SM UVRE QUATRIÈME
il est formé. Si I) correspond à une décomposition de X en facteurs q, q', dans laquelle le dernier facteur q'^ se réduise à a et qu'en mime terrtps p"' se réduise à 3 ou à 5, le groupe H n'est pas général.
En effet, soient .S, A' les groupes partiels successifs dont la com-
binaison forme D.
Si l'on peut déterminer un groupe résoluble plus général que (A*', F) et
altérant les mêmes indices, ce groupe combiné à A A^~ ' fournira un
groupe résoluble plus général que H. Notre proposition sera donc démontrée si nou'S établissons que le groupe fA^ F) n’est pas général.
. Or la condition pé'='.\ ou =5 donne m=i avecy»='J ou 5. I.e groupe F ne contient donc qu’un indice x, et scs substitutions sont de la forme I X ax\. a étant un entier réel. Quant à A’’, il sera formé d’une seule substitution, permutant x avec un autre indice v. Fes substitutions de (A^, F)
sont donc toutes de l’une des deux formes 1 ^ I ou i ^ I> n, a', h, b'
étant des entiers réels.
Si^ = 3, chacun de ces entiers est égal à ±- i (mod./)), et l’on vérifie immédiatement que (A^, F) n’est pas général, car nu peut lui adjoindre la substitution \x,y x+y, x— j'I qui lui est permutable.
Si /> = 5, a, a', b, b' satisfont à la congruence X*^ i (mod./j): soit a une racine primitive de cette congruence; il est clair que toutes les substitutions de (A^, F) résultent de la combinaison des suivantes et de leurs puissances
. Kfl* ff=l •'..*• >•. ,rl.
Cela posé, on vérifie immédiatement que les substitutions
g, A=|x,r X,. — > |, B.C=lx,r ^ -I g(,»— .r)|. Il forment l’écbelle d’un groupe résoluble, plus général (|ue A'^, F). »
703. TnéoRÈME III. — Çn groupe résoluble primaire et indécomposable F dans lequel p" — 3’ ne peut être général.
I® Supposons d’abord que chaque série ne contienne qu’un indice. Soient
ÿ = 1 x„ X, gx„ g'x, I, 'f = I .r„ X, X., .r. |
les substitutions dont F est dérivé g étant une racine primitive de la congruence I (mod. 3)]. Elles sont écbangeabics aux puissances de g'.
DE IA RÉSOLUTION PAR RADICAUX .'SU
qui multiplie tous les indices par — i; g' et ‘i’^otil pour carré g\ el sont écJiaugealiles ii g' près; enfin toutes les substitutions de F sont pernmtaliles au groupe {g*. g\ ‘Ig).
Cela posé, la substitution
U = I X„ X, gx,-hx„ X, -+- g’x, I,
échangeable à 'g', transfonne g^ et en ^g-g* et g^; dlailleurs g transforme U en Le groupe [g\ g‘‘, 'îg, U, g) est donc résoluble, et plus
général que F, car il contient li.
a” Supposons maintenant que chaque série contienne = n’n’"’... indices; )t, n',..., divisant 3’— i, se réduiront à a. Soient g la substitution qui multiplie l’indice général I Ç, y},...], par^*', et dont les puissances
reproduisent le premier faisceau de F; A,, B A',, B',,...;... les doubles
suites qui, jointes g, donnent son second faisceau; L, L',... les groupes auxiliaires qui servent à sa construction. Considérons l’un de ces groupes, tel que L; il est contenu dans le groupe abélien de degré n’®; mais en outre, nous avons vu que ses substitutions seront h)"poabéliennes, si l’on suppose que les substitutions correspondantes aux indices indépendants' qui ramènent son premier et son second faisceau à la forme type ont pour caractère zéro. Soient p,, les caractères qu’auront dans cette hypothèse les
substitutions A,, us,,... correspondantes aux indiees originaires x,,/,,,..; soient enfin V' = une substitution quelconque de F, qui transforme .A,,
B en B*'..., g' A",' Bf'. Vsa corrélative du groupe L : V, étant
liypuabélienne, satisfera aux conditions
il) d, d, p,-f- c, f/', -(-... -e c\p. ■+ rt‘, q, ...a,- (/„....
Cela posé, les substitutions C, = g’^' \,, D, = g^’^‘B,,... ont pour caractéristiques des puissances de K® — 6'’;, K’ — 6’',... (5 étant égal à — i); leurs transformées A‘‘ iF,'..., B®'...,... peuvent se mettre
sous la forme ^'C",' D'J'..., g'" C‘,' D® et auront leurs caractéristiques divisibles par les facteurs
k> gU J.,» ■►«>. + »', V.-'- := K’ — g» fir., K> — 9f.
Ces caractéristiques devant être égaux aux précédents, /, u, ... seront dos multiples de t\, el par suite %■> .sera permutable au groupe dérivé des sub-
S« UVHE QUATRIÈME.
htilutions g', C,, I) (ou plus siiiiplement des substituliuDS C,. D,,...,
g' êlani égal à ' Ur'C, H,).
