposants d'échange des substitutions
correspondantes à deux d’entre eux soient toujours congrus à O si l'on n’a pas à la fois
— v ■ 1 , — . .Tfi',— c. — a' - . .:.ji O (oiod.a),
U. u',... étant des entiers égaux à o ou à 1 , et dont la somme, soit impaire; a" qu’ils soient dans le cas contraire congrus à (— ij**'**’''* b, b se réduisant.à I, si a n'est pas résiilu quadratique de />; à 1 ou a une racine primitive^ de la congruence g^' -- \ (inod. p , si 2 est résidu quadratique, licite (lélcrminalion pourra toujours se faire, cl cela de diverses manières; mais les divers grou(iesquc cette indétermination permet d'obtenir .sont semblables. On obtiendra au contraire des groupes essentiellement distincts en faisant varier ?, s',..., puisu, u',,.. cl enlin b.
Le groupe rberelie contient les substitutions de la forme
où a est un entier constant. Son premier faisceau F est formé de celles de ces substitutions pour lesquelles a se réduit à ±1. Son second faisceau
W6 LIVRF. OC.'TRIEMK
s’obtient en combinant à F îles substitutions A,, B,, A», B A',. B',,...
iléienninées comme il suit :
i" Si U = O, on aura, en posant 5 = — r. ■
2" Si u = I et /«’i I 'mod. i),
J étant une racine de la congruence y’fs— i fmod./> :
'i" Si U = I et (mnd.4)>
les entiers «, ,'5 satisfaisant à In relation a^ — j3’ = — i (mod./i).
Quant à A,, Bj elles auront dans tous les cas la forme
Les substitutions .A',, B’,,... se déterminent d'une manière analogue.
Soient maintenant L un groupe auxiliaire aussi général que po.isible p.irmi ceux qui sont résolubles, primaires, de degré a’* et contenus dans le premier groupe liypuabélien si v = o, dans le second si u = 1; I.' un groupe analogue de degré a”'; etc. .Associons les substitutions de ces groupes de toutes les manières possibles. .A chaque système de substitutions associée*. V, V',... correspondront des substitutions abéliennes, ayant V, V',... pour corrélatives. L'ensemble de ce.A substitutions dounera le groupe cherebé F. dont l’ordre sera f/i — 1) muu'.. . . , u, u',... étant les ordres, respectifs de L. L',....
La détermination de F revient ainsi à adle des groupes auxiliaires L,
L' .A chaque manière de les construire correspond pour F un groupe
difl'érenl. Mais si l'on remplace dans la construction le groupe L. par exemple, par un autre groupe semblable, le nouveau groupe oblemi sera lui-inéme .semblable à F. •
Obsenatioru.
700. La méthode précédente fournit non-seulement la construction des groupes eberebés, mais encore un système complet de classification. Car
DE LA RfciÿILLTION PAH RADICAUX. S.T7
nous avons vu cuinment ils su répartissent en classes. Chaque classe pourra êlre subdivisée en suus-classes, suivant la clas.se à laquelle appartiennent les groupes auxiliaires employés dans la construction. Chaque sous-classe pourra êlre subdivisée à son tour suivant la nature des groupes auxiliaires employés dans la construction des premiers groupes auxiliaires, etc.
On trouvera d’ailleurs iinmédialemenl, pour chaque degré donné, le nombre de classes de groupes résolubles, le nombre de sous-classes contenues dans chacune d’elles, etc.
Mais pour que cette classification et ccnc énuméralion-soient exactes, il est nécessaire (]ue tous les groupes obtenus par notre méthode soient gènéraujc, et de plus distincts (autrement que par la notation). Sans quoi ils reraient double emploi, et c'est a tort que nous les aurions considérés comme constituant deux types diHérenls, ou meme comme appartenant à deux classes dill'érenles.