Posons inaintcnanl V •= ‘fC'j'I)"' Tette substitution, écbangeable à g',
I',, U,,..., transforme g‘‘ en g'g*\ g la transforme en g'g*'î'-, enfin son carré est égal il ou à i. On peut le supposer égal à g'\ car dans le cas contraire, il siillirait de remplacer ilans les raisonnements qui vont suivre ■f par ^ g, dont le carré sera égal ii g*.
Soient Ç, i deux indicateurs respectivement variable.s de o à i, et de o à fl — I . On pourra remplacer les indices actuels fÇ,£,...i]r par d’autres indices f ?£ j choisis de telle sorte que ^ et 'f' prennent les formes suivantes :
A"= I [ï«i;5Hïtl I- r=\\-t]j[-+,,t]\,
j étant égal il g'. On pourra d’ailleurs déterminer une substitution U de la forme
I [ÏO V =n[‘-A .
qui transforme g^ et ‘é' en ï'ff’ et et li sera échangeable à C,, Ü,,...; car ces dernières substitutions, étant échangeables à g’ et à 'f', seront de la forme •
Oela (rosé, le grou|ie résoluble T' dérivé des substitutions g' , g^, 'i", L’. est permutable aux substitutions de T. Soit en effet une île ces substitutions; elle transforme g^ en g' ou en g*\ d’autre part, Q permute les unes dans les autres les siilislitulions dérivées de C,, D,,... Icsqurlles sont échangeables à ; donc la transformée de tf' par est échangeable à ces mêmes substitutions; donc est de la forme ‘i“S, S étant une nouvelle sub-
.slitution échangeable à C,, D et qui ne déplace plus les séries. Donc S
se réduit à une puissance de g, laquelle sera de degré pair, et ‘T'
devant avoir même caractéristique.
Soient donc ‘i’'? = ^i'g^*"', t. u, v étant égaux à o
ou à i; on aura — 'S‘T'g^'', <S> étant une nouvelle substitution, et v:'''rx'' ap|iarlicndra évidemment à T' si lui appartient. Mais V' étant permutable au groupe C,, I) ). <?' le sera; U étant d’ailleurs échangeable
aux substitutions de ce groupe, 'T~' L'iR' le sera; donc elle sera de la forme
I «^[5. ?,... T!,. ,.],-e fr'[ï, I.
i>R i.A nfisH-imoN PAU radicaux.
il la(|(icllc a|iparliennent rgalenienl rliamine dos siibslituliona de P'. Kii outre, si u = o, elle Iransformer.'i et 'A" en 'i' et elle sera donc égale à UT, T étant une nouvelle sulisiiiution de la même l’ornie, écliangeahle à ^ et à 'é', cl qui (lar suite se réduira k une |iuissanee de g'. Si H = 1, elle transformera g^ et t' en 'i' g* et g*, et sera égale à Ü’^’T, T étant encore une puissance de g' .
Les substitutions de P sont donc permutables à I"; et ces deux groupes, eumbinés ensemble, donneront un nouveau groupe résoluble (527) plus général que P, car il contient U.
704. Tiikorèmk I\'. -- Un groupe V in ilécoi/t/iosable de première calégorie, dans la construction duquel on aurait v ■= a avec p = ‘i ou 5, ne peut tire général.
Supposons d'abord que cliaque série ue eontienue qu’un indice ; on aura quatre indices, arj, xJ, x^, x[, et P dérivera des substitutions suivantes :
g étant une racine primitive de la congruence g^' ' = i (mod. p). .
P.ela posé, si p = T, g^et .<l‘f seront d’ordre 4. auront pour carré g' et seront écliangeabics entre elles à g' près. On déferuiinera aisément une substitution abélienne propre U qui les transforme respectivement en A'Sg^ et g- ; puis l’on vérifiera sans peine que P est contenu dans le groupe résoluble plus général {g', g’, Jl‘f, U, A, T).
Si p = 5, on voit de même que P est contenu dans le groupe plus général {g*, g', L',/, 4', T), U étant une substitution abélienne propre, qui
transforme g\ g’, ti<tg* en g', A'tg^g‘, g°. .
I.’extension de la démonstration au cas où clia<)ue série contient plusieurs indices, se fait comme au théorème précédent,
70,5. TitKORÈMK V. — Un groupe V indécomposable de première catégorie, et dans lequel />’= 5, n'est pas général : i® si chaque série ne contient qu'un indice; a® si chaque série contenant plusieurs indices, et L, I.',.,. étant les groupes auxiliaires de degrés a’®, a’®',... qui servent à la construction de P, le nombre Sé de ceux de ces groupes dont les substitutions sont hypoabéliennes de seconde espèce est /tair (').
(•) Soit L l'un de co» groupes, prenons-y iwur indices indi'fjcndanla reux qui le raniencnl à la
SJl . UVRK <JUATBIÈME.
Si chaque série ne contient qu'un indice, on n'aura en tout que deux inilicesar* etd:', et étant une racine primitive de la con(;rueDce^=i (mod. 5J, r dérivera des substitutions
S= \ it “ I -e' (-!)'*'»■ I, T= I X* g‘x> \.
Cela posé, ^ et A sont d'ordre 4. ont pour carré g', et sont échangeables entre elles à g‘‘ près : la substitution abélicnne , ,
». C=|*‘ (— i)'x* — ax' |,
les traiisl'orme eu et g\ et l'on vérifiera sans peine que le groupe ig. A, li, Tj, plus général que T, est résoluble.
Si chaque série contient indices, Jt, ît' divisant 5 — i, se ré-
duiront à a; et l'on pourra délerininer comiue au Théorème III des subsli-
tions C, = é''’'A,, D, = ^'B C, = g'’'A',, D', = ^'B' telles, que
chaque substitution '<.‘>du groupe P soit permutable aux groupes (C,, D,. ..), (C..D' ) ■
Cela posé, la substitution A' = AC}' [K,'... C';'' D'f*,.. échangeable à g‘, C,, D,,..., C,, D',,... transforme g en D’ailleurs son carré est égal à expression qui se réduit à g*, en supprimant les puissances <le g', qui se réduit à l'unité. Eu effet,/»,, q,,... étant les caractères des substitutions A,, vî,,,..., le groupe E sera contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien, suivant que la majorité des substitutions de la forme 4,'’ lü/,'... aura pour caractère o ou i. Or une substitution de cette forme a pour caractère
expression qui s'annulera ponr plus ou moins de la moitié des systèmes de
valeurs de x, -t- q,, -+-/» (ou, ce qui revient au même, de ,...),
suivant que /», q, -i-... sera pair ou impair. Mais 9C est supposé pair; donc
forme type indiquée ütini» nos construrlions. En admnUant que tes subsiitiulons corrrspondiinle» à oes indkrs aient toutes pour earacl^ro zéro, de L appartiendront au premier
j^roupe hypoabélien si L est de première catégorie; ot ei L i*st de seconde catégorie, elle» appartiendront BU premier ou au second gro«i|ic hypoabélien, t^uivant que dans la décomposilion
iT — av, à Lquetle L correspond, * sera pair ou impair (ti08 et orkH).
DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. liAS
«.tIIcs ilc.s sommes p,q, -4-..., p\q\ + qui sont impaires sont en
nombre pair; donc leur total est pair, ce qu'il fallaii démontrer.
Ce point établi, on verra, comme au théorème 111, qu’il existe une substitution abélienne C, éclianpeable à g', C,, D, (T,. IV,,..., et qui trans-
forme g, a' en A' g, g\ que le groupe résolulile g, A', U) est permit-' table aux substitutions de P; et que ces deux groupes, combinés ensemble, donnent un nouveau groupe résoluble, plus général que P.
700. Théorkhk A'J. — Soient P un groupe indécomposable de première calègoric, d'ordre et correspondant à la dècomposiliort m = v,t* = . . :
I., L',... les groupes auxiliaires de degrés id", qui servent à sa construc-
tion ; N le groupe formé parcelles de. ses substitutions qui sont abéliennes propres : sip'^ 7, il existera un groupe résoluble, formé de substitutions abéliennes propres, et plus général que N : 1 “ si chaque série ne contient qu'un indice, tl’où a = 1 ; 2” si n, n',... étant, tous égaux à a, auquel cas chacun des groupes !.. L',... a ses substitutions hypoabéliennes, le nombre X des groupes de la suite l„ L',. . . respectivement contenus dans les groupes In/toabéliens de seconde espèce est nul ou pair.
Supposons, pour plus de généralité, ,a > 1; et .soient g la substitution d’ordre 7 — 1, dont les puissances reproduisent le premier faisceau de P; .\,, 11,, -\j. B-,..., .A',, B',,... les doubles ^iuiles qui servent à construire ce groupe. On peut les fondre par la pensée en une seule; et les substitutions de P, qiiiétaient permutables à chacun des faisceaux f^, .V,, B,, .Aj, B-,...), (g. A',, B' ),... le sont évidemment au faisceau
A.. lt„ A„ B., .., A',, B ).
D'ailleurs .\j, Bj,... ont pour caractéristiqne une [uiissance de K-— i,et A,, B, une puissance du K“ — 1 ou de K’-t- 1, suivant que L est contenu dans le premier ou dans le second groupe livpoabélien. De même pour A’,. B',,.... Donc la double suite contient sc couples de termes ayant pour caractéristique une puissance de K’ -4- 1 : DC étant pair, on pourra grouper ces couples par paires. Mais, pour formerG, on pourra remplacer chacune de ces paires de couples telle que A,, B,; A',, If, par la suivante A, .A',, B, A',; A, B, A', B’,, A, B, B',. Donc G résulte de la combinaison de g avec une ilouble suite C,, D,, C,, Di>... dont chaque substitution a pour caractéristique une puissance de K’ — i.
P.ela posé, les indices indépendants pourront*étre choisis de telle sorte
SW UVRE OfATRlEME.
i|ue les subsiitulions g, C|, D,, C,, D,,... prennent la furine
Il, t élant des indicateurs variables de o b i.
Pusons maintenant
■ L-=|t5,S..- l*. U.4.-- T 4lï.5---]-+4[ï.5....]'. l5.5....]*+M5';---i' l.