Nous montrerons que les groupes fournis par notre méthode sont en effet généraux et distincts. Néanmoins celte proposition souffre quelques exceptions. Pour exclure tout double emploi, il .sera nécessaire et sunisant, en appliquant notre méthode, d’ob.server le.s précautions suivantes :
1“ Dans la réiluction du problème A (686) on rejettera toutes les décompositions de M dans lesquelles deux factetirs consécutifs seraient égaux à a.
a“ En formant les groupes prirttaircs de degré /j'" au moyen d'un groupe D de degré X et d’un groupe indécomposable F de degré //" (688), on rejettera, lorsque p" se réduit à ou 5, tous les groupes I) correspondants h des décompositions de X dans lesquelles le dernier facteur se réduirait à a.
3” En formant les groupes indécoinpo.'.ables de degré /»'"(68'Ji, on rejettera, si p-=.'i, les groupes correspondants à des décompositions rn = V . ilans lesquelles v se réduirait à a. '
/i“ En formant les groupes indécomposables de première catégorie (697), on rejettera comme non généraux, si /? = 3 ou 5, les groupes correspondants à tics décompositions m = ... où v se réduirait à a.
5" On rejettera également les groupes de cette espèce dans lesquels p'‘~ 5, si wi = I . Soit au contraire m = n’n'®'...: it, .se réduiront à a; et la construction du groupe cherché I' dépendra de celle de groupes auxiliaires I., I,',... lie degrés a’*, a’*' Chacun de ces groupes sera contenu
dans l’un des deux groupes bypoabéliens du même degré (*). Soit oc le
(*) Si I. iiiihVnmpOiiAblp do promioro calégorio, ou t^siruit à l'aido d'uit loi groupo,
■i.T8 LIVRE üUATRItMB.
nombre de ces groupes qui sont contenus dans le second groupe brpoabélien : si îK est ]>air, T devra être rejeté comme non général.
6" Si l’on a à la fois /j’= 7, m = l'unité ou une puissance de a; telle que a®2*'.... état o (mod. a), le groupe P sera général; mais ce groupe (et les groupes décomposables qui s’en déduisent) ne devront être admis dans nos conslrnclions à litre de groupes auxiliaires que si l’une au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d’écbange par un non résidu quadratique de p est utilisée dans la construction, de telle sorte que le groupe obtenu contienne elléclivemcnt une snbslilulion dont elle soit la corrélative.
7" On rejettera comme non généraux (ou faisant double emploi) les groupes indécomposables de seconde catégorie dans lesquels se réduit à 2*.
8" On rejettera de même ceux où/i’'' se réduit à 3*. si m ■= 1 , ou si m > 1 et 3( O (mod. a).
9“ Oaix où p'‘ se réduit à 7’ sont généraux: mais ces groupes («l les groupes décomposables qui en sont formés) ne devront être admis dans nos constructions à titre de groupes auxiliaires que si l’une au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d’échange par un non résidu quadratique de p est utilisée tians la construction.
10" On évitera de faire figurer dans la même construction deux groupes auxiliaires semblables ou improprement semblables (*).
■ I i° Soit L un jtroupe auxiliaire décumpo.sablc, de seconde espece, construit à l’aide d’un groupe L) dont les substitutions permutent les systèmes d'indices, en nombre X, et il’un groupe I.„, décumposable ou non. dont les substitutions n’allëreni que les indices du premier système. Si X se réduit B 2 ou 3. on évitera de faire figurer dans la même construction le groupe 1. et un groupe I.' semblable à L,, ou deux groupes décomposables de première espwe, .M, M', respectivement formés avec L. L'.
subslitulions apparlicnnent au premier Rruiipe 1iy[ioaliélii'n; s'il est inilécompiesible de seconde estés'orie. ou construit à faido d'un tel proupc. ses sulistilutions apitarliendrunl au premier ou au second groupe liypoabClicn . suivant r|ue, dans la dCromposilion aa à la-
quelle L correa^iond, — sera pair ou im|*air.
{•) Sont considérés comme semblables (improprcmenl semblables; deu.v groupes Iranslurinables l'un dans l’autre par une sulistilution atiélienne propre (impropre).
1>E U RÉSOUTTON PAR RAmCACX.
